85931 (612610), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

где – целое число и не делит . Теперь к группе применима индукция. По индукции в группе существует подгруппа порядка для каждого Эта подгруппа будет искомой для группы .

Рассмотрим разложение группы на двойные смежные классы по подгруппам и :

Зададим отображение

переводящее элементы двойного смежного класса в элементы произведения подгрупп и . Легко проверить, что отоюражение взаимно однозначно, поэтому, получаем

где Так как есть подгруппа в , то по теореме Лагранжа делит и – целое число. Из теперь получаем:

Сокращая обе части на получим:

Так как взаимно просто с , а – целое число, являющееся степенью , то в правой части существует слагаемое, равное единице. Пусть например, , где . Тогда .

Пусть и – подгруппы порядка . По существует элемент такой, что . Так как , то .

Пусть – группа порядка – подгруппа порядка и – нормализатор подгруппы в группе . Рассмотрим разложение группы на двойные смежные классы по и :

Отображение

будет взаимно однозначным отображением на . Теперь из получаем:

Положим . Элемент можно выбрать единичным, поэтому и . Теперь

Проверим, что под знаком суммы нет слагаемых равных 1. Допустим противное, т.е. что для некоторого имеем равенство . Это означает, что и подгруппа содержит две подгруппы и порядка . По существует элемент такой, что . Но тогда , а так как , то и . Но это возможно только при , противоречие. Значит, допущение неверно и в равенстве под знаком суммы все слагаемые отличны от единицы. Поскольку каждое слагаемое есть степень простого , то из равенства получаем сравнение . По все подгруппы порядка группы сопряжены между собой, а число подгрупп сопряжённых с равно . Поскольку , то делит .

Теорема доказана.

Силовской – подгруппой конечной группы называют такую – подгруппу, индекс которой не делится на . Непосредственно из теоремы получаем

Следствие 1.4 Пусть конечная группа имеет порядок , где – простое число и не делит . Тогда:

существует силовская –подгруппа и её порядок равен ;

каждая –подгруппа содержится в некоторой силовской –подгруппе;

любые две силовские –подгруппы сопряжены;

число силовских –подгрупп сравнимо с единицей по модулю и делит .

Теорема 1.5 Для конечной группы и её силовской –подгруппы справедливы следующие утверждения:

если , то – силовская –подгруппа в , а – силовская –подгрупппа в ;

;

если и , то

и

пусть – все простые делители порядка группы , при , и пусть – соответствующие им силовские подгруппы. Тогда

а если , то .

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как и не делит , то – –группа, а из того, что

следует

и не делится на . Значит – силовская –подгруппа в .

Поскольку , то – –группа, а так как

не делится на , то – силовская –подгруппа в .

Для получаем

т.е. . Обратно, если , то . Теперь и – силовские подгруппы в , которые по следствию 1.4 сопряжены в , т.е. существует элемент , такой, что . Теперь и , т.е.

Если

то и

Если , то пусть означает наивысшую степень , делящую порядок . По следствию 1.4 – порядок силовской –подгруппы из . Из следует, что

и

Если

то

и

Обратно, пусть

где , и . Тогда

Поскольку уже доказано, что

то , где

Теперь

и

Следовательно,

Пусть

Тогда делит для каждого и поэтому

делит , т.е. . Для имеем , откуда .

Теорема доказана.

Лемма 1.6 Error: Reference source not found. Если – нормальная подгруппа конечной группы и – силовская – подгруппа из , то .

Доказательство. Пусть – произвольный элемент из . Так как , то и по следствию 1.4 подгруппы и сопряжены в . Поэтому, существует элемент такой, что , откуда

и

Таким образом, .

Лемма доказана.

Лемма 1.7 Каждая подгруппа конечной группы, содержащая нормализатор некоторой силовской подгруппы, самонормализуема.

Доказательство. Пусть – силовская подгруппа группы и – подгруппа группы , содержащая . Так как , то по лемме Фраттини

Лемма доказана.

Лемма 1.8 Пусть – –подгруппа конечной группы , и не делит . Тогда

Доказательство. Ясно, что

По условию подгруппа является силовской подгруппой в . Пусть

Тогда и по лемме Фраттини .

Лемма доказана.

Пример 1.9 Симметрическая группа степени 6 имеет порядок . По теореме Силова содержит подгруппы порядков . Силовская 2‑подгруппа имеет порядок , силовская 3‑подгруппа имеет порядок и силовская 5‑подгруппа имеет порядок 5.

Пример 1.10 Группа порядка 15 циклическая.

Пусть – группа порядка 15. В группе имеется подгруппа порядка 3 и подгруппа порядка 5. По следствию 1.4 число силовских 3‑подгрупп имеет вид для некоторого неотрицательного целого и делит 5. Поэтому в группе имеется только одна подгруппа порядка 3. Так как любые две силовские 3‑подгруппы сопряжены, то . Аналогично, число силовских 5‑подгрупп равно и делит 3. Поэтому . Так как и – циклические подгруппы простых порядков, то группа . Теперь для любых имеем:

поэтому

и . Следовательно, группа абелева. Теперь ясно, что – циклическая группа.

2. Полунормальные подгруппы

2.1 Свойства супердобавлений

Определение 2.1.1 Подгруппу, обладающую супердобавлением, называют полунормальной подгруппой. Таким образом, подгруппа группы называется полунормальной подгруппой, если существует такая подгруппа , что и – собственная подгруппа группы для каждой подгруппы из , отличной от .

Пример 2.1.2 Нормальные и квазинормальные подгруппы являются полунормальными и любые их минимальные добавления будут супердобавлениями.

Пример 2.1.3 В симметрической группе силовская –подгруппа является полунормальной подгруппой, но не квазинормальной.

Лемма 2.1.4 Если подгруппа полунормальна в группе и в группе нет собственных добавлений к , то квазинормальна.

Доказательство. Так как по условию все добавления к подгруппе совпадают с самой группой , то и супердобавлением к будет . Теперь из определения полунормальной подгруппы следует, что перестановочна со всеми собственными подгруппами группы .

Лемма доказана.

Введем следующие обозначения. Если – подгруппа группы , то – множество всех супердобавлений к подгруппе в группе . Ясно, что в точности тогда, когда не является полунормальной подгруппой.

Пусть и – подгруппы группы , и подгруппа нормальна в группе . Введём следующие обозначения:

– обычное теоретико множественное включение, то есть любая группа содержится в .

Запись

означает, что для любой подгруппы существует подгруппа такая, что содержится в .

Лемма 2.1.5 Если – полунормальная подгруппа группы и , то – полунормальная подгруппа группы и

Доказательство. Пусть . Тогда и – собственная подгруппа группы для любой подгруппы из , отличной от . Ясно, что для любого элемента из , а так как можно считать произвольной в подгруппой, отличной от , то – собственная подгруппа группы . Поэтому полунормальна в и – супердобавление к в группе , то есть . Отсюда следует, что . Группа для любого . Так как , то , где , . Теперь . Если – подгруппа из , отличная от , то – подгруппа из , отличная от . Поэтому – собственная подгруппа группы и . Значит, для всех . Отсюда следует, что .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.6 Если – полунормальная подгруппа группы и – подгруппа, содержащая , то полунормальна в и для любой подгруппы пересечение содержит супердобавление к подгруппе в .

Доказательство. Пусть полунормальна в и . Так как , то по тождеству Дедекинда имеем . Пусть – наименьшая подгруппа из , для которой . Если – собственная подгруппа из , то . Поскольку , то – подгруппа группы , поэтому полунормальна в и – супердобавление в .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.7 Если – полунормальная подгруппа группы и , то – полунормальная подгруппа группы и любая группа из содержит супердобавление к в .

Доказательство. Пусть полунормальна в и . Тогда . Пусть – наименьшая подгруппа из такая, что . Выберем произвольную подгруппу из , отличную от . Так как , то . Поскольку , то по тождеству Дедекинда . Теперь , а из полунормальности следует, что – подгруппа группы и – собственная подгруппа группы . Это означает, что полунормальна в и . Так как , то лемма доказана.

Лемма 2.1.8 Пусть – полунормальная подгруппа группы и . Если – полунормальная подгруппа группы , то – полунормальная подгруппа группы и .

Доказательство. По условию и , где . Кроме того, – подгруппа группы . Ясно, что . Если – собственная подгруппа в , то – собственная подгруппа в и . Ясно, что и перестановочны с , поэтому . Так как , то . Значит, является супердобавлением к в , то есть , что и требовалось доказать.

Лемма 2.1.9 Если – подгруппа группы и – её минимальное добавление, то следующие утверждения эквивалентны:

полунормальна в группе и ;

для каждого элемента и каждого элемента существуют целое число и элемент такие, что .

Доказательство. . Пусть подгруппа полунормальна в группе и – ее супердобавление. Подгруппа , где пробегает все элементы группы , причем – подгруппа группы , что следует из полунормальности . Поэтому . Теперь выбираем произвольные элемент и элемент . В силу того, что получаем, что для некоторого целого числа и некоторого элемента .

. Пусть для каждого элемента и каждого элемента существуют целое число и элемент такие, что . Так как из равенства вытекает включение , а из равенства следует, что , значит . Ввиду того, что для любой подгруппы из имеем , где , то получаем равенство . Это означает, что полунормальна в и .

Характеристики

Список файлов курсовой работы