Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

;

По таблице критических точек критерия Стьюдента определим Т_кр.= Т( q, f ) по уровню значимости q и числу степеней свободы f = N-2. Если |Т_набл|<Т_кр, то гипотеза H₀ – справедлива, т.е. коэффициент корреляции _xy - незначим. В противном случае, нулевая гипотез H₀ отвергается, т.е. случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью (критическая область двусторонняя).

Р ис.5. Критическая область критерия Стьюдента..

При использовании метода наименьших квадратов для вычисления коэффициента корреляции и построения уравнения регрессии предполагается, что X и Y имеют нормальное распределение.

8.3. Использование корреляционной таблицы для вычисления коэффициента корреляции

Если число экспериментов велико, то составляются корреляционные таблицы. Для этого среди результатов эксперимента выбираются x_min, x_max, y_min, y_max. Интервал [x_min, x_ma)] возможных значений X делим с шагом h₁ на n частичных интервалов, Интервал [y_min,y_max] для Y делим с шагом h₂ на m частичных интервалов. Границы интервалов по X записываются в 1-ый столбец, по Y - в 1-ую строку.

Для каждой пары (x_i, y_i) определяем в какую строку попало значение x_i и в какой столбец y_i. В клетку, расположенную на пересечении найденной строки и столбца, ставим палочку (или точку) . Операцию проводим для всех пар. Подчитываем число палочек (точек) в каждой клетке и записываем полученное число в клетку. Просуммируем числа, стоящие в 1- ой строке, получим частоту - число пар (x_i,y_i), у которых первая координата попала в первый частичный интервал. Проведём суммирование по всем остальным строкам, полученные числа заносим в последний столбец.

Таблица 7

Просуммируем величины, которые стоят в первом столбце. Получим частоту - число пар (x_i, y_i), у которых y попадает в первый интервал. Найдём суммы по всем столбцам. Полученное значение запишем в последнюю строку. Суммы полученных значений равны N:

По виду корреляционной таблице можно судить о виде корреляционной зависимости.

Вычислим середины частичных интервалов

;

i=1,…,n; j=1,…,m.

Внесем найденные значения в корреляционную таблицу. По таблице вычислим оценки математических ожиданий и дисперсий

; ;

; ;

; ;

.

Коэффициент линейной корреляции определяются по формуле:

.

Для простоты вычислений обычно используют замену переменных:

; ;

где С₁ и С₂ – значения x_i^* и y_j^* соответствующие максимальной частоте . Желательно, чтобы клетка с данной частотой находилась в середине таблицы. Точку (С₁,С₂) называют ложным нулем. Переменные U и V – принимают значения: 0; 1; 2,…

, , ,

; .

При вычислениях используем, что

; .

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

.

Вернемся к исходным переменным:

; ;

; .

Уравнения регрессии:

; .

Графики функций пересекаются в точке .

Пример:

Даны результаты 78 экспериментов:

Начало первого интервала x₀ = 53, y₀ = –321;

Длина интервала h₁ = 5, h₂ = 17.

1. Построить корреляционное поле для 4-ых столбцов X и Y и методом “натянутой нити” найти линейные функции регрессии.

2. Составить корреляционную таблицу. Вычислить коэффициент линейной корреляции, найти уравнения регрессий и построить их графики.

3. Проверить гипотезу о незначимости коэффициента корреляции.

Решение.

1. По последним столбцам X и Y находим:

x_min=55; y_min=-279;

x_max=70; y_max=-213;

На осях отображаем тот промежуток, где находятся значения X и Y. Представляя в виде точек пары чисел (x₁; y_j) строим корреляционное поле:

Используя метод “натянутой нити”, проведём прямую. На прямой выберем две точки (57, -220) и (69, -270), расположенные достаточно далеко друг от друга.. Подставляя значения в функцию y=ax+b, получим систему уравнений относительно a и b.

,

Получим решение a = - 4,17; b = 17,69. Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = - 4,17 x + 17,69.

1. Найдём минимальные и максимальные значения X и Y среди результатов эксперимента:

x_min=55; y_min=-313; x_max=80; y_max=-213;

Составим корреляционную таблицу с шагом h₁=5 по X и h₂=17 по Y. Учитываем, что левая граница входит в интервал, а правая нет.

Клетка в шапке сверху содержит границы интервала по Y [y_j, y_j+1], значение середины интервала y_j^* и значение середины интервала для условной переменной V. Клетка в шапке слева содержит границы интервала по X [x_i, x_i+1], значение середины интервала x_i^* и значение середины интервала для условной переменной U.

Произвольная клетка таблицы содержит число результатов , попавших в соответствующие интервалы. В нижней строке записываются суммы чисел в столбцах. В крайнем левом столбце – суммы чисел в строках.

Таблица 8.

Переход к условным вариантам.

; ;

C₁=70,5; С₂=-278,5 – координаты клетки с максимальным числом результатов экспериментов.

, ,…, ;

, ,…, ;

Вычисляем средние:

.

Вычислим среднее квадратов:

.

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

; ;

;

Коэффициент корреляции:

;

Находим статистические характеристики X, Y:

; ;

; ;

Уравнение регрессии:

; ;

;

(I);

;

(II)

Определим координаты двух точек для каждого графика:

Графики пересеклись в точке M(68; -263,2)

1. Проверим гипотезу о незначимости коэффициента корреляции. Наблюдаемое значение критерия:

; N=max{n, m};

n, m – число частичных интервалов по X и Y.

n = 6; m = 7; N = 7.

;

T_кр=T(0,05; N-2)=T(0,05; 5)=2,57 – по таблице распределения Стьюдента.

Так как |T_набл|=6,65>2,57, то гипотеза отвергается, следовательно r _xy значим.

Вывод

В курсовую работу вошли задачи, решаемые на стадии предварительного эксперимента. При решении этих задач использованы идеи и методы математической статистики, в частности ее разделы - оценивание параметров и проверка статистических гипотез. Используя эти методы, проверяются следующие гипотезы: о воспроизводимости результатов эксперимента, о виде распределения результатов эксперимента, о наличии корреляционных связей между факторами и переменной состояния и др.

Список литературы

1.Егоров А.Е., Азаров Г.Н., Коваль А.В. Исследование устройств и систем автоматики методом планирования эксперимента. – К.: Вища школа, 1986.

2.Бондарь А.Г., Статюха Г.А. Планирование эксперимента в химической технологии. – К.: Вища школа, 1978.

3.Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. – М.: Химия, 1971.

4.Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1991.

5.Твердохлебов Г.Н., Бродский А.Л., Старобина Е.К., Кутакова Д.А. Методические указания по математическим методам анализа и планирования эксперимента для студентов всех химических специальностей. -Ворошиловград, 1985.

Приложение 1

(таблица значений функции Лапласа Ф(х))

(Таблица значений функции

Характеристики

Список файлов курсовой работы