182430 (629465), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Таблица 2.

- оценка математического ожидания результатов эксперимента в i-ой серии.

- оценка дисперсии результатов эксперимента в i-ой серии.

Для проверки нулевой гипотезы выбирается критерий Кохрена (G):

.

По таблице распределения критических точек критерия Кохрена в зависимости от уровня значимости q, числа степеней свободы f=m-1 и числа серий N определяем критическую точку:

G_kp = G (q, f, N).

По результатам эксперимента вычисляем наблюдаемое значение критерия:

.

Если G_набл<G_кр, то гипотеза H₀ принимается, в противном случае принимается H₁. Если гипотеза H₀ не принята, то для воспроизводимости результатов эксперимента необходимо или повысить число параллельных опытов m, или увеличить точность измерения переменной состояния. Если опыты воспроизводимы, то вычисляется ошибка опыта (дисперсия воспроизводимости опытов)

.

Дисперсия воспроизводимости опытов S₀² является оценкой дисперсии переменной состояния _y².

Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости: f₀=N(m-1).

В некоторых лабораторных экспериментах повторные измерения отклика в параллельных опытах дают один и тот же результат . Тогда для расчета дисперсии воспроизводимости можно воспользоваться метрологическими характеристиками измерительных приборов. В паспортных данных прибора указывается класс его точности ( K , % от предела измерения ). Это позволяет определить максимальную ошибку измерения

. (1)

Случайная ошибка прибора подчиняется нормальному закону распределения . В машиностроении обычно считается , что , при этом вероятность попадания в интервал равна 0,9973 и является технической единицей.

В радиоэлектронной аппаратуре стабильность параметров активных и пассивных элементов значительно ниже и надежность 0,95 вполне приемлема. Поэтому выбираем . Подставляя значение в выражение (1), получим дисперсию

.

Дисперсию воспроизводимости полагаем равной

.

Пример:

Проверить гипотезу о воспроизводимости опытов, в которых переменная состояния y зависит от трех факторов x₁ , x₂ , x₃ . Выбрать уровень значимости q=0,05.

Проведены 8 серий по 2 параллельных опыта в каждой серии. Результаты эксперимента и расчеты сведены в таблицу:

Таблица 3.

Для каждой серии опытов вычисляем среднее значение и дисперсии результатов S_i² . Далее выбираем и вычисляем

.Наблюдаемое значение критерия:

.

Значение критерия Кохрена по таблице: G_кр=0.82.

Так как G_набл<G_{кр ,} то нулевая гипотеза H₀ принимается.

Опыты воспроизводимы. Ошибка опыта S₀²=0.0021562.

5. Проверка гипотезы о нормальном распределении ошибок эксперимента

Как правило, ошибки результатов экспериментов распределены по нормальному закону .

Выберем следующие гипотезы:

H₀: ошибки эксперимента распределены по нормальному закону;

H₁: ошибки эксперимента не распределены по нормальному закону.

Для проверки гипотезы H₀ используется W–критерий.

Пусть проведено m параллельных опытов ( 3 m 50 ).

Для обработки результатов эксперимента нужно:

1. Расположить значения переменной состояния в неубывающем порядке:

y₁ y₂ ... y_m .

1. Вычислить: .

1. Вычислить: где , если m-чётное и ,

если m-нечётное.

Коэффициенты a_i выбираются из таблицы в зависимости от m.

1. Вычислить наблюдаемое значение критерия:

1. По таблице критических точек найти W_кр -критическое значение критерия в зависимости от числа степеней свободы f = m и уровня значимости q:

W_кр = W(q, f );

1. Если наблюдаемое значение больше критического W_набл > W_кр (критическая область левосторонняя), то гипотеза H₀ принимается, т.е. ошибки эксперимента распределены по нормальному закону. В противном случае, если W_набл<W_кр , то гипотеза H₀ отвергается.

Пример:

Проведено 16 параллельных опытов. Получены следующие значения переменной состояния Y:

0.035 0.047 0.055 0.067 0.066 0.077 0.078 0.088

1. 0.1 0.121 0.136 0.153 0.176 0.22 0.231

m = 16, q = 0,05, l = 16/2 = 8.

Отметим, что результаты эксперимента расположены в неубывающем порядке.

;

;

где значения для m = 16 взяты из таблицы:

Наблюдаемое значение критерия:

.

Критическое значение критерия:

Так как W_набл>W_кр, , то ошибки эксперимента распределены по нормальному закону.

6. Проверка гипотезы о виде распределения. ( Критерий согласия Пирсона )

Пусть проведены N экспериментов в одинаковых условиях. Проверяется гипотеза H₀ : результаты эксперимента распределены по закону А. Критерий для проверки выдвинутой гипотезы называется критерием согласия.

Разобьем интервал полученных результатов эксперимента [Y_min , Y_max] на m равных интервалов.

[Y_{i -1} , Y_i ]; i=1,...,m.

Обозначим через Y_i^* середину i-го интервала, n_i - число результатов, попавших в i-й интервал. Получим ряд распределения:

Пусть в предположении, что результаты эксперимента имеют распределение А, вычислены теоретические частоты n_i^’.

В качестве статистического критерия выбирается случайная величина:

Чем меньше значение, принимаемое ², тем ближе между собой теоретическое и эмпирическое распределения. Случайная величина ² имеет известное распределение Пирсона или ²_.- распределение.

Критическое значение критерия определяется по таблице распределения критических точек по заданному уровню значимости q и числу степеней свободы f:

f = m-r-1;

где r-число параметров распределения, определяемых по результатам эксперимента. Для нормального распределения r=2, для распределения Пуассона и показательного распределения r=1.

Наблюдаемое значение критерия ²_набл рассчитывается по результатам экспериментов

.

Если ²_набл<²_кр, то гипотеза H₀ принимается, т. е. результаты эксперимента распределены закону А . Если ²_набл>²_кр, то H₀ -отвергается (критическая область правосторонняя).

6.1 Расчёт теоретических частот для нормального распределения

1. Вычисляем оценки математического ожидания и дисперсии:

2. Вычисляем границы интервалов нормированной переменной Z:

, i = 0,1,…., m.

1. Выберем по таблице значения функции Лапласа Ф(Z_i);

2. Найдём вероятность попадания значений нормально распределённой случайной величины Z в i-й частичный интервал:

1. Вычисляем теоретические частоты: .

Пример:

Пусть даны результаты 75 экспериментов. Проверить гипотезу о нормальном распределении результатов экспериментов:

Разобьем интервал [–64,-32] на частичные интервалы с шагом, равным 4. Для каждого частичного интервала подсчитаем число результатов, попавших в данный интервал. Обозначим эти частоты n_i. Вычислим середины частичных интервалов .

Полученные результаты вычислений занесем в таблицу.

Находим оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения (1/75)·(-65-290-972-650-644-788-190-170) =

= -3566/75=-47.54;

где Y^*_i – середина i -го интервала.

(1/74)(209.09+547.058+751.1688+

+78.6708+33.2024+429.6824+455.058+916.658) = =3420.5884/74=46.224 ;

S_y = 6.7988=6.80;

Вычислим границы интервала в кодированных переменных:

.

Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в i-тый частичный интервал

P_i = Ф(Z_i+1) - Ф(Z_i); i=1,...,m,

где Ф(z) - функция Лапласа.

Вычислим теоретические частоты n_i^' =NP_i.

Величины Z_i, P_i и n_i^' заносим в таблицу.

Определим наблюдаемое значение критерия

K_набл= 0,9168 + 0,0526 + 4,008 + 0,69 + 0,4303 + 0,1555 + 0,3874 + 0,74137) = 7,38197;

Найдём критическое значение критерия Пирсона для уровня значимости q=0.1 и числа степеней свободы

f=m-2-1=8-2-1=5:

K_кр=² (q,f)= ²(0.1;5)=9.236.

Таблица 4.

Так как K_набл < K_кр , то гипотеза H₀ справедлива, т.е. результаты эксперимента распределены по нормальному закону.

7.Проверка гипотезы о согласованности мнений экспертов (априорное ранжирование переменных)

Суть метода состоит в том, что специалистам (экспертам), хорошо знакомым с исследуемым процессом, предлагается расположить факторы в порядке убывания степени их влияния на переменную состояния.

Пусть приглашены m экспертов, которым предложено проранжировать n факторов: x₁, x₂,...,x_n. Обозначим через а_ij - ранг, выставляемый i-ым экспертом j-му фактору (1а_ij n; i=1,...,m; j=1,...,n).

Результаты опроса заносятся в сводную таблицу:

Таблица 5.

фактор	X1	X2	................	Xn
№спец
1 2 m	a11 a21 am1	A12 a22 am2	................ ................ ................ ................ ................ ................	A1n a2n amn

Сумма рангов по строке (сумма рангов, выставляемых конкретным экспертом) для всех строк одинакова

.

Среднее значение рангов в строке:

Среднее значение суммы рангов фиксированного фактора:

По результатам опроса экспертов проверяется гипотеза H₀: мнение экспертов согласованы, при альтернативной гипотезе H₁: мнения экспертов не согласованы. Вычисляется коэффициент согласия (коэффициент конкордации):

,

где S(d²) - сумма квадратов отклонения суммы рангов от средней суммы:

,

а .

Если мнения экспертов согласованны, то:

Если мнения экспертов рассогласованны, то: S(d²) близко к 0.

Таким образом, получаем, что если мнения экспертов согласованны, то коэффициент конкордации W = 1. Если мнения экспертов полностью рассогласованны, то W 0.

Для проверки нулевой гипотезы в качестве статистического критерия выбираем случайную величину (n-1)mW. Доказано, что при n>7 эта случайная величина имеет ²_.- распределение с числом степеней свободы f = n - 1. Таким образом, критическое значение критерия определяется по таблице критических точек ²_.-распределения в зависимости от q и f. Наблюдаемое значение:

²_.набл.= (n-1)mW

Если ²_.набл.> ²_.кр., то мнения экспертов согласуются. В противном случае мнения экспертов рассогласованны (критическая область левосторонняя).

Если из нескольких факторов эксперт ни одному не может отдать предпочтение, то в этом случае в таблицу ранжирования этим факторам он выставляет одинаковые дробные ранги . Коэффициент конкордации вычисляется по формуле:

,

где

,

где i - номер эксперта;

k - номер повторения;

t_ik - число одинаковых рангов в k-ом повторении.

Если мнения экспертов согласованны, то строится ранжировочная диаграмма. В ней по оси абсцисс откладываются факторы, по оси ординат - суммы рангов в обратном порядке. По виду диаграммы судят о значимом или незначимом влиянии факторов на переменную состояния и об использовании факторов в основном эксперименте.

Пример:

Для некоторого технологического объекта рассматриваются шесть факторов, влияющих на переменную состояния. Мнения четырёх экспертов приведены в таблице. Проверить гипотезу о согласованности экспертов и, если она справедлива, то изобразить гистограмму ранжирования.

Таблица 7.

m=4; n=6.

Средняя сумма рангов в столбце:

.

.

Вычислим коэффициент конкордации:

.

Наблюдаемое значение критерия определяется по формуле:

²_.набл =m(n-1)W=450,805=16,1..

Критическое значение критерия находим в таблице для уровня значимости q=0.05 и числа степеней свободы f = n - 1 = 6 – 1 = 5:

²_.кр.= ²_.(0,05;5)=11,07.

Так как ²_.набл.> ²_.кр., то мнения экспертов согласованны.

аij

0

10

20

30 X

X3 X1 X2 X5 X4 X6

Рис.2. Ранжировочная гистограмма.

8. Уравнение линейной регрессии. Коэффициент корреляции. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции

После отсеивания незначимых факторов проверяется наличие корреляционных связей между факторами и между факторами и переменной состояния. Из статистики известно, что линейная связь между величинами X и Y оценивается с помощью коэффициента корреляции.

Пусть проведены N экспериментов, в результате которых получены следующие значения величин X и Y:

X	x1,x2,............,xN
Y	y1,y2,............,yN

Нанесём результаты экспериментов на координатную плоскость в виде точек, координатами которых является x_i , y _i , получим корреляционное поле

Рис.3. Корреляционное поле.

На рис.3а) – явно линейная зависимость между X и Y,

на рис.3б) –зависимость нелинейная,

на рис.3в) – зависимость между X и Y отсутствует.

Простейшим видом эмпирической формулы является линейная зависимость

Y = aX + b.

Функцию f(x) = ax + b называют линейной регрессией Y на X .

Существуют различные методы вычисления коэффициентов a и b: метод “натянутой нити”, метод сумм и метод наименьших квадратов.

Рассмотрим метод “натянутой нити”.

Нанесём результаты эксперимента на координатную плоскость (см. рис.4)) . Мысленно натянем нить таким образом, чтобы по обе стороны от неё оставалось приблизительно равное число точек, при этом суммы расстояний от точек до нити с обеих сторон должны быть одинаковы и минимальны.

Р ис.4. Метод ”натянутой нити”.

На прямой, совпадающей с направлением нити, выберем две точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2). Подставим координаты точек в уравнение y=ax+b. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными a и b и решаем её

Составим уравнение y=ax+b, используя решение (a,b) системы.

8.1 Метод наименьших квадратов

Будем искать уравнение регрессии в виде линейной зависимости:

Коэффициенты ₀ и ₁ определяются из условия: сумма квадратов отклонений экспериментальных значений y от рассчитанных по уравнению регрессии должна быть минимальной.

Для отыскания минимума составим систему уравнений

Решая эту систему, получаем значения коэффициентов:

Обозначим через r_xy оценку коэффициента линейной корреляции:

.

Тогда коэффициенты регрессии определяются равенствами

- уравнение линейной регрессии.

Аналогичные вычисления для второго уравнения регрессии x=₁y+₀=g(y) дают следующие значения коэффициентов:

.

Тогда уравнение регрессии имеет вид:

.

Свойства коэффициента линейной корреляции:

1.Коэффициент линейной корреляции r_xy по абсолютной величине не превышает 1:

2.Если X и Y (случайные величины) независимы, то r_xy=0, обратное утверждение верно не всегда.

3.Если r_xy=1, то величины X, Y связаны функциональной линейной зависимостью.

4.Если , то зависимость X и Y строят в виде линейной функции. В случае рассматриваются другие виды зависимости, например, квадратичная зависимость, гиперболическая, логарифмическая:

,

8.2 Проверка незначимости коэффициента корреляции

Пусть по результатам эксперимента рассчитана оценка коэффициента корреляции r_xy. Выберем нулевую гипотезу: H₀ - коэффициент корреляции _xy незначим; альтернативную гипотезу: H₁ – коэффициент корреляции _xy значим.

Для проверки справедливости H₀ выберем критерий Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия рассчитывается по результатам эксперимента по следующей формуле:

Характеристики

Список файлов курсовой работы