25927-1 (630648)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Реферат

на тему:

“Виды тригонометрических уравнений”

Успенского Сергея

Харцызск

2001 год

Виды тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x - /4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - /4).

sin(3x - /4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим

3х - /4 = (-1)ⁿ arcsin 1/2 + n, nZ.

Зх - /4 = (-1)ⁿ /6 + n, nZ; 3x = (-1)ⁿ /6 + /4 + n, nZ;

x = (-1)ⁿ /18 + /12 + n/3, nZ

Если k = 2n (четное), то х = /18 + /12 + 2n/3, nZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - /18 + /12 + ((2n + 1))/3 =

= /36 + /3 + 2n/3 = 13/36 + 2n/3, nz.

Ответ: х1 = 5/6 + 2n/3,nZ, x2 = 13/36 + 2n/3, nZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 n, nZ; x, = 65° + 120° n, nZ.

Пример 2. sinx + з cosx = 1.

Решение. Подставим вместо з значение ctg /6, тогда уравнение при­мет вид

sinx + ctg /6 cosx = 1; sinx + (cos/6)/sin/6 cosx = 1;

sinx sin /6 + cos /6 cosx = sin /6; cos(x - /6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х - /6 = ± arccos 1/2 + 2n, nZ; x = ± /3 + /6 + 2n, nZ;

x1 = /3 + /6 + 2n, nZ; x1 = /2 + 2n, nZ;

x2 = - /3 + /6 + 2n, nZ; x2 = -/6 + 2n, nZ;

Ответ: x1 = /2 + 2n, nZ; x2 = -/6 + 2n, nZ.

2. Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = n, nZ, x2 = /4 + n/2, nZ.

Ответ: x1 = n, nZ, x2 = /4 + n/2, nZ.

3. Разложение на множители:

Пример 1. sinx + tgx = sin²x / cosx

Решение. cosx 0; x /2 + n, nZ.

sinx + sinx/cosx = sin²x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx cosx + sinx - sin²x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 = n, nZ; cosx - cos(/2 - x) = -1; 2sin /4 sin(/4 - x) = -1;

2 sin(/4 - x) = -1; sin(/4 -x) = -1/2; /4 - x = (-1) ⁿ⁺¹ arcsin 1/2 + n, nZ;

x2 = /4 - (-1) ⁿ⁺¹ /4 - n, nZ; x2 = /4 + (-1) ⁿ /4 + n, nZ.

Если n = 2n (четное), то x = /2 + n, если n = 2n + l (нечетное), то x = n.

Ответ: x1 = n, nZ; x2 = /4 + (-I)ⁿ /4 + n, nZ.

4. Способ подстановки

Пример 1. 2 sin²x = 3cosx.

Решение. 2sin²x - 3cosx = 0; 2 (l - cos²x) - 3cosx = 0; 2cos²x + 3cosx - 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| 1. 2z² + 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетво­ряют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± /3 + 2n, nZ. Ответ: х = ± /3 + 2n, nZ.

5. Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin²x + b sinxcosx + c cos²x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin³x + b sin²x cosx + c sinx cos²x + d sin³x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx 0, cosx 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin²x или на cos²x и приводятся к уравнениям отно­сительно tgx или ctgx.

Пример 1. 3sin² 2x - 2sin4x + 3cos²2x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение 3sin²2x - 4sin2xcos2x + 3cos²2x = 0.

Разделим на cos²2x. Уравнение примет вид 3 tg²2x – 4tg2x + 3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда 3z² - 4z + 3 = 0; Д = 4; Д = 2.

z1 = (4 +2)/23 = 6/23 = 3; z2 = (4 – 2)/23 = 1/3

tg2x = 3 или tg2x = 1/3

2x = /3 + n, nZ; 2x = /6 + n, nZ;

x1 = /6 + n/2, nZ ; x2 = /12 + n/2, nz.

Ответ: x1 = /6 + n/2, nZ ; x2 = /12 + n/2, nz.

6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sin = 4/5; cos = 3/5; sin(x+) = 1, x + = /2 + 2n, nZ.

Ответ: x = /2 - arcsin 4/5 + 2n, nZ.

7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется сле­дить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/(3-tgx) – 1/(3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx ± 3, х ± /8 + n, nZ и х ± /2 + n, nZ.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тан­генс половинного угла.

(3 + tgx - 3 + tgx)/3 - tg²x = 2tgx/ (1 + tg²x); 2tgx / (3 - tg²x) = 2tgx/(1 + tg²x)

x1 = n, nZ

Второе уравнение имеет вид

2tg²x - 2 = 0; tg²x = 1; tgx = ±1; x2 = ± /4 + n, nZ.

Ответ: x1 = n, nZ; х2 = ± /4 + n, nZ.

8. Иррациональные тригонометрические уравнения

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под зна­ком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррацио­нальным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которы­ми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учи­тывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

Пример 1. ( cos²x + ½) + ( sin²x + ½) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos²x + ½ + 2 (( cos²x + ½) ( sin²x + ½)) + sin²x + ½ = 4

(( cos²x + ½) ( sin²x + ½)) = 1; ( cos²x + ½) ( sin²x + ½) = 1

( ½ + ½ cos2x + ½)( ½ - ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 - ½ cos2x) = 1;

1 – ¼ cos²2x = 1; cos2x=0; x = /4 + n/2, nz

Ответ: x = /4 + n/2, nz.

9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функ­ции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют до­полнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x² + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x²+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х² + 5х = 6 + n, nZ; х² + 5х - (6+n) = 0, nz;

Д = 25 + 4(6 + n) = 49 + 4n, nZ; х1,2 = (-5 (49 + 4n))/2, nz

Решение имеет смысл, если 49 + 4n > 0, т.е. n -49/4; n -3.

Литераура:

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 116 - 125)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 62 - 78)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)