85034 (630686), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

условию Поэтому утверждение верноИзобразим условие теоремы и результат доказанного схемой

K

x f f(x) K

y

Ker f 0

E Kx

0 K Ker f

Зададим отображение К/ker fK’ , (Kx)=f(x).

(Kx+Ky)=(Kx+y)=f(x+y)=f(x)+f(y)=(Kx)+(Ky);

(KxKy)=(Kxy)=f(xy)=f(x)f(y)=(Kx)(Ky), те -гомоморфизм.

КхКу(Кх)(Ку).Пусть это не такпусть (Кх)=(Ку)f(х)=f(у)х и у из одного класса,что противоречит условию; т.е. - мономорфизм. хК; т.к. f- эпиморфизм, то хК, f(х)=х, тогда Кх К(ker f : E(х)=Кх, а (Кх)=х, что позволяет утвердждать: - эпиморфизм

Итак , -изоморфизм К/ker f и К.

Пусть оЕ(х) ;оЕ(х)=(Е(х))=(Кх)=f(х)оЕ=f

Вопрос 8 . Делимость в кольце целых чисел ()

В вопросе ставится проблема отношения делимости в кольце целых чисел и возможное его приложение для нахождения НОД и НОК целых чисел.

Опр.1.

Число а называется делящимся на число во, если существует такое число с, что а=вс,

а называют в этом случае делимым, в – делителем, с – частным. Обозначают отношение ”.

Отношение делимости на обладает рядом свойств:

1 а 0, аа, | Доказательство:

2 а0, в0, а: в, ваа=в, | а0 а=а1аа;

3 а,в,с, а:в и вс ас | ава=вс

Истинность названных трех | вав=аd а=а(dс)а1=а(dс)

Свойств позволяют утверждать, | а(1-dс)=01-dс=0dс=1 (нет делителей редко)

Что отношение делимости |d и с делением 1, т.е.равны 1 или (-1)

является нестрогим частичным | ава=вк а=с(mк)ас

порядком. | всв=сm

4а:в ,сва+вс, авс

5 асвс, с0ав и ряд других

Убедимся в том, что отношение делимости не обладает свойством связности , т.е. является частичным. Это легко проверить примером: 4/5. Потому естественным образом возникает проблема деления целого числа на другое не равное нулю. Такая ситуация описывается теоремой о делении с остатком.

Т 2.

а,в0, (!)gч такие, что а=вg+ч, где 0чв

Теорема содержит в себе две: о существовании и о единств.

Рассмотрим ихдоказательства.

Случай 1. а0.Проведем доказательство методом матиндукции.

а=0 0=в0+0, где видно , что g=0, r=0

а=п и пусть теорема для п верна, т.е.

(1) п=вg+r, 0r , 0в

а=п+1 прибавим к обеим частям равенства (1) по 1, получим:

п+1=вg+(r+1). Исследуем (r+1).Если r+1в, то теорема верна для п+1, если r+1=в,то

п+1=в(g+1)+0 и теорема вновь верна. На основании принципа матиндукции можно утверждать,что теорема верна для любого целого числа а0.

Случай 2. а0, тогда -а0 и теорема для этого числа верна, т.е.-а=вg+r 0rв.

Поступим так:

А=в(-g)+(-r), прибавим к левой части и вычтем в, получим а=в(-g)-в+в+(-r)a=b(-1-g)+

(b-r), где –1-g, в-r в, при r0, т.е. теорема верна.

(!) Пусть для а,в0 существует два варианта:

а=вg1+r1, а=вg2+r2, где 0r1,r2в.

Заметим, что g1=g2r1=r2.

Действительно, если r1=r2r1-r2=в(g2-g1)=0, в0g2-g1=0

G1=g2, g1=g2g2-g1=0r1-r2=0r1=r2.

Поэтому рассмотрим случай, когда r1r2, тогда вg1+r1=вg2+r2r1-r2=в(g2-g1).

Так как 0 rb, 0r2b, то r1-r2b. С другой стороны b(g2-g1)bg2-g1g1g2b,

Т.е. R1-r2b, что привело к противоречнию. Теорема доказана.

Рассмотрим возможное применение отношения делимости и отношения с остатком для введения

и способа вычисления НОД и НОК двух целых (натуральных) чисел. Введем определение

НОД и НОК.

Опр.3 Наибольшим общим делителем двух целых чисел а и в называется такой

Их общий делитель, который делится на всякий другой их общий делитель.

Опр.4. Наименьшим общим кратным двух целых чисел называется такое их

общее кратное , на которое делится всякое другое их общее кратное.

НОД и НОК двух чисел и большего числа можно находить способом разложения на

простые множители. Здесь рассмотрим другие способы в частности, алгоритм

Евклида.

Алгоритм Евклида представляет собой конечный процесс деления одного числа

на другое, затем второго числа на первый остаток, затем первый остаток

деления на второй и так до тех пор, пока деление завершится без остатков.

Это считается возможным, потому что остатки будут неотрицательным числом,

убывают, что бесконечным быть не может.

Оформим этот процесс математически:

аbg1+r1, 0r1b,

b=r1g2+r2, 0 r2r1,

…………..

rk-2=rk-1gk+rk, 0rkrk-1

rk-1=rkgk+1 rk+1=0

и докажем теорему о нахождении НОД чисел. Заметим, что НОД чисел обозначаем так:

НОД (а;в), или просто (а,в)

Теорема 5

Последний, отличный от нуля, остаток в алгебре Евклида является НОД (а;в).

Для доказательства требуется предварительно рассмотреть две леммы:

Лемма 1: а=вg+r, то (а,в)=(в,r)

(a,b)=dad1bda-bgdrdd – общий делитель в и r,

т.е., если (в,r)=d1,то d1d (1)

(в,r)=d1bd1, rd1ad1d1общий делитель a и b,dd1 (2)

Из (1) и (2) следует, что d=d1

Лемма 2: ав (а,в)=в

Теперь допишем теорему. Из последнего равенства в алгоритме Евклида следует, что

(rk-1,rk)=rk. А из предпоследнего, по лемме, следует, что (rk-2,rk-1)=(rk-1,rk)=rk

Поднимаясь от равенства к равенству в алгоритме Евклида получим (а,в)=,rk

Что и требовалось доказать.

Решим вопрос о нахождении НОК (а,в).Обозначим НОК (а,в)=m

И докажем теорему

Теорема 6 m=ab/(a,d). Для доказетельства воспользуемся определением НОК.

Напишем, что ав/(а,в) делится на а и на в.

(а,в)=a=a1d, тогда ab/(ab)=a1db1d/d(a1b1)=ab1=a1b, что и доказывает утверждение.

………..b=b1d

………..(a1,b1)=1

Покажем, что любое кратное чисел а и в делится на m.Пусть М общее кратное а и в

М=ак, М=вmM=abs=absd/d=ab/(a,b)sd

M:ab/(a,b), что и требовалось доказать. Используя определение НОК (а,в) можно

Сделать вывод, что m=ab/(a1b)

Вопрос 9 Элементы теории сравнения с кольце

В вопросе решается проблемы возможности задания бинарного отношения

”cравнение по модулю m” в кольце целых чисел, его свойств, среди которых построение

новых алгебр из .

Пусть -кольцо целых чисел, m , m 1

Опр.1 Числа а и в называются сравнимыми по модулю m, если а-в:m.

Записывается: а=в(modm).

Легко показать, что введенное бинарное отношение на является отношением эквивалентности, т.е.

обладает свойствами рефлексивности ,симметричности ,транзитивности.

Действительно:

1 a-a=0, 0:maa (modm);

2 ab (modm)a-b:mb-a:mba (modm);

3 ab (modm), bc (modm)a-b:m,(a-b)+(b-c):ma-c:m

…………………………………ac (modm)

Это очень важное свойство отношения сравнения,т.к. в таком случае оно задает разбиение

На , что рождает фактор – множество К/m=m, как множество классов эквивалентности.

Общая теория колец рассматривает эту ситуацию и утверждает, что

Здесь же мы рассмотрим порождение другой алгебры – мультипликативной группы.

Для этого введем понятие взаимной простоты класса и модулем m.

Класс Ка=а называется взаимнопростым с m, если (а,m)=1, где а –образующей класса Ка

Однако в теории классов известно, что таким обьразующим может быть любой элемент из этого

класса).

Рассмотрим множество классов вычетов, каждый из которых взаимно прост с m.

Известно, что количество чисел, взаимно простых с модулем определяет функцию

Эйлера g(m) ,и что остатком от деления целых чисел на m составляют полную систему вычетов

Взаимно простые с m следует искать среди классов Ко,К1,К2,…,Кm-1. Пусть такими

классами будут r1,r2,…rg(m) . Такую систему классов называют приведенной

Системой классов вычетов и их представителем приведенной системы вычестов

r1,r2,…rg(m).

В этой системе ровно g(m) элементов, ( ri,m)=1, (ri,m)=1

Теперь докажем теорему о приведенной системе классов вычетов.

Теорема 2. Приведенная система классов вычетов по модулю не образует

мультипликативную группу.

Для доказательства теоремы необходимо проверить существенные признаки мультипликативной группы,

т.е. проверить:

1. замкнутость относительного умножения,

2. ассоциативность умножения,

3. существование единичного элемента,

4. существование для каждого элемента обратного.

Рассмотрим r1,ri,…rg(m),где (ri,m)=1, напомним ,что rirj=rirj.

(rim)=1

(rj,m)=1

1. (ri,m)=1

……(rj,m)=1 Если предположить, что (rirj,m)1, то это будет означать, что

най р-простое число такое, что rirj:p1 m:p

Если ri или rj делятся на р, то нарушаем условие (1).Если ri p, то по известному утверждению,

ab:p,(a,p)=1b:p, следует, ri:p, что также приводит к противоречию (1). И так,

(ri:rj,p)=1

(rirj,p)=1, т.е.rirgr1,r2,…rj(m), что утверждает с необходимостью замкнутость

очередного умножения. Так как классы вычетов rim, то умножение

Так как (1,m)=1, то ri=1, т.е. единый класс в рассматриваемом множестве есть.

Пусть а, (а,m)=1, рассмотримar1,ar2,…arg(m).Легко показать, что

Это тоже приведенная система вычетов.Тогда ari=1ari=1, т.е. для ri

Существует класс ему обратный: а=ri-1. Можно существование обратного класса доказать и таким

Способом: a,r2…rg(m)=rj, сократим на ri, получим r1,r2…rj-1,rj+1 rg(m)=1, тогда

(r2…rg(m)=(r1)-1,(r1r3…rg(m)=(r2)-2 и т.д., что подвтерждает факт существования для

каждого класса ri ему обращенного ri-1. Теорема доказана.

Теория сравнения имеет всевозможное применение. В частности, теория сравнения

Используется при выводе признаков делимости. Сформулируем общий признак

Делимости на m, m1, который назван признаком Паскаля. В основе этого признака лежит систематическая запись натурального числа в системе с основанием g, т.е.

(a_na_n-1…a₁a₀)g=a_ngⁿ+a_n-1g^n-1+…a₁g¹+a0_g.

Теорема 3.(Паскаля) Число а=(а_n,a_n-1…a1,a0)g делится на m,m1 тогда и только

Тогда, когда на m деления в число: a_nr_m+a_n-1r_n-1+…a₁r₁+a₀r₀, где r_i остаток

От деления g_i на m.

g=mg⁰+r₀, g¹=mg²+r₁,…gⁿ=mgⁿ=r_n

g⁰r₀(m₀d_m),g1r₁(m₀d₀),…,gⁿrn(m₀d₀). Используя свойства сравнения легко получаем,

что a_ngⁿ+…+a₀g⁰a_nr_n+…+a₀r₀ (m₀d₀). Воспользуемся определение сравнения, мы получаем истинность теоремы.

Общий признак позволяет вывести частный признак.

Выведем признак делимости на 3 и на 5, если число записано в десятичной

Системе исчисления.

1. m=3, g=10,тогда 10=11(mod3),

101 (mod3), используем лемму, можно утверждать, что остатки r_i =1, по

по признаку Паскаля

(a_na_n-1…a₀)10a_n+…a₀(mod3), откуда можно сфоормулировать признак

делимости на 3:

“Число делится на 3 тогда и только тогда, когла сумма его цифр в

десятичной делится на 3”.

Пусть Р(), т.к. Р() = Р, то = а_S^s +···+a₁ + a₀, где f(х) = а_Sх^s +···+a₁х + a₀ Рх, f() = . Пусть g(х) – линейный элемент для , т.е. g(х) = b_nхⁿ + ···+ b₁х + b₀. Разделим f(х) на g(х) :

1. f(х) = g(х) g₁(х) + r(х), 0 deg r(х) < n, т.е. r(х) = с₀ + с₁х +···+ с_n-1х^n-1. (с_iр).

положим х = в (1), получим f() = g() g₁() + r(), т.к. g() = 0, то f() = r(), т.е. = с₀ + с₁ +···+ с_n-1^n-1. Получили, что такое представление однозначное.

Пусть = с₀ + с₁ +···+ с_n-1^n-1 и = d₀ + d₁ +···+ d_n-1^n-1.

Рассмотрим многочлен φ(х) = (с₀ - d₀) + (с₁ - d₁)х + ∙∙∙ + (с_n-1 - d_n-1)х ^n-1, причем φ() = 0, т.е. получился многочлен, степени меньше чем n, для которого является корнем, что противеречит линейности многочлена для . Если φ(х) существует, то он нулевой, поэтому с_i = d_i, что и доказывает теорему.

Посмотрим как возможно изменить эту теорему для освобождения от алгебраической иррациональности в знаменатели дроби.

Пусть – алгебраический элемент степени n > 1 не из Р

Пусть f(х), h(х) два многочлена из Рх, h() 0. Тогда в р() может быть дробь . Возникает проблема представить дробь в виде линейной комбинации

степеней . Это возможно, так как любой элемент из р() есть линейная комбинация 1, ,…, ^n-1 Задача состоит в нахождении алгоритма преобразования.

П усть g(х) – минимальный многочлен для степени n. Т.к. h() 0, то h(х) g(х) (h(х), g(х)) = 1 uh + vg = 1. Т.к. g() = 0, u () h () = 1 u() = . Следовательно, = f ()u() , где f(х), u(х) Рх, а f (), u() Р. Таким образом удалось освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, а сделать это можно так:

1. р ассмотрим h(х) и g(х) – минимальные , если

1. с помощью алгоритма евклида подобрать u(х) такой, что h(х) g(х) + v(х) g(х) = 1;

1. найти u();

= f ()u()

Вопрос 10. Кольцо многочленов от одной переменной.

Вопрос предполагает решение проблемы построения кольца многочленов как алгебры и решение проблемы о корнях многочлена.

Для построения кольца многочленов как алгебры напомним определение алгебры.

Определение 1. Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств , где множество элементов любой природы, а V – множество операций.

Одной из алгебр является кольцо.

Определение 2. Кольцом называется алгебра с двумя бинарными операциями – сложение и умножение -, удовлетворяющих следующим свойствам:

1. - аддитивная абелева группа;

2. “ ”- ассоциативная операция;

3. Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом.

Для построения кольца многочленов зададим кольцо К и введем понятие многочлена.

Определение 3. Многочленом f(x) называется сумма a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀, где a_iK, x – неизвестное, xK, x⁰=1, 1·x= x. a_i называют коэффициентами многочлена, a_n- старшим, a₀ – свободным членом.

Определение 4. Суммой двух многочленов и называется многочлен h(x)=f(x)+g(x), h(x)=c_kx^k+...+c_0, где c_i=a_i+b_i. Определение 5. Произведением двух многочленов и называется многочлен , где .

Обозначим множество всех многочленов с коэффициентами из кольца K через K[x] и рассмотрим алгебру . Докажем теорему о том, что эта алгебра является кольцом.

Теорема 6. Алгебра многочленов , с коэффициентами из кольца K образует кольцо.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)