183861 (629949), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Подставляя в это уравнение значения t = 1,…, 36, найдем уровни T для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев.

Шаг 6. В соответствие с методикой построения аддитивной модели расчет абсолютной ошибки производится по формуле:

E = Y – (T + S).

Исходя из значений выше приведенных показателей качества, можно сделать вывод о том, что модель обладает высокой точностью и пригодна для прогнозирования.

2. 2.3 Мультипликативная модель временного ряда

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней временного ряда методом простой скользящей средней. Методика, применяемая для мультипликативной модели, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Расчетная таблица модели приведена в Приложении 4.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Используем эти оценки для расчета значений скорректированной сезонной компоненты. Для этого найдем средние за каждый месяц оценки сезонной компоненты. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений скорректированной сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равно числу периодов в цикле, т.е. двенадцати, так как в нашем случае число периодов одного цикла равно 12 месяцам. В результате имеем следующие сезонные компоненты: 1,526 + 1,010 + 1,280 + 1,183 + 1,329 + 1,032 + 0,712 + 0,631 + 0,680 + 0,874 + 1,008 + 1,021 = 12,287.

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее на средние оценки на корректирующий коэффициент k:

Проверим условие равенства двенадцати суммы значений скорректированной сезонной компоненты:

1,491 + 0,987 + 1,250 + 1,155 + 1,298 + 1,008 + 0,695 + 0,616 + 0,664 + 0,853 + 0,985 + 0,997 = 12.

Получим следующие значения скорректированной сезонной компоненты (Таблица 4):

Таблица 4 - Значения скорректированной сезонной компоненты

Январь	S1	1,491	Июль	S7	0,695
Февраль	S2	0,987	Август	S8	0,616
Март	S3	1,250	Сентябрь	S9	0,664
Апрель	S4	1,155	Октябрь	S10	0,853
Май	S5	1,298	Ноябрь	S11	0,985
Июнь	S6	1,008	Декабрь	S12	0,997

Занесем полученные значения для соответствующих месяцев каждого года.

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения скорректированной сезонной компоненты. Получим: T · E = Y / S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (T · E). Результаты аналитического выравнивания:

Т = -64018,071 + 1201,064 · t; R² = 0,863

Таблица 5 - Статистика уравнения тренда

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-64018,071	1744,938	-36,688	6,24E-29
t	1201,064	82,242	14,604	3,27E-16

Уравнение описывает на 86,3% вариацию исходного показателя естественного прироста, при этом уравнение является статистически значимым при уровне надежности 95%.

Подставляя в это уравнение значения t = 1,…,36, найдем уровни Т для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения скорректированной сезонной компоненты для соответствующих месяцев.

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:

E = Y / (T · S)

Исходя из значений выше приведенных показателей качества, можно сделать вывод о том, что модель обладает высокой точностью и пригодна для прогнозирования.

2. 2.4 Одномерный анализ Фурье

Выполним одномерный анализ Фурье для показателя естественного прироста населения РФ. Расчетная таблица ряда Фурье представлена в Приложении 5.

Переменными для составления модели будут следующие: t, cos(2·Π·t/12); sin(2·Π·t/12); cos(4·Π·t/12); sin(4·Π·t/12); cos(6·Π·t/12); sin(6·Π·t/12).

Значение знаменателя каждой дроби обусловлено периодичностью сезонных колебаний.

Построив модель с включением данных переменных, получаем следующее уравнение:

Ŷt = -64314,412 + 1178,132 · t – 5360,004 · cos(2·Π·t/12) –12253,175 · sin(2·Π·t/12) – 4098,437 · cos(4·Π·t/12) + 1894,178 · sin(4·Π·t/12) + 933,424 · cos(6·Π·t/12) –5109,257 · sin(6·Π·t/12); R² = 0,897

Таблица 6 - Статистика уравнения для модели ряда Фурье

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-64314,412	2390,342	-26,906	1,49932E-21
t	1178,132	113,994	10,335	4,62652E-11
cos(2Pi*t/12)	-5360,004	1595,524	-3,359	0,002267582
sin(2Pi*t/12)	-12253,175	1647,329	-7,438	4,22248E-08
cos(4Pi*t/12)	-4098,437	1595,524	-2,569	0,015828755
sin(4Pi*t/12)	1894,178	1603,648	1,181	0,247471866
cos(6Pi*t/12)	933,424	1595,524	0,585	0,56321529
sin(6Pi*t/12)	-5109,257	1595,524	-3,202	0,003385848

Уравнение описывает на 89,7% вариацию исходного показателя естественного прироста, при этом уравнение является статистически значимым при уровне надежности 95%.

Но коэффициенты перед переменными sin(4·Π·t/12) и cos(6·Π·t/12) не удовлетворяют данному уровню надежности.

Исключим их из модели и перестроим уравнение регрессии.

Ŷt = -64096,083 + 1166,330 · t – 5348,202 · cos(2·Π·t/12) – 12297,219 · sin(2·Π·t/12) – 4086,636 · cos(4·Π·t/12) – 5121,059 · sin(6·Π·t/12); R² = 0,891

Таблица 7 - Статистика уравнения для модели ряда Фурье

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-64096,083	2361,646	-27,140	1,138E-22
t	1166,330	112,370	10,379	1,90859E-11
cos(2Pi*t/12)	-5348,202	1588,773	-3,366	0,002101931
sin(2Pi*t/12)	-12297,219	1639,342	-7,501	2,31486E-08
cos(4Pi*t/12)	-4086,636	1588,773	-2,572	0,015299504
sin(6Pi*t/12)	-5121,059	1588,773	-3,223	0,003049779

Уравнение описывает на 89,1% вариацию исходного показателя естественного прироста, уравнение статистически значимо при уровне надежности 95%. Все коэффициенты уравнения статистически значимы при аналогичном уровне надежности.

Модель имеет высокие показатели среднеквадратической ошибки и средней ошибки аппроксимации, но может быть использована для прогнозирования.

1. 2.5 Регрессионная модель с переменной структурой (фиктивные переменные)

Рассмотрим еще один метод моделирования временного ряда, содержащего сезонные колебания, - построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. В данном случае при моделировании ежемесячных данных модель должна включать двенадцать независимых переменных – фактор времени и одиннадцать фиктивных переменных. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную (циклическую) компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.

Построим модель регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных для данных о естественном приросте населения в РФ. В данной модели двенадцать независимых переменных: t, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9, D10, D11, D12 и результативная переменная Y. Составим матрицу исходных данных (Приложение 6).

Уравнение регрессии имеет вид:

Ŷt = -89444,083 + 1132,083 · t + 24047,583 · D2 + 17218,167 · D3 + 21431,750 · D4 + 15077,333 · D5 + 26904,583 · D6 + 40734,833 · D7 + 43809,083 · D8 + 38606,667 · D9 + 32848,917 · D10 + 26662,833 · D11 + 24437,083 · D12

R² = 0,960

Уравнение описывает на 96,0% вариацию исходного показателя естественного прироста, уравнение статистически значимо при уровне надежности 95%.

Оценим параметры уравнения регрессии обычным МНК. Результаты оценки приведены в Таблице 8.

Таблица 8 - Статистика уравнения для модели с фиктивными переменными

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-89444,083	2879,238	-31,065	2,76051E-20
t	1132,083	79,218	14,291	6,2844E-13
D2	24047,583	3803,309	6,323	1,8825E-06
D3	17218,167	3805,783	4,524	0,000152385
D4	21431,750	3809,903	5,625	1,00291E-05
D5	15077,333	3815,664	3,951	0,000634609
D6	26904,583	3823,058	7,037	3,59459E-07
D7	40734,833	3832,075	10,630	2,38467E-10
D8	43809,083	3842,705	11,401	6,10242E-11
D9	38606,667	3854,934	10,015	7,43321E-10
D10	32848,917	3868,747	8,491	1,52119E-08
D11	26662,833	3884,126	6,865	5,33422E-07
D12	24437,083	3901,054	6,264	2,16207E-06

Проанализируем эти результаты. Все коэффициенты уравнения и само уравнение статистически значимы при уровне надежности 95%.

Исходя из значений выше приведенных показателей качества, можно сделать вывод о том, что модель обладает высокой точностью и пригодна для прогнозирования.

Характеристики

Список файлов курсовой работы