183552 (629867), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Теперь перейдем к основному вопросу.

Теорема 3.1. В модели Эрроу-Дебре существует конкурентное равновесие.

Доказательство. Обозначим для каждого

(3.5)

Как следует из условий У‑1 и У‑5, множество есть непустое, компактное и выпуклое множество. Обозначим через отображение . Из непрерывности (линейности) функций , j=1,…, m, и из леммы 3.1. следует, что есть ограниченное, полунепрерывное сверху отображение.

Исходя из того, что , j=1,…, m, задача (3.2) должна решаться при ограничении

(3.6)

где – оптимальное решение задачи (3.1). Известно, что для оптимального решения задачи (3.2) в (3.6) должно иметь место строгое равенство:

(3.7)

Если это не так, то в силу условия У‑5 существует , для которого , а по условию У‑4 можно найти такое , где , что , причем все еще удовлетворяет ограничениям (3.6). Но это противоречит определению

как точки максимума. Таким образом, равенство (3.7) действительно имеет место.

Так как по условию У‑1 , то по определению максимума . Отсюда и из условий У‑1 – У‑6 следует, что множество оптимальных решений задачи (3.2) при ограничениях (3.6) есть непустой выпуклый компакт. Поэтому множество также будет непустым выпуклым компактом. Из условий У‑4 – У‑6 и леммы 3.1 следует, что есть полунепрерывное сверху множественнозначное отображение.

Построим отображение S для любого следующим образом:

(3.8)

где

, ,

Как и выше, можно показать, что S есть ограниченное, полунепрерывное сверху множественнозначное отображение из P в и что множество S(p) непусто, выпукло и замкнуто. Суммируя обе стороны равенства (3.7) по i=1,…, l, получаем

или

В обозначениях элементов множества S(p) это равенство записывается как

, (3.9)

Видно, что отображение S, порождающее для каждого множество (3.8), удовлетворяет всем условиям леммы Гейла. Из этой леммы следует существование таких и , что . Поэтому набор векторов , где , образует конкурентное равновесие в модели Эрроу-Дебре. Действительно, условие (2.6) выполнено по построению векторов и ; условие (2.7) следует из неравенства ; условие (2.8) вытекает из (3.9) и, наконец, отображения D и S являются функциями совокупных спроса и предложения в модели Эрроу-Дебре, так как они определены посредством соотношений (3.3) и (3.4) Теорема доказана.

В связи с тем, что наиболее жестким из всех условий, определяющих модель Эрроу-Дебре, является У‑6, обсудим одну возможность его ослабления.

Это условие в теореме 3.2 вместе с У‑3, У‑4 и леммой 3.1 обеспечивает непустоту бюджетных множеств потребителей и полунепрерывность сверху функций их спроса . Эти свойства не изменятся, если У‑6 заменить следующими условиями: для любого вектора , и , . Так как второе из условий не является жестким, то существование конкурентного равновесия, помимо условий У‑1 – У‑5, зависит от наличия положительного дохода у всех потребителей. Очевидно, что это условие слабее, чем У‑6, так как положительный доход у потребителя может существовать и при отсутствии начального запаса товаров (за счет участия в прибыли производственного сектора). Последнее условие выполняется, если хотя бы одно производственное предприятие рентабельно и все потребители участвуют в прибыли производственного сектора (как минимум, не являются безработными). Это условие представляется не столь жестким и, следовательно, существование экономического равновесия – реальным. Однако не следует забывать, что речь идет о моделях рынка, предполагающих выполнение не совсем реальных условий совершенной конкуренции.

4. Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия

Доказав существование конкурентного равновесия в математической модели рынка, естественно задаться вопросом: как найти конкурентное равновесие и, прежде всего, равновесные цены? Поиск равновесия, в отличие от ранее рассмотренных вопросов, по существу, является динамическим (развернутым во времени) действием.

Процесс последовательного приближения к равновесной цене называется регулированием цен. Кто и с какой целью регулирует цены? Ответ заключается в том, что, благодаря законам спроса и предложения, в условиях конкуренции рынок сам приспосабливает цены к вариациям спроса и предложения во времени. В начале была обнаружена «геометрическая» картина такого приспособления. Здесь наша задача состоит в обнаружении аналитической формулы регулирования для численного вычисления равновесных цен.

Итеративный процесс поиска равновесных цен должен обладать свойством сходимости, т.е., в конечном счете, должен привести к искомым ценам с любой предзаданной точностью. В этом случае процесс регулирования цен (или собственно конкурентное равновесие) называется устойчивым.

Таким образом, задача регулирования цен преследует цель определения условий, заставляющих цены, как функций времени, сходиться к равновесным значениям. Математически эта задача сводится к нахождению условий устойчивости решений специально построенных рекуррентных по времени уравнений. Такое уравнение называется динамической моделью регулирования цен. Эта модель может быть как непрерывной, так и дискретной. В первом случае, на основе предположения о непрерывном изменении цен, модель выражается с помощью дифференциальных уравнений. Во втором случае предполагается дискретный характер изменения цен, т.е. фиксируется изменение цен в отдельные моменты времени (или через определенные промежутки времени). Поэтому модель регулирования цен имеет вид разностных уравнений. Непрерывные модели предпочтительны в теоретическом плане. Их преимущество состоит в возможности применения удобного аппарата дифференцирования. Будем рассматривать только дискретный случай, наиболее понятный с точки зрения практического восприятия.

Перейдем к конкретным построениям. Для определенности процесс регулирования рассмотрим в модели Эрроу-Дебре. Предварительно уточним некоторые предпосылки и ряд дополнительных сведений.

Во-первых, цены будем снабжать параметром времени t: – цена k‑го товара в момент t.

Во-вторых, будем предполагать дискретное изменение времени, т.е. будем рассматривать отдельные моменты времени t₁, t₂,… Причем для упрощения формул будем считать, что . Это дает возможность вместо последовательности рассматривать последовательность моментов t, t+1,…, начиная с t = 0.

В-третьих, вместо пространства товаров будем рассматривать пространство , где дополнительная n+1‑ая координата соответствует особому виду товара – «деньгам». Таким образом, размерность всех векторов спроса и предложения будет равна n+1. Вектор цен, соответственно, будет задан в пространстве . Причем дополнительная n+1 – ая компонента p₀ будет интерпретироваться как «цена денег».

Для некоторого вектора цен и соответствующих ему векторов совокупного спроса и совокупного предложения обозначим

(4.1)

Величина F(p) имеет смысл избыточного спроса при ценах p (противоположная величина имеет смысл избыточного предложения). Рассматривая эту величину для всех , можно говорить о функции избыточного спроса F, определенной на множестве P.

Для равновесного вектора цен имеем (см. (2.7), (2.8))

(4.2)

(4.3)

Если предположить все цены строго положительными, т.е. , k=0,1,…, n, то равенство (4.3) будет иметь место только в случае строгого равенства в (4.2), т.е.

(4.4)

Так как это равенство понимается покомпонентно ( , k=1,…, n, где – функция избыточного спроса для товара k), то условие (4.3) становится следствием равенства (4.4). Поэтому в случае положительных цен конкурентное равновесие определяется одним условием (4.4).

Функция F обычно предполагается положительно однородной нулевой степени, т.е. для любых и постоянного числа . Это свойство означает, что на функцию избыточного спроса изменение масштаба цен не влияет, а существенны лишь относительные цены.

Рассмотрение функции избыточного спроса связано с ее применением в модели регулирования цен. В основе построения искомой формулы итеративного процесса вычисления равновесных цен лежит идея о том, что скорость изменения цен пропорциональна изменению величины избыточного спроса. Действительно, возрастание (убывание) функции избыточного спроса во времени равносильно более быстрому (медленному) росту спроса по сравнению с предложением (см. (4.1)), а это, согласно закона спроса, сопровождается увеличением (уменьшением) цен товаров. Сказанное математически можно отразить формулой

или в координатной форме

, k=0,1,…, n

где – коэффициент пропорциональности, – функция избыточного спроса для товара k. Здесь предположим, ради простоты, что пропорциональность изменения цены и избыточного спроса по всем товарам одинакова (и равна числу ).

Из последнего уравнения по определению производной получаем:

Характеристики

Список файлов курсовой работы