49371 (666243), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Здесь через vij обозначен элемент объединения алфавита {а0, а1,..., аt} и множества предписаний для лентопротяжного механизма: l - переместить ленту влево, r - переместить ленту вправо, s - остановить машину; vij - действие МТ, состоящее либо в занесении в ячейку ленты символа алфавита a0, а1,..., аt, либо в движении головки, либо в останове машины; qij является последующим состоянием.

МТ работает согласно следующим правилам: если МТ находится в состоянии qi, головка прочитывает символ 0 в рабочей ячейке. Пусть строка qi аj vij qij, начинающаяся с символов qi, aj, встречается только один раз в таблице. Если vij - буква рабочего алфавита, то головка стирает содержимое рабочей ячейки и заносит туда эту букву. Если vij - команда r или l для лентопротяжного механизма, то лента сдвигается на одну ячейку вправо или влево (если не происходит выход за левый край ленты) соответственно. Если vij =s, то происходит машинный останов.

Машина Тьюринга начинает работу из некоторой начальной конфигурации, включающей в себя начальное состояние (обычно q0) и положение считывающе-записывающей головки над определенной ячейкой ленты, содержащей один из символов рабочего алфавита A.

Отметим, что наличие разнообразных символов в рабочем алфавите МТ позволяет представлять на ленте произвольную текстовую и числовую информацию, а переходы управляющего центра МТ в различные состояния моделируют запоминание машиной Тьюринга промежуточных результатов работы. Таблица, определяющая порядок работы МТ, не является в прямом смысле слова программой (ее предписания выполняются не последовательно, одно за другим, а описывают преобразования символов некоторого текста, находящегося на ленте). Таблицу МТ часто называют схемой машины Тьюринга или попросту отождествляют с самой машиной Тьюринга, коль скоро ее устройство и принцип функционирования известны.

Рассмотрим примеры нескольких схем машины Тьюринга.

1. Алгоритм прибавления единицы к числу п в десятичной системе счисления. Дана десятичная запись числа п (т.е. представление натурального числа п в десятичной системе счисления); требуется получить десятичную запись числа п + 1.

Очевидно, что внешний алфавит МТ должен состоять из десяти цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и символа пробела _. Эти цифры записывают по одной в ячейке (подряд, без пропусков).

Оказывается достаточным иметь два внутренних состояния машины: q1 и q2.

Предположим, что в начальный момент головка находится над одной из цифр числа, а машина находится в состоянии q1. Тогда задача может быть решена в два этапа: движения головки к цифре единиц числа (во внутреннем состоянии q1) и замене этой цифры на единицу большую (с учетом переноса 1 в следующий разряд, если это 9, во внутреннем состоянии q2. Соответствующая схема МТ может иметь вид

2. Алгоритм записи числа в десятичной системе счисления.

Дана конечная последовательность меток, записанных в клетки ленты подряд, без пропусков. Требуется записать в десятичной системе число этих меток пересчитать метки).

Суть алгоритма может состоять в том, что к числу 0, записанному на ленте в начале работы машины, машина добавляет 1, стирая метку за меткой, так что вместо нуля возникает число 0 + k.

Легко могут быть построены алгоритмы сложения чисел, их перемножения, нападения наибольшего общего делителя и т.д. Однако, главная цель введения машин Поста и Тьюринга не программирование для них, а изучение свойств алгоритмов и проблемы алгоритмической разрешимости задач.

В зависимости от числа используемых лент, их назначения и числа состояний устройства управления можно рассматривать различные модификации машин Тьюринга.

Предположим, мы расширили определение МТ, добавив определенное состояние q. устройства управления машины. Будем говорить, что если устройство управления переходит в состояние q0 для заданного входного слова х, то машина допускает х; если устройство переходит в состояние qx, то машина запрещает х. Такую машину будем называть машиной Тьюринга с двумя выходами. Могут быть рассмотрены многочисленные варианты машины Тьюринга, имеющие некоторое конечное число лент. В каждой клетке этих лент может находиться один из символов внешнего алфавита А = {a0, a1,..., аn}. Устройство управления машиной в каждый момент времени находится в одном из конечного множества состояний Q = {q0, q1,..., qm}. Для K-ленточной машины конфигурация ее в i-й момент времени описывается системой k-слов вида:

ail1 … aillqi aill+1 … si1t;

aik1 … aiklqi aikl+1 …aikv;

первый индекс соответствует моменту времени, второй - номеру ленты, третий - номеру клетки, считая слева направо. Говорят, что машина выполняет команду

qiaa1 … aak → qj ab1 k1 … abk kk,

К = {Л, С, П}.

Если, находясь в состоянии qi и обозревая ячейки с символами aa1 - aаk, машина переходит в состояние qj, заменяя содержимое ячеек соответственно символами аb1 - аbк, то после этого ленты соответственно сдвигаются в направлениях k1... kk.

До сих пор принималось, что различные алгоритмы осуществляются на различных машинах Тьюринга, отличающихся набором команд, внутренним и внешним алфавитами. Однако, можно построить универсальную машину Тьюринга, способную выполнять любой алгоритм любой машины Тьюринга. Это достигается путем кодирования конфигурации и программы любой данной машины Тьюринга в символах внешнего алфавита универсальной машины. Само кодирование должно выполняться следующим образом:

1) различные символы должны заменяться различными кодовыми группами, но один и тот же символ должен заменяться всюду, где бы он не встретился, одной и той же кодовой группой;

2) строки кодовых записей должны однозначно разбиваться на отдельные кодовые группы;

3) должна иметься возможность распознать кодовые группы, соответствующие командам Л, П, С, различать кодовые группы, соответствующие символам внешнего алфавита и внутренним состояниям.

Для сравнения структур различных машин и оценки их сложности необходимо иметь соответствующую меру сложности машин.К. Шеннон предложил рассматривать в качестве такой меры произведение числа символов внешнего алфавита и числа внутренних состояний. Большой интерес вызывает задача построения универсальной машин Тьюринга наименьшей сложности.

Может быть рассмотрено еще одно обобщение машин Тьюринга: их композиции. Операции композиции, выполняемые над алгоритмами, позволяют образовывать новые, более сложные алгоритмы из ранее известных простых алгоритмов. Поскольку машина Тьюринга - алгоритм, то операции композиции применимы и к машинам Тьюринга. Рассмотрим основные из них: произведение, возведение в степень, итерацию.

Пусть заданы машины Тьюринга T1 и T2, имеющие общий внешний алфавит А = {a0, a1,..., am} и внутренние состояния Q1 = {q0, q1,… qn} и Q2 = {q0, q1,..., qt} соответственно. Композицией или произведением машины T1 и машины T2 будем называть машину Т с тем же внешним алфавитом А = {a0, а1,..., am} и набором внутренних состояний Q = {q0, q1,..., q2,, qn+1,..., qn+1} и программой, эквивалентной последовательному выполнению программ машин Т1 и Т2:

Т = T1 * T2. .

Таким же образом определяется операция возведения в степень: n-й степенью машины Т называется произведение T... Т c n сомножителями.

Операция итерации применима к одной машине и определяется следующим образом. Пусть машина T1 имеет несколько заключительных состояний. Выберем ее r-е заключительное состояние и отождествим его в схеме машины с ее начальным состоянием. Полученная машина T является результатом итерации машины Т1: Т = T1.

Прежде чем остановиться на проблеме алгоритмической разрешимости задач обратимся к другим способам формализации понятия алгоритма.

Характеристики

Список файлов реферата