86082 (612635), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(18``)

Заменяя в (18`) и (18``) на , найдем:

, (18```)

. (18````)

Интегральное представление J_n(x)

Так как, по доказанному, при имеем , то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):

где принято во внимание, что есть четная функция от есть нечетная функция от . Итак, доказано, что для любого целого числа

. (19)

Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра . Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для , правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при найдем:

. (19`)

5. Ряды Фурье-Бесселя

Рассмотрим на каком-либо интервале (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения

, , (20)

где и – непрерывные функции на . Пусть и – ненулевые решения этих уравнений. Умножение на и на и последующее вычитание дают

.

Пусть и принадлежат и , тогда после интегрирования в пределах от до получим

. (21)

Если и – соседние нули решения , то между и сохраняет постоянный знак, пусть, например, на ( , ) (в противном случае следует заменить на ), тогда , (равенство нулю исключено, так как – ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на , то должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между и , так как иначе сохранит постоянный знак на ( , ). Пусть, например, на ( , ) (в противном случае заменяем на ), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)

Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если на , то каждое ненулевое решение уравнения может иметь на не более одного нуля (это легко видеть, если положить и взять ). Если на (где ), то для всяких двух соседних нулей и ( ) каждого ненулевого решения уравнения имеем (это легко видеть, если положить , взять и заметить, что нулями будут только числа вида , целое). Если на (где ), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения имеем (это легко видеть, если положить и взять ). Из сказанного следует, что если на , то для всяких двух соседних нулей и ( ) каждого ненулевого решения уравнения имеем .

Изложенное показывает, что если непрерывна на и превышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевое решение уравнения имеет на бесконечно много нулей. Если еще вблизи не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность , имеющую пределом +∞, а если, кроме того, , где , то .

Рассмотрим уравнение Бесселя

на интервале . Подстановка приводит к уравнению

.

Очевидно, и имеют одни и те же нули. Так как , где – целая функция, то не имеет нулей на при достаточно малом , и так как при , то при каждом нули на образуют бесконечную возрастающую последовательность

причем .

Если , то удовлетворит уравнению

на интервале (0, +∞). Подстановка приводит к уравнению

и, следовательно, удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных и имеем

, где ,

, где ,

откуда

,

следовательно,

, где . (22)

Пусть теперь . Разложение по степеням начинается с члена, содержащего , разложение по степеням начинается с члена, содержащего , так как коэффициент при равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при получим

,

то есть

, (23)

откуда видно, что если и являются разными нулями функции , то

. (23`)

Этим доказано, что при система функций

на интервале является ортогональной относительно веса .

Переходя к пределу при в соотношении

и используя правило Лопиталя, получим при всяком

, (24)

следовательно, если является нулем функции , то

. (24`)

Таким образом, при каждом всякой непрерывной функции на , удовлетворяющей требованию

,

поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя

, (25)

коэффициенты которого определяются формулами

. (25`)

Можно доказать, что система функций на , ортогональная относительно веса , замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции .

Можно показать, что если и непрерывная на и кусочно-гладкая на функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при .

6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента

Пусть - положительная функция и - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись

при

означает, что найдутся такие числа и M, что при имеем .

Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если - положительная функция и - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений , то запись

при

означает, что найдутся такие числа и , что на .

Вспомогательная лемма

Если дважды непрерывно дифференцируема на , то для функции

имеет место асимптотическое представление

при .

Докажем эту лемму. Заменяя на , получим:

. (26)

Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя на , найдем:

,

но, заменив на , получим:

.

Если положительна, убывает и стремиться к нулю при , то и , а следовательно, и есть при , поэтому

при ,

откуда

при .

Итак, получаем асимптотическое представление:

при . (27)

Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:

,

.

Очевидно, дважды непрерывно дифференцируема на , но существуют и , поэтому становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает:

,

где первое слагаемое правой части есть при , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом

,

который сходится, так как

при ;

следовательно, второе слагаемое есть тоже при .

Итак, имеем:

при . (28)

Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление:

при . (29)

Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:

при . (29`)

Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций .

Вывод асимптотической формулы для J_n(x)

Заменяя на , получим:

(учитывая, что есть четная функция от , а есть нечетная функция от ). Подстановка дает:

,

где есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что есть полином n-й степени относительно . Но

и, заменяя в первом из этих интегралов на , получим:

Так как и на имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:

;

но ; , следовательно,

.

Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:

при . (30)

Эта формула показывает, что с точностью до слагаемого порядка является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.

В частности,

при ; (30`)

при . (30``)

Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.

Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.

1. Найти решение уравнения Бесселя при

,

удовлетворяющее начальным условиям при , и .

Решение.

На основании формулы (5`) находим одно частное решение:

.

2. Найти одно из решений уравнения:

, .

Решение.

Сделаем замену

.

При получим:

.

При будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:

.

Уравнение на имеет вид ;

, , , , поэтому

,

, .

Рисунок 1 – График функции y=J₀(x)

Рисунок 2 – График функции y=J₁(x)

Список литературы

1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.

2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.

Характеристики

Список файлов курсовой работы