85827 (612587), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Доказательство. Пусть – множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.

Следствие. Для любой субнормальной подгруппы группы справедливы следующие утверждения:

1) если – -группа, то ;

2) если нильпотентна, то ;

3) если -нильпотентна, то ;

4) если разрешима, то .

2. Минимальные не -группы

Лемма [3]. Пусть , где – локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) группа монолитична с монолитом

2) – -группа для некоторого простого ;

3) – -эксцентральный главный фактор ;

4) ;

5) если группа неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту ;

6) если абелева, то она элементарна;

7) если , то – экспонента ; при экспонента не превышает 4;

8) для любой -абнормальной максимальной подгруппы из имеет место

9) любые две -абнормальные максимальные подгруппы группы сопряжены в ;

10) если и подгруппа содержит , то для любого полного локального экрана формации ;

11) если – -абнормальная максимальная подгруппа группы и – некоторый полный локальный экран , то – минимальная не -группа и либо , либо .

Доказательство. 1) Пусть – минимальная нормальная подгруппа из такая, что . Очевидно, что . Противоречие. Итак, – минимальная нормальная подгруппа . Так как – формация, то, нетрудно заметить, что – единственная минимальная нормальная подгруппа из . А это значит, что

Отсюда следует, что

2) Выше мы показали, что – главный -фактор. Покажем, что – -группа. Предположим противное. Пусть простое число делит , но не делит . По лемме 4.4 из [5] , где – содержащаяся в силовская -подгруппа из . Тогда

Отсюда и из насыщенности получим . Но тогда , что невозможно.

Пусть – главный фактор группы . Ввиду 2) является -группой и . Следовательно, каждая -абнормальная масимальная подгруппа группы является -нормализатором группы . Так как -нормализатор группы покрывает только -центральные главные факторы, то мы получаем, что -гиперцентральна в . Согласно следствию 9.3.1 из [5] . Отсюда следует, что , т.е. .

Обозначим через коммутант группы . Так как – -корадикал группы , то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы на участке от до -эксцентрален. Отсюда и из -гиперцентральности заключаем, что . Так как

то мы получаем тaкже рaвенство . Таким образом, утверждения 2) – 6), 9) доказаны.

Докажем 7). Предположим, что неабелева. Пусть – произвольный элемент из . Ввиду 4) , причем . Следовательно,

для всех элементов , из . Это означает, что имеет экспоненту . Учитывая это и то, что содержится в , получаем для любых , из при :

Значит, отображение является -эндоморфизмом группы . Так как

то -гиперцентральна в . Вспоминая, что – -эксцентральный главный фактор, получаем равенство . Так как имеет экспоненту , то утверждение 7) при доказано.

Пусть . Тогда

где . Рассматривая отображение как и выше получаем, что . Значит имеет экспоненту не больше 4.

Докажем 8). Выше мы доказали, что . Пусть . Тогда в найдется такая максимальная подгруппа , что . Так как , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . По теореме 9.4 из [5] имеем для любой -абнормальной максимальной подгруппы группы . Нетрудно показать, что .

По теореме 7.11 из [5],

Так как , то

Ввиду того, что и – главный фактор , имеем . Итак, . Пусть – любая -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Ясно, что

Не ограничивая общности, положим . Тогда – единственная минимальная нормальная подгруппа . Легко видеть, что и . Но – -группа. Значит, . По условию . Следовательно, ввиду полноты экрана имеет место

то . Таким образом, всякая собственная подгруппа группы принадлежит . Допустим, что . Тогда

и поэтому . Полученное противоречие показывает, что , т.е. – минимальная не -группа.

Предположим теперь, что . Покажем, что . Не теряя общности, можно положить, что . Тогда , . Пусть , где и , где . Для всякого через обозначим подгруппу . Предположим, что все отличны от . Так как , то – дополнение к в . Если для всех различных и , то

и поэтому . Противоречие. Значит для некоторых различных и . Из последнего вытекает

что невозможно. Полученное противоречие показывает, что для некоторого и, следовательно, . Лемма доказана.

Лемма [4]. Пусть – наследственная локальная формация, – такая нормальная подгруппа группы , что . Тогда равносильно .

Доказательство. Пусть . Тогда , и если – произвольная максимальная подгруппа , то , а значит, и принадлежит . Следовательно, .

Предположим теперь, что . Понятно, что .Пусть – произвольная максимальная подгруппа , тогда . Пусть – произвольный -главный фактор из . Обозначим . Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации , и пусть . Так как , то . Покажем, что . По лемме 8.7 из [6] формация наследственна. Следовательно, если , то сразу получим . Если же , то вытекает из изоморфизма . Итак, всякий -главный фактор из , -централен в . Значит, . Таким образом, . Лемма доказана.

Лемма [3]. Пусть – локальная наследственная формация, – некоторый ее полный экран. Группа принадлежит тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) ;

2) , где – главный -фактор группы , – минимальная не -группа.

Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.

Достаточность. Пусть и – произвольные максимальные подгруппы . Покажем, что . Если -абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем . Значит, . Пусть . По условию

Следовательно, и по лемме 2.1 – -группа. Значит по лемме 8.2 из [6] . Итак, . Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что . Лемма доказана.

Лемма [3]. Пусть – локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) для любого из ;

2) тогда и только тогда, когда для любого из , – главный фактор , .

Доказательство. 1) Пусть – произвольная группа из . Покажем, что . Предположим противное. Пусть – подгруппа наименьшего порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что . Так как – постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5] для любого из . Если , то из того, что следует . Получили противоречие. Итак, – собственная подгруппа из . Но тогда , что невозможно.

2) Пусть . Покажем, что . Так как

то, не ограничивая общности, можно считать, что . Пусть – произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда по лемме 2.1 , где . Очевидно, что . Отсюда следует, что – -группа. Так как и – постоянный экран, то . Пусть – произвольная собственная подгруппа из . Так как формация наследственна, то . Кроме того, . Отсюда . Следовательно,

Если теперь , то . Отсюда нетрудно заметить, что . Противоречие. Итак, . Из леммы 2.1 следует, что

есть главный -фактор группы .

Пусть теперь . Очевидно, что . Пусть – собственная подгруппа из .Рассмотрим подгруппу . Если , то тогда

Согласно пункту 1 . Пусть . Тогда – собственная подгруппа группы . Тогда

Отсюда . А это значит, что . Итак, . Так как , то по лемме 2.1 . Лемма доказана.

Лемма. Пусть – непустая наследственная формация. Тогда:

1) если – подгруппа группы и , то -субнормальна в ;

2) если -субнормальна в , – подгруппа группы , то -субнормальна в ;

3) если и -субнормальные подгруппы , то – -субнормальная подгруппа ;

4) если -субнормальна в , а -субнормальна в , то -субнормальна в ;

5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы является -субнормальной;

6) если – -субнормальная подгруппа группы , то -субнормальна в для любых .

Лемма. Пусть – непустая формация, – подгруппа группы , – нормальная подгруппа из . Тогда:

1) если -субнормальна в , то -субнормальна в и -субнормальна в ;

2) если , то -субнормальна в тогда и только тогда, когда -субнормальна в .

Характеристики

Список файлов курсовой работы