85310 (630730), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Следствие: если f(x) непр. [a,b]тогда она принимает все знач. заключ. Между ее max и min, т.е. E(f)=[m;M], где m и M –max и min f на отрезке.
Дифференцирование ф-ций
Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.
Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Логранджа Теорема Коши Правило Лопиталя
16. Дифференцирование ф-ций
Центральная идея диффер. ф-ций явл-ся изучение гладких ф-ций (без изломов и р-рывов кривые) с помощью понятия пр-ной или с помощью линейных ф-ций y=kx+b обладает простейшими наглядн. ф-циями; у=k‘ => k>0 то у возр. при всех х, k<0-то у убыв. при всех х, k=0 – ф-ция постоянна
Определение пр-ной
1) Пусть ф-ция y=f(x) определена по крайней мере в окр-тях т-ки х0, таким приращения х эл-нт. Составим соотв. ему приращения ф-ции т-ки х0. y=f(x0)=f(x0+x)-f(x0)
Образуем разностное отношение y/x=f(x0)/x (1) (это разностное отношение явл. ф-цией х, т.к. х0-фиксирована, причем при х0 мы имеем дело с неопр. 0/0).
Опр. Пр-ной ф-ции y=f(x) наз-ся предел разностного отношения 1 (при условии если он ), когда х0. Производная это предел отношения приращения в данной т-ке к приращению аргумента при усл., что посл-ть к 0. Эта производная обозначается через df(x0)/dx или f‘(x0), у‘ (если данная т-ка х0 подразумевается или же речь идет о пр-ной в любой текущей т-ке х. Итак согласно определению f‘(x0)=lim(x0) (f(x0+x)-f(x0))/x (2)
Если ф-ция f(x) имеет в т-ке х0 пр-ную, т.е. предел в правой части (2) , то говорят что f(x) дифференц. в т-ке х0.
2) Непрерывность и дифференцируемость
Т-ма. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложения f в т-ке х0 f(x0)=f(x0+x)-f(x0)= f‘(x0)x+(x)x (3), где (x)-б/м ф-ия при х0
Док-во. Заметим, что разложение (3) верно, что из него сразу следует что при х0 f(x0)0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная то из определения (2) и связи предела с б/м =>, что б/м ф-ция (х) такая что f(x0)/x=f‘(x0)+(x) отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на x.
Примеры.
1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е. y=c=const x, тогда y‘=0 для х. В этом случае y/x числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, => значит эго отн-ние = 0.
2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1) kN. Док-м для к=0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем т-ку х и дадим приращение х составим разностное отношение у/х=(х+х)^2-x^2/x=2х+ х => lim(x0)y/x=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к.
3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае y/x=(e^x+x-e^x)/x=e^x(e^x-1)/ x. Одеако предел дробного сомножителя = 1.
4)y=f(x)=x=(x, x>0;-x,x<0). Ясна что для х0 производная легко нах-ся, причем при y‘=1при x>0 y‘=-1 при x<0. Однако в т-ке x=0 пр-ная не . Причина с геом т-ки зрения явл. невозможность проведения бесисл. мн-во кассат. к гр-ку ф-ции. Все кассат. имеют угол от [-1,+1], а с аналит. т-ки зрения означает что прдел 2 не при x0=0. При x>0 y/x=x/x=1=>lim(x0,x>0)y/x=1 А левый предел разн-го отн-ния будет –1. Т.к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не . В данном случае одностор. пр-ная.
Опр. Правой(левой) пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim отношения (2) при усл. что х0+(х0-).
Из связи вытекает утвержд., если f(x) дифференц. в т-ке х0, то ее одностор. пр-ная также и не совпадает f‘(x0-) и f‘(x0+) обратно для пр-ной f‘(x0) необходимо, чтобы прав. и лев. пр-ные совпад. между собой. В этом случае они не совпад.
17. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.
Пр-ная f‘(x) – первого порядка; f‘‘(x) – второго; f‘‘‘(x)-третьего; fn(x)=(f(n-1)(x))‘. Пр-ные начиная со второй наз-ся пр-ными выс. порядка.
Дифференциал выс. порядков
dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.
Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0 пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0.
2)Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда т-ка с(a,b), в которой f‘(c)=0.
3)Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда т-ка c(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).
4)Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)0. Тогда т-ка с(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).
Правило Лопиталя.
Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x), то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x), когда предел конечный или бесконечный.
Раскрытие /. Второе правило.
Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x)=, то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x,x-,x+,xa-,xa+.
Неопред-ти вида 0, -, 0^0, 1^, ^0.
Неопр. 0, - сводятся к 0/0 и / путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^, ^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0
Выпуклые и вогнутые ф-ции
Т-ки перегиба
Выпуклость и вогнутость.
Б/б пол-ти
Гладкая ф-ция
Эластичность ф-ций
Выпуклые и вогнутые ф-ции
Для хар-ки скорости возр. или убыв. ф-ции, а также крутезны гр-ка ф-ции на участке монотонности вводится понятия вогн. вып-ти ф-ции на интервале, частности на всей числ. приямой.
Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой ф-ции имеет сл. вид у f(x) возр. для x>0. На инт. От (0,a) ф-ция возр. все быстрее. Его можно р-ривать, как этап образования фирмы вначале которого выпуск растет медленно, поскольку первые рабочие не прошли период адаптации, но с теч. времени эффект привл. доп. раб. рабочих становится все больше, и соотв. ув-ся крутизна графика. На (,a) ф-ция возр. все медл. и гр. становится все более пологой. а – это пороговое знач. числ. раб. силы начиная с которого привл. доп. раб. силы начиная с которого привл. раб. силы дает все меньший эффект в объемке вып-ка. А(х) возр. f‘(x)>0 x0, но на интервале от 0 до а (0;а) f‘(x) возр. в то время как (0;) f‘ убыв., а в т-ке а-max. По критерию монотонности это означает на (0;а) f‘‘(x)0 (f-выпукла), а на (a;) f‘‘(x)0 (f-вогнута).
Опр. Пусть f(x) дважды диф. ф-ция на (a,b), тогда:
1)назовем ф-цию f(x) выпуклой(вогн) на интервале (a,b), если 2-я пр-ная не отриц, т.е. f‘‘(x)0 (f‘‘(x)0) на (a,b)
2)Если в пункте 1 вып-ся строгие нер-ва 2-й пр-ной, то ф-ция наз-ся строго выпуклой(вогнутой) на интервале (a,b)
Т-ки перегиба
Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум.
Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны.
Выпуклость и вогнутость.
Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.
y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) x,x0(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.
Б/б пол-ти
Посл-ть {xn} наз-ся б/б, если для пол-ного числа А номер N такой, что при n>N вып-ся нер-во xn>A
Возьмем любое число А>0. Из неравенства xn=n>A получаем n>A. Если взять NА, то n>N вып-ся xn>A, т.е. посл-ть {xn} б/б.
Замечание. Любая б/б посл-ть явл. неограниченной. Однако неогранич. Посл-ть может и не быть б/б. Например 1,2,1,3,1,…,1,n… не явл. б/б поскольку при А>0 нер-во xn>A не имеет места xn с нечет. номерами.
Гладкая ф-ция
Сл. ф-ция f(x) тоже явл. гладкой, т.е. f‘ и непрерывна причем имеет место сл. ф-ла F‘(x)=f‘((x))‘(x) (4). Используя ф-лу (4) получаем y‘=(lnf(a))‘=f‘(x)/f(x) (5) – логарифмической пр-ной. Правая часть это скорость изменения у (ф-ция f(x)) приходится на ед-цу абсол. значения этого пок-ля поэтому логарифм. Произв. наз-ют темпом прироста показателя y или f(x). Пусть известна динамика изменения цены на некотором интервале, причем P(t) гладкая ф-ция. Что можно назвать темпом роста этой ф-ции, при t=R. Темп ростаприросту.
Пр-р y=e^x. Найдем темп прироста. f‘/f=темп прироста=e^x/e^x=. Экспонициальная ф-ция имеет постоянный темп прироста.
Эластичность ф-ций
Опр. Пусть гладкая ф-ция y=f(x) описывает изменение экономической переменной у от эк. пер. х. Допустим f(x)>0 => имеет смысл лог. пр-ная. Эл-ностью ф-ции f(x) или у наз-ся сл-щая вел-на опред-мая с помощью лог. пр-ной.
Ef(x)=xf‘(x)/f(x)=x(lnf(x))‘ (6). Выясним эк. смысл этого показателя для этого заменим в (6) пр-ную ее разностным отношением f(x0)/x и будем иметь Ef(x)x(f(x)/x)/f(x)=(f(x)/f(x))/(x/x). В числителе стоит относит. Прирост ф-ции f в т-ке x, в знаменателе относ. прир. аргумента. => эл-ность ф-ции показывает на сколько % изменяется пок-ль y=f(x) при изменении перем. х на 1%. Эластичность – пок-ль реакции 1-й переменной на изменение другой.
Пр-р. р-рим ф-цию спроса от цены, пусть D=f(p)=-aP+b – линейная ф-ция спроса, где а>0. Найдем эластичность спроса по цене. Ed(P)=PD‘/D=P(-a)/(-aP+b)=aP/(aP-b)=> эл-ность линейной ф-ции не постоянна
Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций
Т-ма Ферма Т-ма Коши
Интервалы монотонности ф-ции
Т-ма Логранджа. Т-ма Ролля Т-ма Тейлора Т-ма Коши Правило Лопиталя.
Производная обратной ф-ции
Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций
Все применения базируются на опред-нии пр-ной, как предела разностного отношения, а также на сл-щей т-ме.
Т-ма Ферма. Если диф. на интервале (a,b) f(x) имеет в т-ке ч0 локальный экстремум, то пр-ная этой ф-ции обращается в 0, т.е. f‘(x0)=0 (8). Это необходимое усл. локал. экстр., но недостаточное.
Опр. Все т-ки в которых пр-ная ф-ции f(x) обращается в 0 наз-ся крит. т-ми f(x). Из т-мы Ферма => экстремум надо искать только через крит. т-ки.
Т-ма Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g‘(x)0, тогда т-ка c(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c)
Интервалы монотонности ф-ции
Т-ма. Пусть f(x) диффер. На интервале (a,b), тогда справедливы сл. утверждения f(x) монотонно возр. (убывает) на интервале (a,b) тогда, когда f‘(x)0 на интервале (a,b) и f‘(x)>0 (f‘(x)<0), то строго возр. (убыв) на (a,b).
х интерв. монотонно убывает, касательная имеет тупой угол наклона f‘(x1)<0 для x2 противоположная ситуация.
Т-ма Логранджа. Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда т. х и x+x [a,b] т-ка С лежащая между х и х+х такая что спаведлива ф-ла (f(x+x)-f(x))=f(c)x (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не запрещены.
Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+x=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.
(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)
Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) (x-a)
Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]
А)Непрерывна на [a,b]
Б) Дифференц. на (a,b)
В) g(a)=g(b)=0
Все усл. Ролля соблюдены, поэтому т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.
Т-ма Ролля. Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.
А)Непрерывна на [a,b]
Б) Дифференц. на (a,b)
В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b) т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.
Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 x (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. с(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.
Т-ма Тейлора. «О приближении гладкой ф-ци к полиномам»
Опр. Пусть ф-ция f(x) имеет в т-ке а и некоторой ее окрестности пр-ные порядка n+1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, ха. Тогда между т-ми а и х надутся т-ка такая, что справедлива ф-ла Тейлора. f(x)=f(a)+f‘(a)/1!(x+a)+ f‘‘(a)/2!(x+a)^2+f^(n)(а)/n!+f^(n+1)()/(n+1)!(x-a)^(n+1).
Док-во. Сводится к Роллю путем введения вспом. переменной g(x).
g(x)=f(x)-f(a)-f‘(x)(x-a)-…-1/n!f^n(x)(x-a)^n-1/(n+1)!(x-a)^n+1. По т-ме Роляя т-ка с из (a,b), такая что g(c)=0 =f^(n+1)(c)
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
