85931 (612610), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

в котором каждая факторгруппа является либо –группой, либо –группой. Поэтому для такой группы можно индуктивно определить верхний –ряд.

где Здесь – наибольшая нормальная –подгруппа группы – наибольшая нормальная –подгруппа Наименьшее натуральное число для которого называют –длиной группы

В следующей теореме будет использован результат В.Н. Тютянова: если для любого простого делителя порядка группы существуют бипримарные –холловские подгруппы, то группа разрешима. В доказательстве этого результата использовалась классификация конечных простых групп.

Теорема 2.3.6 Если в группе силовская –подгруппа обладает супердобавлением, то –разрешима и для любого .

Доказательство. В начале приведём утверждение из работы: пусть – группа и – её полунормальная подгруппа. Тoгда:

– если – –нильпотентна, то нормальное замыкание подгруппы в группе разрешимо.

– если порядок подгруппы группы нечетен, то и нечетен.

Рассмотрим два случая.

1) Пусть . Получаем, что нечетен, где – силовская –подгруппа группы . Следовательно, подгруппа разрешима. Теперь – -группа. И группа –разрешима. Пусть – произвольный элемент из , . Тогда из теоремы 2.3.1 и , где – силовская –подгруппа группы . Следовательно, теорема верна в этом случае.

2) Пусть . Имеем и для любой собственной подгруппы из . Из полунормальности силовской –подгруппы группы следует, что в группе существуют – –холловы подгруппа группы для каждого . Таким образом, в группе существуют бипримарные –холловские подгруппы для любого нечётного простого делителя , поэтому группа разрешима.

Теорема доказана.

Лемма 2.3.7. Пусть – –разрешимая группа.

Если – нормальная подгруппа в то

Если – подгруппа в то

Пусть и – нормальные подгруппы в тогда

Кроме того,

Пусть и – нормальные подгруппы в тогда

Лемма 2.3.8. Пусть – –разрешимая группа такая, что , но для всех нормальных неединичных подгрупп группы . Тогда справедливы следующие условия:

в группе существует максимальная -нильпотентная нормальная подгруппа которая является элементарной абелевой -группой;

– единственная минимальная подгруппа в группе имеющая добавление;

Лемма 2.3.9. Если – наименьшее из чисел, принадлежащих и силовская –подгруппа циклическая, то в группе существует нормальная подгруппа такая, что .

Непосредственно из определения –длины получаем следующую лемму.

Лемма 2.3.10 В –разрешимой группе тогда и только тогда , когда факторгруппа –замкнута.

Лемма 2.3.11 Если в группе все –подгруппы имеют супердобавления, то .

Доказательство. Из леммы 2.3.5 следует, что группа –разрешима. Применим индукцию по порядку группы . Тогда по лемме 2.3.8 можно считать, что , в группе подгруппа Фиттинга – минимальная нормальная –подгруппа. Пусть – силовская –подгруппа группы . По условию полунормальна. Тогда , где . Для любой собственной подгруппы из верно, что – подгруппа группы . По лемме 2.1.6 все –подгруппы имеют супердобавления в . Так как , то по индукции . Заметим также, что , поскольку . Теперь по лемме 2.3.10 подгруппа .

Если в подгруппе существуют две максимальные подгруппы и , то и . Следовательно, и . Поэтому в существует единственная максимальная подгруппа и подгруппа примарная циклическая, то есть . Если , то по теореме 2.3.1. Значит .

Пусть – подгруппа порядка из . Тогда , так как . Теперь , поэтому . Значит, и – циклическая группа порядка, делящего . То есть . Теперь .

Лемма доказана.

Из определения –сверхразрешимой группы вытекают следующие две леммы.

Лемма 2.3.12 Всякая –сверхразрешимая группа имеет единичную –длину.

Лемма 2.3.13 Если подгруппа , или – –группа и факторгруппа –сверхразрешима, то и группа –сверхразрешима. В частности, если группа –сверхразрешима, то и группа –сверхразрешима.

Теорема 2.3.14 Если в группе все –подгруппы имеют супердобавления, то –сверхразрешима.

Доказательство проведём индукцией по порядку группы . В силу леммы 2.3.13 можно считать, что .

Из леммы 2.3.9 следует, что подгруппа нормальна в группе . Рассмотрим подгруппу такую, что . Подгруппа имеет супердобавления как –подгруппа, поэтому есть подгруппа группы . Теперь и . Следовательно, подгруппа нормальна и в группе . Теперь факторгруппа –сверхразрешима по индукции. Значит и группа –сверхразрешима.

Теорема доказана.

Пример 2.3.15 Если силовская -подгруппа обладает супердобавлением, то не всегда . В симметрической группе силовская –подгруппа полунормальна, но .

Пример 2.3.16 В существует подгруппа порядка , не имеющая супердобавления.

Доказательство. Пусть , где

Предположим, что подгруппа , имеющая порядок , имеет супердобавление в . Тогда существует подгруппа такая, что и – собственная подгруппа группы для каждой подгруппы из , отличной от . Так как делится на , то можно считать, что силовская -подгруппа группы содержится в . Но теперь

и , т.е. не является подгруппой группы , получили противоречие. Утверждение доказано.

Теперь пусть – класс групп, у которых все подгруппы имеют супердобавления. По леммам 2.1.6 и 2.1.7 класс – наследственный гомоморф. Из предыдущего примера вытекает, что не является радикальным классом и не является формацией. Кроме того, не содержит класс вполне факторизуемых групп.

Пример 2.3.17 Пусть – сверхразрешимая группа Шмидта. проверим, что в все подгруппы обладают супердобавлениями. Действительно:

1) ;

2) полунормальна в группе как подгруппа простого индекса;

3) если выбрать произвольную подгруппу , то и , тем более полунормальна;

4) если – произвольная непримарная подгруппа группы , то , где , и .

Таким образом, в все подгруппы, кроме и ей сопряженных, нормальны, тем более имеют супердобавления.

Пример 2.3.18 Пусть – группа диэдра порядка . Тогда

Проверим, что в все подгруппы обладают супердобавлениями.

Подгруппа полунормальна, она даже нормальна.

Подгруппа полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так и для единственной собственной подгруппы из имеем .

Подгруппа полунормальна, так как и для любой подгруппы всегда существует минимальное добавление в группе.

Подгруппа полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так и .

Подгруппа полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так и .

Подгруппа полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так и .

Итак, в нильпотентных группах подгруппы, обладающие супердобавлениями, могут быть ненормальными.

3. Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами

3.1 Силовские множества и их свойства

Определение 3.1.1 Множество , состоящее из попарно перестановочных силовских –подгрупп из , в точности по одной подгруппе для каждого , вместе с самой группой , называется силовской системой группы .

В своей книге Дерк и Хоукс использовали название «силовский базис» вместо силовской системы . Введем следующее определение.

Определение 3.1.2 Силовским множеством группы назовем множество силовских подгрупп, взятых по одной для каждого простого делителя порядка группы, вместе с единичной подгруппой.

Таким образом, если – группа порядка , то множество будет силовским множеством. Здесь E – единичная подгруппа группы , – силовская –подгруппа группы и все числа различны.

Из теоремы Силова следует, что каждая группа обладает силовским множеством . Если дополнительно для всех подгрупп из , то силовское множество превращается в силовскую систему, см.. Известно, что любая разрешимая группа обладает силовской системой, и наоборот, если в группе имеется силовская система, то группа разрешима. Кроме того, если и – силовские системы разрешимой группы , то для некоторого .

Пусть – некоторое множество подгрупп группы и – нормальная подгруппа группы . Воспользуемся следующими обозначениями:

где – некоторый гомоморфизм группы в некоторую группу .

В разделе 3.1 изучаются свойства силовских множеств, которые необходимы при доказательстве. Для формулировок теорем потребуется следующее

Определение 3.1.3 Пусть – некоторое множество подгрупп группы . Подгруппа группы называется –квазинормальной, если для всех . Если – множество всех подгрупп группы , то –квазинормальную подгруппу называют квазинормальной.

Лемма 3.1.4. Пусть – силовская –подгруппа группы и . Тогда – силовская –подгруппа группы , а – силовская –подгруппа факторгруппы .

Лемма 3.1.5 Пусть – нормальная подгруппа группы .

Если – силовское множество группы , то является силовским множеством факторгруппы .

Если – силовское множество группы , то является силовским множеством подгруппы .

Характеристики

Список файлов курсовой работы