85827 (612587), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Итак, содержит некоторую группу , где , – -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть – нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные подгруппы образуют решетку, то имеет вид

где для любых из ;

2) если – формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

1) Покажем, что является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что и .

Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно лемме 2.3

где – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , ( – простое число), а – максимальная подгруппа группы , являющейся минимальной не -группой.

Докажем, что – циклическая -группа для некоторого простого числа . Допустим противное. Тогда в найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы и . Рассмотрим в подгруппу , . Ясно, что -субнормальна в , . Из , и по лемме 3.1 получаем, что . Получили противоречие с выбором .

Следовательно, – циклическая группа порядка , где – некоторое простое число, , – натуральное число. Допустим, что . Обозначим через – регулярное сплетение циклических групп и соответственно порядков и .

По теореме 6.2.8 из [2] изоморфна некоторой подгруппе группы . Так как и , то ввиду теоремы 2.4 из [5] .

Рассмотрим регулярное сплетение , где . Тогда , где – элементарная абелева -группа. Так как , то . Из

следует что .

Рассмотрим в подгруппы и , где – база сплетения . Ясно, что -субнормальна в , . Кроме того, . Отсюда

Так как , то по лемме 3.1. Получили противоречие.

Следовательно, и – группа Шмидта. Если и , то по лемме 1.1.6 также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 является наследственной формацией.

Покажем, что формация имеет такой локальный экран , что

p(F) p'(F) p(F) Действительно. Пусть – локальный экран формации . Так как для любого простого числа из , то . Покажем обратное.

Пусть – группа минимального порядка из . Так как – наследственная формация и – насыщенная формация, то – минимальная не -группа и . Теперь, согласно лемме 2.3

где – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем – -группа, , а – минимальная не -группа. Как показано выше является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

Пусть – группа простого порядка. Так как , то очевидно, что . Противоречие.

Пусть – группа Шмидта. Тогда – группа простого порядка, причем , . Так как , то очевидно, что

Отсюда следует, что . Получили противоречие. Следовательно .

Итак, и – полный локальный экран формации .

Покажем, что либо для любых простых , .

Вначале докажем, что из следует . Допустим противное. Пусть . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем , который существует по лемме 18.8 из [6].

Возьмем группу . Так как и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый -модуль над полем . Рассмотрим группу

Так как

то . Ясно, что . Так как , то найдется такой, что . Заметим, что . Тогда

Так как , то -субнормальна в и -субнормальна в . По лемме 3.1 . Получили противоречие. Таким образом, если , то .

Пусть теперь . Тогда . Предположим, что найдется такое простое число , которое не принадлежит . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем .

Группа принадлежит ввиду и . Теперь рассмотрим точный неприводимый -модуль . Группа формации не принадлежит, так как . Ясно, что . Рассуждая как и выше, можно показать, что для некоторого , причем подгруппы , -субнормальны в , причем , принадлежат . Отсюда по лемме 3.1 . Получили противоречие.

Следовательно, если , то , а значит . Более того, если

где и , то и , а значит, .

Таким образом, множество можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде , где для любых из и для . Покажем, что

Обозначим

Так как для любого имеет место , то включение очевидно.

Допустим, что множество непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Так как – наследственная формация, то . Группа непримарна в силу равенства и локальности формации . Из строения

и нетрудно показать, что – группа Шмидта. Ясно, что . Тогда по теореме 26.1 из [5] , где – элементарная абелева -группа, – некоторые простые числа. Так как , то

Как показано выше, для некоторого номера . Но тогда . Получили противоречие с выбором . Следовательно,

где для всех .

Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.

Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная локальная формация тогда и только тогда обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда

Заключение

В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп. Для построения теории решеток -субнормальных подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной Виландтом, используются свойства минимальных не -групп.

В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.

Список использованных источников

1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев, 1993. – С. 27–54.

2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.

3. Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. – 1979. – Т.18, №3. – С. 348–382.

4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск: Наука и техника, 1981. – С. 138–149.

5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. – 1978. – 267 с.

6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.

7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.

8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.

9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. – 1978. – V.30. – P.225–228.

10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. – 1939.-V.45. – P.209–244.

Характеристики

Список файлов курсовой работы