183476 (629845), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Данная система неравенств описывает все допустимые решения рассматриваемой задачи. Среди всех допустимых значений свободных параметров х₁ и х₂ нужно найти оптимальные, минимизирующие целевую функцию f. Формула (3) для неё с учётом соотношений (4) принимает вид

f = 7х₁ + 9 х₂ + 10(50 - х₁) + 8(90 - х₂);

f = -3х₁ + х₂ + 1220.

Отсюда следует, что стоимость перевозок уменьшается с увеличением значений х₁; поэтому нужно взять его наибольшее допустимое значение. В соответствии с (5) х₁= 50, тогда получим, что х₂ = 60 - х₁ = 10. Тогда оптимальные значения остальных параметров можно найти по формулам (4):

х₃ = 50 - х₁ =50 – 50 = 0, х₄ = 90 - х₂ = 90 – 10 = 80.

В этом случае минимальная общая стоимость перевозок равна :

f = 7*50 + 9*10 + 10*0 + 8*80 = 350 + 90 + 0 + 640 = 1080.

То есть, минимальная общая стоимость перевозок f = 1080.

Покажем на рисунке схему доставки сырья на заводы. (Числа указывают количество сырья в тоннах).

2.2 Решение производственной задачи

Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице.

С оставить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделие В надо выпустить не менее, чем изделия А.

Решение.

Обозначим через х₁ и х₂ количество единиц продукции соответственно А и В, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (12 х₁ +4 х₂) единиц ресурса I, (4х₁ +4х₂) единиц ресурса II, (3х₁ +12х₂) единиц ресурса III. Так кА потребление ресурсов I, II, III не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

1 2х₁ +4х₂ ≤ 300; 3х₁ + х₂ ≤ 75;

4х₁ +4х₂ ≤ 120; или х₁ + х₂ ≤ 30; (6)

3х₁ +12х₂ ≤ 252. х₁ +4х₂ ≤ 84.

По смыслу задачи переменные х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0. (7)

Суммарная прибыль А составит 30х₁ от реализации продукции А и 40х ₂ от реализации продукции В, то есть : F = 30х₁ +40х ₂ (8)

Далее будем решать задачу двумя методами:

1способ – симплексный метод

С помощью дополнительных неотрицательных переменных перейдём к системе уравнений. В данном случае все дополнительные переменные вводятся со знаком « + », так как все неравенства имеют вид « ≤ ».

Получим систему ограничений в виде :

3 ₁ +х₂ + х₃ ≤ 75;

х₁ +х₂ + х₄ ≤ 30; (9)

х₁ + 4х₂ + х₅ ≤ 84.

Для нахождения первоначального базисного решения разобьём переменные на две группы – основные и не основные. Так как определитель, составленный из коэффициентов при дополнительных переменных х₃, х₄, х₅ отличен от нуля, то эти переменные можно взять в качестве основных на первом шаге решения задачи.

I шаг.

Основные переменные: х₃, х₄, х_5.

Не основные переменные: х₁, х_{2. .}

Выразим основные переменные через не основные :

х ₃ = 75 - 3х₁ - х₂ ;

х₄ = 30 х₁ - х₂; (10)

х₅ = 84 - х₁ - 4х_2.

Положив основные переменные равными нулю, то есть х₁ = 0, х₂ = 0, получим базисное решение Х₁ = (0, 0, 75, 30, 84), которое является допустимым. Поскольку это решение допустимо, то нельзя отбросить возможность того, что оно оптимально. Выразим линейную функцию через не основные переменные:

F = 30х₁ + 40х_{2 .}

При решении Х₁ значение функции равно F(Х₁). Легко понять, что функцию F можно увеличить за счёт увеличения любой из не основных переменных, входящих в выражение F с положительным коэффициентом. Это можно осуществить, перейдя к новому базисному решению, в котором эта переменная будет не основной, то есть принимать не нулевое, а положительное значение. При таком переходе одна из основных переменных перейдёт в не основные. В данном примере для увеличения F можно переводить в основные любую переменную, так как и х₁ и х₂ входят в выражение для F со знаком «+». Для определённости будем выбирать переменную, имеющую больший коэффициент, то есть х₂. Система (10) накладывает ограничения на рост переменной х₂ . Поскольку необходимо сохранять допустимость решений, то есть все переменные должны оставаться неотрицательными, то должны выполняться следующие неравенства (при этом х₁ = 0 как не основная переменная):

х ₃ = 75 - х₂ ≥ 0; х₂ ≤ 75;

х₄ = 30 - х₂ ≥ 0; откуда х₂ ≤ 30;

х₅ = 84 - 4х₂ ≥ 0; х₂ ≤ 84.

Каждое уравнение системы, определяет оценочное отношение – границу роста переменной х_2, сохраняющую неотрицательность соответствующей переменной. Эта граница определяется абсолютной величиной свободного члена к коэффициенту при х₂ при условии, что эти числа имеют разные знаки.

Очевидно, что сохранение неотрицательности всех переменных возможно, если не нарушается ни одна из полученных границ. В данном примере наибольшее возможное значение для переменной х₂ определяется как х₂ = min {75, 30, 84/4} = 84/4 = 21. При х₂ = 21 переменная х = 0 и переходит в не основные.

Уравнение, где достигается наибольшее возможное значение переменной, переводимой в основные (то есть, где оценка минимальна), называется разрешающим. В данном случае – это третье уравнение.

II шаг.

Основные переменные: х₂, х₃, х_4.

Не основные переменные: х₁, х_{. .}

Выразим основные переменные через новые не основные, начиная с разрешающего уравнения(его используем для записи выражения для х₂ ) :

х ₂ = (84 - х₁ - х₅)/4;

х₃ = 75 - 3х ₁ - 84/4 + х₁/4 + х₅/4;

х₄ = 30 - х₁ - 84/4 + х₁ /4 + х₅/4;

или

х ₂ =21 0,25 х₁ - 0,25х₅;

х =54 - 2,75х₁ + 0,25х₅;

х =9 - 0,75х₁ + 0,25х₅.

Второе базисное решение Х₂ = (0, 21, 54, 9, 0 ) является допустимым.

Выразив линейную функцию через не основные переменные на этом шаге, получаем:

F = 30х₁ + 40 (84 - х₁ - х₅)/4 = 840 + 20х₁ - 10х₅

Значение линейной функции F₂ = F(X₂) = 840.

Поскольку необходимо сохранять допустимость решений, то должны выполняться следующие неравенства(при этом х₁ = 0 как не основная переменная):

х₂ =21 - 0,25х₅ ≥ 0; х₅ ≤ 84;

х ₃ =54 + 0,25х₅ ≥ 0; откуда х₅ ≤ -216; (11)

х₄ =9 + 0,25х₅ ≥ 0. х₅ ≤ -36 .

Обнаруживаем возможность дальнейшего увеличения линейной функции за счёт переменной х_1, входящей в выражение для F с положительным коэффициентом. Система уравнений (11) определяет наибольшее возможное значение для х₅ :

Х₅ = min {84, -216,-36} = -36 .

При х₅ = -36 х₄ = 0 переходит в неосновные переменные.

Разрешающим будет третье уравнение.

III шаг.

Основные переменные : х₁, х₂, х_3.

Неосновные переменные : х₄, х_5.

Выразим основные переменные через неосновные:

х ₁= 12 – 4/3х₄ + 1/3х₅;

х₂ = 18 + 1/3х₄ - 1/3х₅;

х₃ = 21 + 11/3х₄ - 11/3х_5.

Третье базисное решение Х₃ = (12, 18, 21, 0, 0) является допустимым.

Выразим линейную функцию через неосновные переменные:

F = 30(12 – 4/3х₄ + 1/3х₅) + 40(18 + 1/3х₄ - 1/3х₅) = 1080 – 80/3х₄ - 10/3х_5.

Значение линейной функции F₃ = F(X₃) = 1080.

Это выражение не содержит положительных коэффициентов при не основных переменных, поэтому значение F₃ = F(X₃) = 1080 максимальное. Функцию F невозможно ещё увеличить, переходя к другому допустимому базисному решению, то есть решение X₃ – оптимальное. Вспоминая экономический смысл всех переменных можно сделать выводы.

Прибыль предприятия принимает максимальное значение 1080 ден. ед. при реализации 12 единиц продукции Р₁(Х₁=12) и Р₂(Х ₂=18). Дополнительные переменные х ₃, х ₄, х _5.

показывают разницу между запасами ресурсов каждого вида и их потреблением, то есть остатки ресурсов. При оптимальном плане производства х ₄ = х ₅ = 0, остатки ресурсов S₂ и S₃ равны нулю, а остатки ресурсов S₁ = 21.

Ответ: максимальная прибыль от реализации продукции равна 1080 ден. ед.

2 способ – геометрический метод

Геометрический метод решения задач оптимизации сводится к нахождению оптимального решения задачи в одной из угловых точек многоугольника(рис. 1) для

линейной функции F = 30х₁ + 40х₂ → max при следующих ограничениях:

3 х₁ + х₂ ≤ 75, (I)

х₁ + х₂ ≤ 30, (II) (12)

х₁ +4х₂ ≤ 84, (III), х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₂ ≥ х₁

по смыслу задачи.

Изобразим многоугольник решений данной задачи.

I

II

О

А

В

С

бласть АВС, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции F. Принимая во внимание систему (12), можно заметить, что самое оптимальное решение Находится в точке А, находящейся на пересечении прямых I и II, то есть координаты точки А определяются решением системы уравнений:

3 х₁ + х₂ ≤ 75, х₁ = 12,

х₁ + х₂ ≤ 30, или х₂ = 18., т. е. А(12, 18)

максимальное значение линейной функции равно :

F_max= 30*12 + 40*18 = 1080.

Итак, F_max = 1080 при оптимальном решении х₁ = 12, х₂ = 18, т. е. максимальная прибыль в 1080 ден. ед. может быть достигнута при производстве 12 единиц продукции А и 18 единиц продукции В. Ответ: F_max = 1080.

Заключение

Алгоритмы безусловной минимизации(максимизации) функций многих переменных можно сравнивать и исследовать как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения.

Первый подход может быть реализован полностью только для весьма ограниченного класса задач, например, для сильно выпуклых квадратичных функций. При этом возможен широкий спектр результатов от получения бесконечной минимизирующей последовательности в методе циклического покоординатного спуска до сходимости не более чем за n итераций в методе сопряженных направлений.

Характеристики

Список файлов курсовой работы