183713 (629912), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

з початковою умовою Y (t=0) =Y₀; s, A, і – const;

є функція:

Завдання №2

Попит D та пропозиція S як функції змінної в часі ціни p=F(t) та її похідних задаються виразами

(2.2.0)

Знайти стаціонарну ціну рівноваги попиту та пропозиції p_D=S(t) – при умові D=S – вирівнювання попиту та пропозиції, як функцію часу, та з’ясувати чи вона є стійкою (оцінити рівень динаміки похідної ).

Рішення:

1. Якщо попит D та пропозиція S є функціями ціни p(t) та її першої та другої похідних , то їх рівняння в загальному вигляді можна представити наступним чином [1]:

(2.2.1)

2. В умовах пошуку точок рівноваги попиту та пропозиції:

(2.2.2)

рівняння (2.2.1), віднімаючи перше від другого, перетворюємо у наступне рівняння

(2.2.3)

яке має наступні початкові умови:

(2.2.4)

Загальний розв’язок рівнянь (2.2.1) – (2.2.4) має вигляд [1]:

(2.2.5)

де С1 та С2 – довільні сталі;

– корені характеристичного рівняння:

(2.2.6)

Після вирішення рівняння (2.2.6), отримані – корені характеристичного рівняння в рівнянні (2.2.5) характеризують стаціонарність рівноважної ціни p(t) наступним чином:

1) Якщо обидва корені – є дійсними від’ємними або комплексними з від’ємною дійсною частиною, то рівняння (2.2.5) перетворюється до вигляду:

(2.2.7)

та з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде прямувати до ціни рівноваги попиту D та S – P_D=S, оскільки 1 та другий член рівняння (2.2.7) будуть наближатися до нуля.

2) Якщо обидва корені – є дійсними позитивними, або один з них має позитивний знак, або комплексними з позитивною дійсною частиною, то згідно рівнянь (2.2.5), (2.2.7) з наростанням t рівноважна ціна p(t) буде віддалятися від до ціни рівноваги попиту D та S – P_D=S, оскільки або перший, або другий член рівняння (2.2.5) будуть наближатися до .

3. В точці рівноваги попиту та пропозиції D=S, рівняння (2.2.0) перетворюються в наступне диференційне рівняння другого порядку похідних:

(2.2.8)

Для пошуку точок стаціонарної ціни рівноваги p_D=S враховуємо умови дорівнювання нулю першої та другої похідної в цих точках:

(2.2.9)

тоді рівняння (2.2.8) перетворюється до вигляду, який дозволяє розрахувати значення стаціонарної ціни рівноваги попиту та прозиції:

(2.2.10)

Для рівняння (2.2.8) характеристичне рівняння має наступний вигляд:

(2.2.11)

а корені його рішення, розраховані в пакеті MAPLE7, дорівнюють

> solve (L*L‑7*L‑30);

Оскільки корені характеристичного рівняння (2.2.11) дійсні та мають різні знаки – рішення рівняння (2.2.10) є нестійким.

Завдання №3

Знайти стаціонарні точки динамічної системи

(2.3.0)

та дослідити їх стійкість в лінійному наближенні.

Рішення:

1. Положення рівноваги вихідної динамічної системи (стаціонарні точки динамічної системи) визначається наступними умовами:

(2.3.1)

звідкіля маємо систему рівнянь рівноваги

(2.3.2)

Рішення системи рівнянь рівноваги (2.3.2) в пакеті MAPLE7 дає наступні 4 пари коренів – стаціонарних точок рівноваги динамічної системи (2.3.0):

> eqp1:=-x*x+2*x-x*y=0;

> eqp2:=-y*y+6*y‑2*x*y=0;

>

> solve({eqp1, eqp2}, {x, y});

_(2.3.3)

2. Для дослідження стійкості кожного з отриманих рішень, складаємо системи першого наближення в околицях точок рівноваги за допомогою розкладення в ряд Тейлора. Формула Тейлора для функції двох змінних x, y у першому наближенні (тільки рівень 1 похідних) для функції в околицях точки x₀, y₀ має наступний вигляд [7]:

(2.3.4)

Побудову систем рівнянь першого наближення системи (2.3.2) виконуємо за допомогою пакета MAPLE7 [4]:

> DxDt:=-x*x+2*x-x*y;

> mtaylor (DxDt, [x=0, y=0], 2);

> mtaylor (DxDt, [x=2, y=0], 2);

> mtaylor (DxDt, [x=4, y=-2], 2);

> mtaylor (DxDt, [x=0, y=6], 2);

_(2.3.5)

> DyDt:=-y*y+6*y‑2*x*y;

> mtaylor (DyDt, [x=0, y=0], 2);

> mtaylor (DyDt, [x=2, y=0], 2);

> mtaylor (DyDt, [x=4, y=-2], 2);

> mtaylor (DyDt, [x=0, y=6], 2);

>

_(2.3.6)

6. Використовуючи отримані результати (2.3.5), (2.3.6), дослідження стійкості рішення для 4‑х пар коренів проводимо в наступній послідовності [5]:

6.1. 1 пара коренів – x=0, y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0, y=0) має вигляд:

_{Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:}

_{Звідки характеристичне рівняння}

_{Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають однакові знаки, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=0, y=0).}

Пара коренів – x=2, y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=2, y=0) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі () на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

_{Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:}

_{Звідки характеристичне рівняння}

_{Вирішуємо рівняння () в пакеті MAPLE7}

> L2:=a*a+0*a‑2=0;

>

> solve(L2);

_{Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги [5] в точці (}x=2, y=0_).

3 пара коренів – x=4, y=-2

Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0, y=6) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі () на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

_{Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:}

_{Звідки характеристичне рівняння}

_{Вирішуємо рівняння () в пакеті MAPLE7}

> solve (L*L+2*L+8);

_{Корені рішення цього рівняння та є комплексні та мають однакові негативні знаки при дійсній частині, що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (}x=4, y=-2_).

Пара коренів – x=0, y=6

Cистема характеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=4, y=-2) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі () на

отримуємо модифіковану систему рівнянь:

_{Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:}

_{Звідки характеристичне рівняння}

_{Корені рішення цього рівняння та є дійсними та мають знак (–) при дійсній частині, що відповідає асимптотичній стійкості рішення рівноваги [5] в точці (}x=4, y=-2_).

Характеристики

Список файлов курсовой работы