7777-1 (675551)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Матричные операции в вейвлетном базисе

Курсовая работа студентки 3 курса Громовой Марии Михайловны

Белорусский государственный университет

Факультет прикладной математики и информатики

Кафедра математической физики

Минск 2003

Введение

Вейвлет-преобразование сигналов (wavelet transform), теория которого оформилась в начале 90-х годов, является не менее общим по областям своих применений, чем классическое преобразование Фурье. Принцип ортогонального разложения по компактным волнам состоит в возможности независимого анализа функции на разных масштабах ее изменения. Вейвлет-представление сигналов (функций времени) является промежуточным между полностью спектральным и полностью временным представлениями.

Компактные волны относительно независимо были предложены в квантовой физике, физике электромагнитных явлений, математике, электронике и сейсмогеологии. Междисциплинарные исследования привели к новым приложениям данных методов, в частности, в сжатии образов для архивов и телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности, в физиологии зрительной системы, в анализе радарных сигналов и предсказании землетрясений. К сожалению, объем русскоязычной научной литературы по тематике вейвлет-преобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик.

Базовая идея восходит к временам 200-летней давности и принадлежит Фурье: аппроксимировать сложную функцию взвешенной суммой простых функций, каждая из которых, в свою очередь, получается из одной функции-прототипа. Эта функция-прототип выполняет роль строительного блока, а искомая аппроксимация получается комбинированием одинаковых по структуре блоков. При этом, если "хорошая" аппроксимация получается при использовании небольшого числа блоков, то тем самым достигается значительное уплотнение информации. В качестве таких блоков Фурье использовал синусоиды с различными периодами.

Что прежде всего отличает вейвлет-анализ от анализа Фурье? Основным недостатком Фурье-преобразования является его "глобальная" чувствительность к "локальным" скачкам и пикам функции. При этом модификация коэффициентов Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума) вносит одинаковые изменения в поведение сигнала на всей области определения. Это особенность оказывается полезной для стационарных сигналов, свойства которых в целом мало меняются со временем.

При исследовании же нестационарных сигналов требуется использование некоторых локализованных во времени компактных волн, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию о дрейфе параметров аппроксимируемой функции. Первые попытки построения таких систем функций сводились к сегментированию сигнала на фрагменты ("окна") с применением разложения Фурье для этих фрагментов. Соответствующее преобразование - оконное преобразование Фурье - было предложено в 1946-47 годах Jean Ville и, независимо, Dennis Gabor. В 1950-70-х годах разными авторами было опубликовано много модификаций времени-частотных представлений сигналов.

В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных диапазонов частот использовались временные окна различной длительности. Оконные функции получались в результате растяжения-сжатия и смещения по времени гаусиана. Morlet назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets) - компактными волнами. В дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer), Добеши (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние.

Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева.

1. Многомасштабный анализ и вейвлеты

Определение 1. Многомасштабный анализ (multiresolutional analysis) – разложение гильбертова пространства L²(R^d), d³1, в последовательность замкнутых подпространств

, (1.1)

обладающих следующими свойствами:

1. , и полно в L²(R^d),

2. Для любого fÎ L²(R^d), для любого jÎ Z, f(x)ÎV_j тогда и только тогда, когда

f(2x) ÎV_j-1,

3. Для любого fÎ L²(R^d), для любого kÎ Z^d, f(x)ÎV₀ тогда и только тогда, когда f(x-k)ÎV₀,

4. Существует масштабирующая (scaling) функция jÎV₀, что {j(x-k)}_kÎZ^d образует

базис Ритца в V₀.

Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде:

4’. Существует масштабирующая функция jÎV₀, что {j(x-k)}_kÎZ^d образует ортонормальный базис в V₀.

Определим подпространство W_j как ортогональное дополнение к V_j в V_j-1,

, (1.2)

и представим пространство L²(R^d) в виде прямой суммы

(1.3)

Выбирая масштаб n, можем заменить последовательность (1.1) следующей последовательностью:

(1.4)

и получить

(1.5)

Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно положить j=0 и рассматривать

, V₀Î L²(R^d) (1.6)

вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V₀ конечномерно.

Функция j - так называемая масштабирующая (скейлинг-) функция. С ее помощью можно определить функцию y - вейвлет - такую, что набор {y(x-k)}_kÎZ образует ортонормальный базис в W₀. Тогда

, m=0..M-1. (1.7)

Из свойства 4’ непосредственно следует, что, во-первых, функция j может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства V_-1 . Так как функции {j_j,k(x)=2^-j/2j(2^-jx-k)}_kÎZ образуют ортонормальный базис в V_j, то имеем

. (1.8)

Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно переписать (1.8) в виде

, (1.9)

где

, (1.10)

а 2p-периодическая функция m₀ определяется следующим образом:

. (1.11)

Во-вторых, ортогональность {j(x-k)}_kÎZ подразумевает, что

(1.12)

и значит

(1.13)

и . (1.14)

Используя (1.9), получаем

(1.15)

и, рассматривая сумму в (1.15) по четным и нечетным индексам, имеем

. (1.16)

Используя 2p-периодичность функции m₀ и (1.14), после замены x/2 на x, получаем необходимое условие

(1.17)

для коэффициентов h_k в (1.11). Заметив, что

(1.18)

и определив функцию y следующим образом:

, (1.19)

где

, k=0,…,L-1 , (1.20)

или преобразование Фурье для y

, (1.21)

где

, (1.22)

можно показать, что при каждом фиксированном масштабе jÎZ вейвлеты

{y_j,k(x)=2^-j/2y(2^-jx-k)}_kÎZ образуют ортонормальный базис пространства W_j.

Равенство (1.17) определяет пару квадратурных зеркальных фильтров (quadrature mirror filters, QMF) H и G, где и . Коэффициенты QMF H и G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений. Число L коэффициентов фильтра в (1.11) и (1.22) связано с числом исчезающих моментов М, и всегда четно.

Выбранный фильтр Н полностью определяет функции j и y и, таким образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных алгоритмах значения функций j и y почти никогда не вычисляются. Благодаря рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с квадратурными зеркальными фильтрами H и G, даже если в них используются величины, связаные с j и y.

2. Быстрое вейвлет-преобразование

После того, как вычислены коэффициенты h_k и g_k, т.е. выбран определенный вейвлет, можно проводить вейвлет-преобразование сигнала f(x), поскольку задан ортонормальный базис (y_j,k, j _j,k). Любая функция f(x)ÎL²(R) полностью характеризуется ее вейвлет-коэффициентами разложения по этому базису и потому может быть представлена формулой

. (2.1)

Зададим все пределы суммирования в формуле (2.1). Функцию f(x) можно рассматривать на любом n-м уровне разрешения j_n. Тогда разделение между ее усредненными значениями на этом уровне и флуктуациями вокруг них выглядят как

. (2.4)

На бесконечном интервале первая сумма может быть опущена, и в результате получается «чистое» вейвлет-разложение.

Коэффициенты s_j,k и d_j,k содердат информацию о составе сигнала на разных масштабах и вычисляются по формулам:

, (2.2)

. (2.3)

Однако при этом компьютерные расчеты занимают довольно длительное время, т.к. при вычислении приходится проводить O(N²) операций, где N – число имеющихся значений функции. Опишем более быстрый алгоритм.

В реальных ситуациях с оцифрованным сигналом мы всегда имеем дело с конечным набором цифр (точек). Поэтому всегда существует наилучший уровень разрешения, когда каждый интервал содержит по одному числу. Соответственно и суммирование по k будет идти в конечных пределах. Удобно изменить шкалу разрешения (или шкалу f), приписав значение j=0 этому наилучшему уровню разрешения. В этом случае легко вычислить вейвлет-коэффициенты для более усредненных уровней j³1. Многомасштабный анализ приводит естественным путем к иерархической и быстрой схеме вычисления вейвлет-коэффициентов заданной функции.

В общем случае итерационные формулы быстрого вейвлет-преобразования имеют вид:

, (2.4)

(2.5)

с

. (2.6)

Эти уравнения обеспечивают быстрые (или пирамидальные) алгоритмы вычисления вейвлет-коэффициентов, поскольку требуют только O(N) операций для своего завершения. Начав с s_0,k, мы вычислим все другие вейвлет-коэффициенты, если параметры вейвлета h_m и g_m известны. Явный вид вейвлета при этом не используется. Простая форма полученных итерационных уравнений служит единственным оправданием введения множителя в функциональное уравнение (1.8). В принципе, коэффициенты h_m и g_m можно было бы перенормировать. Однако, уравнения (2.4), (2.5) используются на практике значительно чаще других, и поэтому эту нормировку не изменяют. Любые дополнительные сомножители в них могут привести лишь к усложнению численных расчетов.

Остающиеся проблемы связаны с начальными данными. Если известен явный вид функции f(x), то коэффициенты s_0,k можно вычислить, используя формулу (2.6). Но ситуация отличается от этой, если доступны только дискретные значения f(x). Чтобы достичь высокой точности, хорошо бы задать очень малые интервалы (плотную решетку), но это зачастую недоступно из-за конечности интервалов сбора информации. В таком случае простейшее принимаемое решение состоит в непосредственном использовании величин f(k) из доступного набора данных в виде коэффициентов s_0,k и применении быстрого вейвлет-преобразования с использованием формул (2.4), (2.5). Это безопасная операция, т.к. пирамидальный алгоритм обеспечивает полную реконструкцию сигнала, а коэффициенты s_0,k по сути представляют собой локальные средние значения сигнала, взвешенные со скейлинг-функцией.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов реферата