183552 (629867), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Утвердительный ответ на этот вопрос связан с разрешением двух важных проблем:

1. установление факта существования конкурентного равновесия в модели Вальраса;

2. разработка сходящейся к равновесной цене вычислительной процедуры (метода) формирования рыночных цен.

Существование равновесия в модели Вальраса не установлено. Причина заключается в уровне формализма этой модели – она весьма абстрактна. Конкретизируя определения составляющих ее элементов и уточняя их функциональные свойства, можно получить разные модификации модели Вальраса. Наиболее известная из них носит название модели Эрроу-Дебре, по именам ее создателей.

Проблема разработки численных методов вычисления равновесных цен связана с установлением необходимых и достаточных признаков равновесия. Нужно, чтобы они были конструктивными, т.е. порождали сходящуюся итеративную процедуру, каковой является, например, паутинообразная модель.

3. Модель Эрроу-Дебре. Существование конкурентного равновесия

Структурно модель Эрроу-Дебре весьма близка к модели Вальраса. От последней она отличается конкретизацией природы происхождения функций предложения и спроса, а также механизма образования дохода потребителя. Покажем это по порядку.

Для каждого производителя j введем множество , которое, в отличие от модели Вальраса, здесь будем трактовать как множество производственных планов (а не оптимальных планов), т.е. это есть множество n‑мерных векторов , часть компонент которых описывает затраты, а другая часть – соответствующие этим затратам выпуски товаров. Компоненты, соответствующие затратам, как и в модели Вальраса, снабжаются отрицательными знаками. Поэтому скалярное произведение показывает прибыль, полученную производителем j в результате реализации плана . Отсюда оптимальный план , участвующий в определении совокупного предложения (см. (2.3) и (2.4)), определяется как решение задачи:

при ограничении (3.1)

Оптимальное решение этой задачи обозначим через , а множество всех таких решений (множество оптимальных планов) – через . Если задача (3.1) имеет единственное решение, то, .

Доход потребителя i складывается следующим образом. Вводится коэффициент , который показывает долю i‑го потребителя в прибыли j‑го производителя. Предполагается (как и в модели Вальраса), что прибыль каждого производителя делится между всеми потребителями полностью, т.е. для любого j=1,…, m

,

Пользуясь коэффициентами , суммарные дивиденды , получаемые потребителем i от производственного сектора, можно представить как

где . Поэтому общий доход потребителя i при реализации производственных планов , j=1,…, m, вычисляется по формуле

Функция спроса потребителя конкретизируется следующим образом. Вводится множество допустимых векторов потребления , а предпочтение потребителя на этом множестве задается с помощью функции полезности . В результате вектор-функция спроса строится как решение задачи:

при ограничениях , (3.2)

Оптимальное решение этой задачи обозначим через , а множество всех таких решений – через . Если задача (3.2) имеет единственное решение, то .

Таким образом, очерчены конкретные виды множеств в правых частях соотношений (2.3) и (2.4), определяющих функции совокупных спроса и предложения:

(3.3)

(3.4)

Модель (2.5), в которой функции и определены в виде (3.3) и (3.4), называется моделью Эрроу-Дебре, если выполнены следующие требования.

У‑1. Множество компактно в и содержит нулевой вектор (j=0,…, m).

У‑2. Множество выпукло в .

У‑3. Множество замкнуто и выпукло в и таково, что из , для некоторого r, следует для всех k=1,…, n (i=1,…, l).

У‑4. Функция полезности непрерывно дифференцируема на и строго вогнута (i=1,…, l).

У‑5. Функция обладает свойством ненасыщаемости (i=1,…, l).

У‑6. Существует , для которого (i=1,…, l).

Условие У‑1, с учетом непрерывности функции прибыли, обеспечивает существование решения задачи (3.2). Условие У‑2 допускает эффективность использования «смешанных» планов производства на уровне всего производственного сектора. Условия У‑3 и У‑4 имеют технический характер. Условие У‑6 требует наличия у каждого потребителя «существенного» начального запаса всех товаров. Оно считается достаточно жестким, но без него (или незначительного его ослабления) нельзя доказать существование конкурентного равновесия в модели Эрроу-Дебре (см. замечание после доказательства теоремы 3.1).

Прежде чем приступить к доказательству теоремы, разъясню несколько терминов и сформулирую вспомогательные утверждения.

Пусть , а F – множественнозначное отображение, которое переводит каждую точку в некоторое подмножество множества X ( , ).

Отображение F называется полунепрерывным сверху, если из соотношений , где , и , где , следует . Другими словами, для каждого открытого множества U, содержащего множество , можно найти такое число , что , как только (где – расстояние между точками и ).

Непрерывное отображение всегда полунепрерывно сверху, а обратное неверно. Чтобы полунепрерывное сверху отображение было непрерывным, нужно, чтобы оно было одновременно полунепрерывным снизу, т.е. для каждого при существовали такие , что .

Отображение F называется ограниченным, если для любого множество F(x) является ограниченным, как подмножество евклидова пространства .

Лемма 3.1. Пусть P, X – выпуклые и компактные подмножества пространства , – такое множественнозначное отображение, что для любого множество B(p) есть непустой выпуклый компакт. Тогда множественнозначное отображение , такое, что

полунепрерывно сверху, если функция непрерывна и вогнута.

Пусть , . Линейное уравнение называется гиперплоскостью в (или (n‑1) – мерным линейным многообразием). Это есть обобщение понятия обычной плоскости в . Гиперплоскость делит все пространство на две части: и .

Пусть . Говорят, что гиперплоскость

разделяет X и Y, если для всех , а для всех . Например, если X и Y – выпуклые множества, не имеющие общих точек, то, очевидно, между ними существует разделяющая гиперплоскость.

Лемма 3.2. Пусть – выпуклое множество, не имеющее общих точек с неотрицательным ортантом . Тогда найдется вектор , у которого хотя бы одна компонента строго положительна и для всех .

Доказательство этого утверждения предоставлено на рисунке.

Рис. 5. Иллюстрация к лемме 3.2.

Точка называется неподвижной точкой множественнозначного отображения F, определенного на X, если .

Приведем без доказательства теорему существования неподвижной точки.

Теорема (Какутани). Пусть – компактное, выпуклое множество, а F – полунепрерывное сверху отображение, которое каждой точке ставит в соответствие замкнутое, выпуклое подмножество . Тогда отображение F имеет неподвижную точку в X.

Доказательство существования равновесия в модели Эрроу-Дебре будет проведено с помощью леммы Гейла, которую сформулируем в терминах элементов рынка. Сначала пронормируем цены, поделив все p_k на одну и ту же величину . Тогда пространство цен P превращается в стандартный симплекс, лежащий в неотрицательном ортанте :

Пронормировав таким образом цены переходим к другому масштабу цен. В данном случае преобразование пространства цен в стандартный симплекс преследует чисто технические цели.

Лемма (Гейла). Пусть S – ограниченное, полунепрерывное сверху множественнозначное отображение симплекса P в , удовлетворяющее условиям:

a) S(p) есть непустое выпуклое множество для всех ;

b) для всех . Тогда существуют такие и , что .

Условие b) означает, что для каждого множество не имеет общих точек с неположительным ортантом . Действительно, для любой точки и любого (рис. 6). При этих условиях лемма Гейла утверждает о существовании такого , что не пусто.

Рис. 6: Иллюстрация к лемме Гейла

Доказательство проведем от противного: пусть лемма не верна. Это означает, что ни для одного вектора множество S(p) не имеет общих точек с . Покажем, что в этом случае существует такое сколь угодно малое положительное число (не зависящее от p и z), что семейство выпуклых множеств также не касается неотрицательного ортанта (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к доказательству леммы

Действительно, если бы это было так, то существовала бы последовательность и точки , , для которых при (сходящаяся последовательность найдется, так как компактны и лежат в ограниченной области пространства ). Тогда из полунепрерывности сверху отображения S следуют соотношения и , что противоречит нашему предположению. Следовательно, семейство не пересекается с неотрицательным ортантом.

Тогда для каждого множества из этого семейства и положительного ортанта существует разделяющая гиперплоскость , такая, что для любого .

Построим множественнозначное отображение , где множество состоит из всех тех векторов симплекса P, которые представляют гиперплоскости, разделяющие положительный ортант и множество . Так как это семейство не касается с положительным ортантом, множество непусто. Отображение полунепрерывно сверху, как и отображение W (полунепрерывность последнего вытекает из его вида и аналогичного свойства S). Благодаря этому свойству отображения , множество выпукло и замкнуто, как и симплекс . Следовательно, отображение удовлетворяет всем условиям теоремы Какутани и потому имеет в P неподвижную точку . Но, согласно условию b) леммы, для этой точки справедливо неравенство при . Тогда для . Последнее противоречит неподвижности точки p₀ в . Следовательно, наше первоначальное предположение приводит к противоречию, что и доказывает лемму.

Характеристики

Список файлов курсовой работы