86227 (612690), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

1) перенести общий множитель за скобки;

2) найти x₁, x₂.

Например, х² - 3х = 0. Перепишем уравнение х² – 3х = 0 в виде х ( х – 3 ) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x₁ = 0, x₂ = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х ( х – 3 ) = 0 получится число, не равное нулю.

Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:

1) если уравнение имеет вид ах² = 0, то оно имеет один корень х = 0;

2) если уравнение имеет вид ах² + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x₁ = 0; x₂ = - ;

3) если уравнение имеет вид ах² + с = 0, то его преобразуют к виду ах² = - с и далее х².= - В случае, когда - < 0, уравнение х² = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах² + с = 0). В случае, когда - > 0, т.е. - = m , где m>0, уравнение х² = m имеет два корня

= , = - , (в этом случае допускается более короткая запись = .

Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах² + bx + c = 0, где a,b,c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0.

1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах² + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Например, 2х² + 4х + 7 = 0. Решение: здесь а = 2, b = 4, с = 7.

D = b² – 4ас = 4² – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах² + bx + c = 0 имеет один корень, который находится по формуле .

Например, 4х – 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b = - 20, с = 25.

D = b² – 4ас = (-20) ² – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле . Значит,

3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах² + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: ; (1)

Например, 3х² +8х – 11 = 0. Решение: а = 3, b = 8, с = -11. D = b² – 4ас = 8² – 4*3*(-11) = 64 + 132 = 196.

Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:

.

Составляется алгоритм решения уравнения вида ах² + bx + c = 0.

1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b² – 4ас.

2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах² + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах² + bx + c = 0 имеет два корня: ; .

Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.

Математики – люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой: . (2)

Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное выше правило; можно – записать сразу формулу (2) и с ее помощью делать необходимые выводы. [1,98].

На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х² +px + q = 0 (3), где p и q – данные числа. Число p – коэффициент при х, а q – свободный член. Дискриминант уравнения равен: D = p² – 4q. Рассматривают 3 случая:

1. D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле . (4)

2. D = 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как горят, два совпадающих корня:

3. D < 0, то уравнение не имеет корней. Обычно в случае приведенного квадратного уравнения (3) вместо D рассматривается выражение , имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так:

Отсюда следует, что:

1. если то уравнение (3) имеет два корня;

2. если то уравнение имеет два совпадающих корня;

3. если то уравнение не имеет корней.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Иначе говоря, если x₁ и x₂ - корни уравнения х² +px + q = 0, то

x₁ + x₂ = - p,

x₁ x₂ = q. (5)

Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф.Виета (1540-1603), который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Например, приведенное уравнение х² - 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета. Если для чисел x₁, x_2, p, q справедливы формулы (5), то x₁ и x₂ - корни уравнения х² +px + q = 0 [2,49].

Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.

Например. Напишем приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.

По формулам Виета

– p = x₁ + x₂ = - 2,

q = x₁ x₂ = -3.

Следовательно, искомое уравнение имеет вид х² + 2х – 3 = 0.

Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.

Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители

Таким образом, неполные и приведенные квадратные уравнения имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Глава 2. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений

2.1. Урок – лекция по теме «Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом»

Цели:

• научить детей решать квадратные уравнения по новой формуле;

• повторить ранее изученный материал по теме «Квадратные уравнения»;

• развивать вычислительные навыки детей, внимание, память, математическую речь;

• воспитывать аккуратность, умение аргументировать свою точку зрения.

Оборудование: карточки с формулами.

Ход урока

1. Домашнее задание.

- Откройте дневники, запишите домашнее задание: учить формулы, вывод этих формул.

2. Устные упражнения.

- В начале урока повторим теоретический материал по теме: «Квадратные уравнения».

2.1. Фронтальный опрос.

1. Что называют квадратным уравнением? (Квадратным уравнением называют уравнение вида вид ах² + bx + c = 0, где а, b, c – любые действительные числа, причем а ≠ 0).

2. В уравнении 2х +4х² +1 = 0 (на доске).

- Назовите: - старший коэффициент (4);

- второй коэффициент (2)

- свободный член (1).

3. Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением? Пример. (Квадратным уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1. Пример: х² + 3х + 4 = 0).

4. Какое уравнение называют полным квадратным уравнением? (Полным квадратным уравнением называют уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, т.е. уравнение, где b, c ≠ 0).

5. Какое уравнение называется полным квадратным уравнением? (Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых).

6. Что называют корнем квадратного уравнения? (Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах² + bx + c = 0 обращается в нуль; такое значение переменной х называют корнем квадратного трехчлена).

7. Что значит решить квадратное равнение? (Значит, найти все его корни или установить, что корней нет).

3. Сообщение темы и цели урока.

- Сейчас мы познакомимся еще с одной формулу, по которой можно найти корни квадратного уравнения.

- Будем учиться применять ее при решении квадратных уравнений.

4. Работа по теме урока.

4.1. Историческая справка.

- Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел

4.2. Объяснение нового материала.

- Записываем в тетрадях для лекций сегодняшнее число и тему нашего урока: «Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом».

- Все внимательно слушаем, в тетрадь пока ничего не пишем.

Слова учителя Записи на доске

1. Пусть дано квадратное уравнение ах² + bx + c = 0

Характеристики

Список файлов курсовой работы