5797-1 (675527), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Доказательство: Проведем доказательство для случая объединения трёх множеств, из контекста будет ясна полная общность рассуждения.

Пусть А, В, С три счётных множества:

А={а₁, а₂, а₃, . . .}, В={b₁, b₂, b₃, . . . } и

С={с₁, с₂, с₃, . . .}.

Тогда множество D = АВС можно представить в форме последовательности:

D={а₁, b₁, c₁, а₂, b₂, c₂, а₃, . . .},

и счётность множества D очевидна.

Теорема 7. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся конечных множеств есть счётное множество.

Доказательство: Пусть А_k (k=1, 2, 3, . . . ) суть попарно не пересекающихся конечных множеств:

А₁={ . . . , };

А₂={ . . . , };

А₃={ . . . , };

. . . . . . . . . . . . . . .

Для того чтобы расположить объединение их С в форме последовательности, достаточно выписать подряд все элементы множества А₁, а затем элементы множества А₂ и так далее.

Теорема 8. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся счётных множеств есть счетное множество.

Доказательство: Пусть множества А_k (k=1, 2, 3, . . .) попарно не пересекаются и счетные. Запишем эти множества следующим образом:

А₁={ . . . };

А₂={ . . . };

А₃={ . . . };

. . . . . . . . . . . .

Если мы выпишем элемент , затем оба элемента и у которых сумма верхнего и нижнего индексов равна 3, затем элементы у которых эта сумма равна 4, и так далее, то множество С= окажется представленной в форме последовательности:

С = { . . . },

Откуда и следует счётность множества С.

Замечание: Условие отсутствия общих элементов в теоремах 5-8 могло быть опущено.

- 5 -

V. Используя доказанные выше теорем можно привести другое доказательство теоремы 2 отличное от предыдущего.

Доказательство теоремы 2: Множество дробей вида с данным знаменателем q, то есть множество . . . , очевидно счётное. Но знаменатель может принять также

счётное множество натуральных значений 1, 2, 3, . . . . Значит в силу теоремы 8, множество дробей вида является счётным множеством; удаляя из него все сократимые дроби и применяя теорему 4, убеждаемся в счётности множества всех положительных рациональных чисел R₊. Так как множество R_- отрицательных рациональных чисел очевидно эквивалентно множеству R₊, то счетным является и оно, а тогда счётно и множество R, ибо R= R₊ R_- {0}.

Из теоремы 2 вытекает следующие очевидное следствие.

Следствие. Множество рациональных чисел любого сегмента [a, b] является счётным множеством.

Сформулируем в виде теоремы еще один пример счётного множества.

Теорема 9. Множество Р всех пар натуральных чисел является счетным множеством.

Отступление: Под парой натуральных чисел понимают два натуральных числа данных в определённом порядке.

Доказательство: Назовём высотою пары (n, m) натуральное число n+m. Очевидно, имеется ровно k-1 пар данной высоты k, где k>1, именно

(1, k-1), (2, k-2), . . . , (k-1, 1).

По этому обозначая через Р_k множество всех пар высоты k, видим что множество Р есть объединение счётного множества конечных множеств Р_k, а отсюда по теореме 7 получаем что множество Р является счётным множеством.

Теорема 10 также даёт любопытный пример счетного множества.

Теорема 10. Множество S всех конечных последовательностей, составленных из элементов данного счётного множества D, есть счётное множество.

Доказательство: (посредствам полной математической индукции) Из предыдущей теоремы вытекает, что множество пар, составленных из элементов счётного множества D, есть счётное множество. Предположим, что доказана счётность множества S_m всех последовательностей, состоящих из m элементов данного счётного множества D. Докажем, что множество S_m+1 всех последовательностей, состоящих из m+1 элементов множества D также счётно. В самом деле, пусть

D={d₁, d₂, . . . , d_k, . . .}.

Каждой последовательности S^{(m +1)}=(d_i , . . , d_i , d_k) S_m+1 соответствует пара (S^(m), d_k), где S^(m)= (d_i , . . , d_i ) S_m, причем различным парам соответствуют различные пары этого вида. Так как множество S_m всех S^(m) счётно, и может быть записано в виде S , . . . , S , . . . , то счётно и множество всех пар (S , d_k) (взаимно однозначно соответствующих парам натуральных чисел индексов i, k), а значит, и множество всех S^{(m +1)}.

Так как каждое S_m счётно, то счётно и множество S, что и доказывает теорему.

В заключении докажем следующую, весьма общую теорему:

- 6 -

Теорема 11. Если элементы множества А определяются n значками, каждый из которых независимо от других пробегает счётное множество значений

А={a , , . . . , } (x_k=x , x , . . . ; k=1, 2, 3, . . . ,n),

то множество А счётно.

Доказательство: Докажем теорему методом математической индукции.

Теорема очевидна, если n=1, то есть имеется только один значок. Допустим, что теорема верна для n=m, и покажем, что она справедлива для n=m+1.

Итак пусть А={a , , . . . , , }.

Обозначим через A_i множество тех элементов А, для которых , где одно из возможных значений (m+1)-го значка, т. е. положим A_i =={a , , . . . , , }.

В силу сделанного допущения множество A_i счётно, а так как А= , то счётно и множество А.

Вот несколько предложений, вытекающих из этой теоремы:

Множество точек (x, y) плоскости, у которых обе координаты рациональны, счётно.

Но более интересным является следующий факт:

Множество многочленов с целыми коэффициентами счётно.

В самом деле, это непосредственно следует из теоремы 11, если только рассматривать многочлены фиксированной степени n, и для завершения доказательства следует применить теорему 8.

Список литературы

1.Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. – Ленинград, 1948.

Никольский С.М. Курс математического анализа. – Москва, 1983.

Кудрявцев Л.Д. Математический анализ (том 1). – Москва, 1973.

Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. – Москва, 1988.

Куратовский К. и Мастовский А. Теория множеств. – Москва, 1970.

Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в 19 веке. – Москва, 1965.

Характеристики

Список файлов реферата