86279 (612708), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

У такий спосіб:

Зробимо перевірку, для цього у вихідну систему підставимо отримане рішення:

Одержали вірні рівності. Значить було знайдено правильне рішення вихідної системи.

Парна частина загального рішення:

Приклад

Знайдемо рішення: будемо використовувати метод виключення, візьмемо перше рівняння системи й виразимо з нього :

тепер диференціюємо його

Ми можемо дорівняти ліву частину отриманого рівняння з лівою частиною другого рівняння вихідної системи

Зробимо перетворення й приведемо подібні

У такий спосіб:

Зробимо перевірку:

Парна частина загального рішення

Приклад

Знайдемо рішення: будемо використовувати метод виключення, візьмемо перше рівняння системи й виразимо з нього :

тепер диференціюємо його

Ми можемо дорівняти ліву частину отриманого рівняння з лівою частиною другого рівняння вихідної системи

Одержали два рішення й .

1) ;

2) ;

Зробимо перевірку для :

Одержали вірні рівності. Значить було знайдено правильне рішення вихідної системи.

Зробимо перевірку для :

Звідси видно, що не є рішенням для вихідної системи.

У такий спосіб:

Парна частина загального рішення

З даних прикладів можемо помітити, що рішення систем записується у вигляді:

де й – непарні функції, а парна частина представлена константою.

;

;

(13)

Системи виду (13) будуть мати сімейства рішень із постійною парною частиною. У цьому легко переконається, проробивши обчислення, аналогічні попереднім прикладам.

5. Прості й найпростіші системи

Лема 9 Для всякої безупинно диференцюємої функції

для якої виконані тотожності (4), мають місце співвідношення

Теорема 10 Для всякої двічі безупинно диференцюємої функції певної в симетричній області , що містить гіперплощина для якої виконані тотожності (4), існує диференціальна система c безупинно диференцюємої правою частиною, що відбиває функція якої збігається с.

Теорема 11 Для всякої двічі безупинно диференцюємої функції

певної в області утримуюча гіперплощина , для якої виконані тотожності (4), при всіх і досить малих існує диференціальна система

функція, що відбиває, якої збігається з а загальний інтеграл задається формулою

Наслідок 12 Двічі безупинно диференцюєма функція

є функцією, що відбиває, хоча б однієї диференціальної системи тоді й тільки тоді, коли для неї виконані (4)тотожності .

Системи, існування яких гарантується теоремами 10 й 11, називаються відповідно простій і найпростішої.

Теорема 13 Нехай

найпростіша система, тоді

де – функція, що відбиває, (1)системи .

Доказ. Якщо система найпростіша,

Теорема 14 Нехай

є функція, що відбиває, деякої диференціальної системи, рішення якої однозначно визначаються своїми початковими даними, а для безупинно диференцюємої функції

виконано тотожності (4). Тоді для того, щоб в області функція збігалася з необхідно й досить, щоб розглянута система мала вигляд

або вид

Де

є деяка безперервна вектор-функція.

Будемо говорити, що множина систем виду (1) утворить клас еквівалентності, якщо існує диференцюєма функція

із властивостями:

1) функція, яка відбиває

будь-якої системи з розглянутої множини збігається у своїй області визначення з функцією

2) Будь-яка система виду (1), що відбиває функція

яке збігається в області з функцією втримується в розглянутій множині.

Дві системи виду (1), що належать одному класу еквівалентності, будемо називати еквівалентними. Допускаючи певну вільність мови, будемо говорити також, що вони мають ту саму функцію, що відбиває. Функцію при цьому будемо називати функцією, що відбиває, класу, а клас - відповідної функції, що відбиває .

Із третьої властивості функції, що відбиває, треба, що (1) система й система

належать одному класу еквівалентності тоді й тільки тоді, коли система рівнянь

Сумісна

Необхідною умовою спільності цієї системи є тотожність .

6. Побудова множини систем, парна частина загального рішення яких постійна

6.1 Системи, що мають постійну парну частину

Нехай нам дана система

(14)

Перед нами встає наступне питання про те, коли сімейство рішень цієї системи будуть мати постійну парну частину.

(15)

Тобто, коли не буде залежати від часу .

Візьмемо функцію, що відбиває, (14) системи й використовуючи

одержимо парну частину в такий спосіб:

(16)

Теорема 15 Якщо виконано тотожність

де – функція, що відбиває, для лінійної системи (14)виду , те будь-яке рішення цієї системи має постійну парну частину.

Доказ. Візьмемо будь-яке рішення системи (14). Його похідна

Тому можемо записати

З умови теореми маємо

У такий спосіб одержали, що – парна вектор-функція. Тоді

6.2 Побудова систем із заданою парною частиною

Розглянемо систему (14). Будемо будувати систему із заданою парною частиною.

Нехай нам відома парна частина . Скористаємося формулою (15) й перетворимо її

Отже, можемо записати

Звідси знаючи (3), одержимо

де – функція, що відбиває, системи. Крім із попереднього співвідношення, з довільною функцією, що відбиває , задовольняючій умові

одержимо необхідну систему.

Приклад 16 Нехай

де – задана парна частина, . Диференціюємо обидві частини рівності

Перетворимо праву частину

Перепишемо отримане у вигляді:

Виразимо :

(17)

Для всіх систем виду (17) повинне бути виконане умова

Візьмемо

Знайдемо , . ;

Підставимо значення , у систему (17):

Одержуємо необхідну систему:

Приклад 17 Нехай

де – задана парна частина, . Диференціюємо обидві частини рівності

і перетворимо праву частину

Перепишемо отримане у вигляді:

Виразимо :

(18)

Для всіх таких систем повинне бути виконане умова .

Візьмемо . Знайдемо , . ,

Підставимо знайдені значення в систему (18) й зробивши перетворення аналогічні прикладу 16, одержуємо:

Розглянемо тепер загальний випадок, коли нам задана парна частина загального рішення системи з функцією, що відбиває . У цьому випадку

Тому, якщо нам задана, то зі співвідношення

при заданій ми знайдемо загальне рішення шуканої системи. Саму систему ми побудуємо крім зі співвідношень

Таким чином, ми прийшли до

Теорема 18 Усяка система

(19)

де перебувають із системи

при будь-якої заданої диференціюємої функції , що задовольняє співвідношенням

має загальне рішення з парною частиною .

Якщо

те система (19) має вигляд:

Таким чином, ми прийшли до висновку:

Наслідок 19 Загальне рішення диференціальної системи має постійну парну частину тоді й тільки тоді, коли ця система найпростіша.

Висновок

Основним результатом даної роботи є побудова диференціальних систем, сімейство рішень яких має задану парну частину. А так само теорема про зв'язок найпростішої системи й системи, сімейство рішень якої має постійну парну частину.

Теорема. Загальне рішення диференціальної системи має постійну парну частину тоді й тільки тоді, коли ця система найпростіша.

Список джерел

[1] Арнольд В.І., Звичайні диференціальні рівняння. – К., 2004

[2] Бібіков Ю.Н., Загальний курс диференціальних рівнянь. – К., 1999

[3] Еругин Н.П., Книга для читання за загальним курсом диференціальних рівнянь.3-е видання. – К., 2000

[4] Мироненко В.И., Функція й періодичні рішення диференціальних рівнянь. – К., 2004

[5] Понтрягин Л.С., Звичайні диференціальні рівняння. – К., 2003

Характеристики

Список файлов курсовой работы