25895-1 (675601), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Все анализируемые далее случайные объекты, применяемые при построении математической модели и связанные с процессом обслуживания, будем конструктивно задавать на некотором полном вероятностном пространстве элементарных случайных событий с вероятностной мерой на - алгебре . Для описания входных потоков заявок будем использовать нелокальный способ. Т.е. нашему рассмотрению подлежит не конкретное требование, а весь их поток. Произвольный входной поток описывается векторной случайной последовательностью , где

- число заявок типа, поступивших на промежутке времени по этому потоку. Тип заявок определен меткой (состоянием случайной среды). Поведение случайной среды, для простоты, будем описываеть однородной марковской последовательностью с двумя состояниями - хорошая погода, и вероятностями перехода . Такие ограничения означают, что смена погоды не слишком часта и что хорошая погода бывает чаще плохой. Подобные выводы позволяют считать, что за время , когда ОУ пребывает в состоянии погода не меняется. Известно, что случайные элементы связаны соотношениями:

(1)

где некоторые измеримые отображения пространства на ,а - последовательность независимых случайных величин с некоторым распределением, в нашем случае, равномерным на интервале . Протекающие процессы обслуживания имеют, в нашей модели дискретный характер и рассматриваются на интервалах времени, порождаемых некоторым случайным точечным процессом на оси времени. Моменты , как правило, определенным образом связаны с моментами смены состояний обслуживающего устройства, их определение будет дано ниже.

3. Описание работы обслуживающего устройства.

В любой момент времени обслуживающее устройство находится в некотором состоянии . Управление входными потоками и трансформациями состояний ОУ с учетом вышеуказанных предварительных замечаний можно описать следующим образом:

(2) для .

Обозначим через длину очереди в накопителе по потоку в момент , . Для состояний ОУ предполагаем, что . Случайный точечный процесс при определяется рекуррентным соотношением

(3)

где - отображение множества на числовое множество такое, что . Будем называть длительностью фазы (состояния) обслуживающего устройства, а величину длительностью периода ОУ.

4. Потоки насыщения и выбор стратегии механизма обслуживания.

Обозначим через , максимально возможное число обслуженных на интервале времени требований потока при наличии в накопителе бесконечной очереди. Тогда соответствующий поток насыщения может быть описан с помощью маркированного точечного процесса , где метка обслуженных заявок на интервале . Интерпритировать подобное описание можно как влияние погодных условий (состояния случайной среды) на механизм обслуживания. Более подробно этот процесс будет рассмотрен ниже. Мы не будем задавать конечномерные распределения маркированных точечных процессов и поскольку при нелокальном описании входных потоков и потоков насыщения можно ограничеться некоторыми свойствами условных распределений дискретных компонент и .

Допустим, что величина задает на промежутке число фактически обслуженных заявок потока . Для описания реального процесса обслуживания нужно при любом и каждом указать зависимость

(4)

то есть некоторую стратегию механизма обслуживания. На выбор функции (4) естественно наложить следующие ограничения:

;

;

Откуда получим:

; (5)

Автомат, как правило, за промежуток времени обслуживает максимально возможное число машин из потока или все поступающие и находящиеся в очереди машины этого потока, если их число меньше .

Тогда зависимость (4) будет иметь вид:

(6)

Такая стратегия механизма обслуживания, учитывая (5), называется экстремальной.

5. Рекуррентные соотношения для маркированного точечного процесса обслуживания. Свойства условных распределений для дискретных компонент , соответствующих входным потокам и потокам насыщения.

Будем описывать поведение системы маркированным точечным процессом с выделенной дискретной компонентой , где - вектор длин очередей по потокам в момент . Для процесса основываясь на равенствах (1)-(3), имеет место следующее рекуррентное соотношение:

(7)

где , , . Здесь векторное соотношение предполагает выполнение равенств при . Принимая во внимание выбранную нами экстремальную стратегию обслуживания , имеем:

Для изучения вероятностных свойств метки остановимся на некоторых свойствах условных распределений величин и . Полагаем что в этой модели при фиксированных значениях метки случайные величины и независимы и их условные распределения при любом и при удовлетворяют соотношениям:

; (8.1) (8.2)

(9)

где - целая часть величины , а , - средняя интенсивность обслуживания заявок по потоку если случайная среда на интервале находится в состоянии , здесь - интенсивность пуассоновского поступления заявок по потоку , , , - параметры распределения Бартлетта, - целая часть величины .

6. Марковское свойство компоненты .

Итак, мы определили все компоненты нашей модели: входные потоки, алгоритм управления, потоки насыщения и экстремальную стратегию механизма обслуживания. В соответствии со структурой анализируемой системы управления 3 конфликтными потоками требований, максимальный интерес представляет исследование процессов обслуживания по потокам и . Ключевое свойство дискретной компоненты процесса можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема: Последовательности , и при заданном распределении вектора являются марковскими.

Доказательство: Докажем правильность утверждения для последовательности . Сообразно определению, данная последовательность будет марковской, если выполнено равенство

Где

Применяя формулу полной вероятности и принятые в данной модели основные свойства ее случайных элементов, получим:

для правой части доказываемого равенства из тех же соображений получим

Т.е. доказываемое равенство имеет место. Стало быть, случайная последовательность образует цепь Маркова с бесконечным счетным числом состояний.

Аналогично доказывается марковость последовательностей и .

7. Рекуррентные формулы для одномерных распределений дискретной компоненты маркированного точечного процесса .

Исследуем свойства одномерных распределений

Здесь начальное распределение считается заданным. Получим рекурентные соотношения вида , где - бесконечномерная матрица переходных вероятностей за один шаг процесса . Подробно рассмотрим вероятностные свойства последовательностей и . Из (7) нетрудно получить следующие, реккурентные по соотношения для этих последовательностей:

Заметим что исследование последовательностей и , проводятся аналогично.

Введём следующие обозначения:

На основании доказанного свойства марковости рассматриваемых последовательностей и формулы полной вероятности можно видеть что имеют место формулы:

(10)

где суммирование ведётся по

Теперь вычислим условные вероятности:

Окончательно формула (10) примет вид:

Здесь суммрование ведётся по всем точкам

Учитывая вид условных распределений для (8.1)-(9), нетрудно получить конкретный вид рекурентных формул для одномерных распределений дискретной компоненты . Подробно приведём только вывод формулы для вероятностей при .

Используя формулу (11), учитывая что при на интервалах времени ни один из потоков не обслуживается, получим для .

где полагаем при .

Вероятности , образуют матрицу

Далее через мыбудем обозначать соответственно целые части величин , где -интенсивность обслуживания по потоку , если случайная среда находится в состоянии .

Поскольку при обслуживаются только требования потока ,

рекуррентные соотношения для вероятностей при получаются в виде:

(13)

(14)

Так как при происходит обслуживание требований только по потоку , то при получим, что при всех и , а при имеем:

(15)

а при любых :

(16)

Наконец для вероятностей имеем при любом , , .

(17)

а при любых , .

(18)

Заметим, что поскольку вероятности для , , то из (12) непосредственно следует, что при всех для , , .

Уточним теперь структуру цепи Маркова . Обозначим через . Сформулируем и докажем два вспомогательных утверждения, касающихся общей структуры цепи и асимптотического поведения распределения рассматриваемой цепи Маркова при .

Лемма 1. Пространство состояний цепи Маркова распадается на незамкнутое множество несущественных состояний и минимально замкнутое множество существенных сообщающихся непериодических состояний.

Доказательство. Из того, что и для всех , следует что случайный процесс за некоторое конечное число шагов из произвольного состояния с положительной вероятностью по цепочке попадёт в состояние . Следовательно состояние является существенным. Согласно теореме 3.5 из /7/ совокупность состояний цепи, сообщающихся с

также является существенным. Используя полученные нами рекурентные соотношения (12)-(18) и приведённые выше замечания нетрудно видеть, что множество

Покажем, что не содержит других состояний, кроме отмеченных. Возьмём, к примеру, состояние где . Тогда по цепочке переходов цепь Маркова перейдёт из существенного состояния в состояние . Следовательно, состояние является существенным и сообщающимся с . Указанный переход возможен с положительной вероятностью, поскольку и . Аналогично доказывается, что возможен переход из или в любое другое состояние, не принадлежащие множеству . Значит . Поскольку состояние достижимо из любого состояния , то множество не является замкнутым, а содержит единственное замкнутое минимальное . Из очевидного неравенства

Характеристики

Список файлов реферата