85693 (612550), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В = {футбол, волейбол, плавання, гімнастика, теніс}

За допомогою слів „займатися яким-небудь видом спорту” між елементами цих множин встановлено зв’язок, або, як говорять в математиці, відношення. В результаті ми одержали третю множину Р

Р = {(Сашко, волейбол), (Сашко, теніс), (Борис, футбол),

(Володя, плавання), (Галя, волейбол), (Оленка, теніс)}

Наведений приклад показує, що будь-яке бінарне відношення (відповідність) між елементами множин А і В повністю характеризується трьома множинами: А, В і Р – множиною пар, що є підмножиною А х В.

Р А х В

Множину упорядкованих пар Р називають графіком розглядуваного відношення.

Якщо буквою р позначити відношення із А в В, то відповідність р: „учень х є А займається видом спорту у є В залишається: хру.

У математиці досить часто доводиться мати справу з тими чи іншими відношеннями між певними об’єктами.

Найважливіші з них мають певні назви і позначення:

відношення рівності (═); відношення перпендикулярності ( ); відношення паралельності (║); відношення подільності ; відношення включення ( ) ; відношення конгруентності ( ); відношення подібності (~).

Бінарне відношення можна задати сукупністю впорядкованих пар, стрілочним і графічним способами.

Стрілочний спосіб полягає в тому, що множини А і В зображають кругами, їх елементи точками. Потім з’єднують стрілками елементи кожної пари (х; у), які належать графіку Р заданого відношення. В результаті одержимо фігуру, яку називають графіком розглядуваного відношення Р

При графічному зображенні відношення Р на площині ставимо точки, які відповідають парам (х; у), що належать відношенню Р. Множина цих точок і буде графіком даного відношення.

§ 2. 3. Властивості бінарних відношень.

Найважливішими властивостями бінарних відношень є рефлексивність, симетричність, транзитивність.

Бінарне відношення р називається рефлексивним, якщо для будь-якої пари (х, х) є А ², елемент х знаходиться у відношенні р сам з собою.

Антирефлексивним називається таке відношення для якого х не знаходиться у відношенні р з х для будь-якої пари (х, х) є А ².

Рефлексивним є, наприклад, такі відношення рівності (═), не більше (≤), подільності ( ), рівносильності висловлювань ( ), паралельності (║), конгруентності ( ) та подібності (~).

Антирефлексивними є відношення нерівності (≠), більше (>), менше (<), перпендикулярності ( ), не подільності ( ).

Бінарне відношення р називається симетричним, якщо для пари

(х, у) є А ² із хру випливає урх.

Антисиметричним називається таке відношення для якого для будь-якої пари (х, у) є А ² із хру випливає .

Симетричними є відношення рівності (═), рівносильності (≡), перпендикулярності ( ), конгруентності ( ), подібності (~).

Асиметричними є відношення більше (>), менше (<), не більше (≤), включення ( ).

Бінарне відношення р називається транзитивним, якщо для будь-яких трьох елементів х, у, z з множини А із хру і урz випливає xpz.

Антитранзистивним відношенням називається таке відношення для якого для будь-яких трьох елементів х, у, z з множини А із хру і урz випливає

Транзитивним є відношення менше (<), не більше (≤), подільності ( ), рівносильності (≡), конгруентності ( ), паралельності (║), подібності (~).

Антитранзистивними є відношення перпендикулярності ( ).

Відношення між елементами множин можуть мати одну, дві, три або не володіти ні однією властивістю.

Наприклад, відношення перпендикулярності в множині прямих є симетричним, але не має рефлексивної і транзитивної властивостей, відношення р „число х більше числа у” у множині натуральних чисел є транзитивним, але не володіє властивостями рефлективності і симетричності.

§ 2. 4. Відношення еквівалентності.

Бінарне відношення р називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Відношення: „бути однокурсником” у множині студентів; „мати один і той же корінь” у множині слів є відношеннями еквівалентності.

Якщо між елементами деякої множини, встановлено відношення еквівалентності, то цим самим ми розбиваємо задану множину на класи.

Розглянемо відношення р: „давати однакову остачу при діленні на 3” у множині невід’ємних цілих чисел. Цим самим ми розбиваємо задану множину на такі класи, які не перетинаються:

К₁ = {0, 3, 6, 9 ......} – остача нуль

К₂ = {4, 7, 10 ......} – остача один

К₃ = {5, 8, 11 ......} – остача два

Класи, на які відношення еквівалентності розбиває множину А називаються класами еквівалентності. Це розбиття характеризується такими властивостями:

1. Ці класи не порожні

К_і ≠ Ø для всіх і = 1, 2, 3, ......, n

2. Будь-які два класи не перетинаються

К_і ∩ К_у = для будь-яких і, у = 1, 2, 3, ......, n

3. Об’єднання усіх класів дає універсальну множину А

К_і = А

Легко переконатися, що елементи із одного класу еквівалентні між собою, а елементи із різних класів – ні.

Теорема

Будь-яке відношення еквівалентності р здійснює розбиття множини А на класи еквівалентності так, що будь-які два елементи одного класу знаходяться у відношенні р, а будь-які два елементи різних класів не знаходяться у даному відношенні між собою.

Доведення

Нехай в множині А є відношення еквівалентності р. Візьмемо з цієї множини якийсь елемент а і виділимо в окремий клас К (а) всі елементи, які знаходяться з а у відношенні р

К (а) = {у | у є А, ару} (1)

Задане відношення р розіб’є всю множину А на ряд класів К, в результаті чого ми одержимо множину класів {К (а)}.

Доведемо, що множина {К (а)} для всіх а є А є розбиттям на класи, тобто що вона задовольняє трьом умовам розбиття на класи, а саме, що:

1) К (а) ≠ Ø

2) К (а) ∩ К (b) = Ø

3) К (а) = А

Покажемо, що справедлива перша умова.

Раз р є відношенням еквівалентності, то воно є рефлексивне, тобто ара. Значить К (а) має хоча б один елемент а і вже К (а) не порожня множина

К (а) ≠ Ø

Покажемо, що справджується умова 2) для будь-яких а і b є А,

якщо а b.

Доведемо цю умову виходячи з протилежного.

Припустимо, що К (а) ∩ К (b) ≠ Ø. Тоді у них є спільний елемент с, тобто

с є К (а) і с є К (b)

Але елементи одного класу, відповідно до (1) знаходяться у відношенні р між собою, значить

арс і bрс

Із симетричності відношення р із bрс слідує срb, а із транзитивності відношення р випливає:

якщо арс і срb, то арb.

А це протирічить умові, що а b.

Значить, припущення не вірне і

К (а) ∩ К (b) = Ø.

Покажемо, що виконується і умова 3).

Із формули (1) видно, що будь-який а є А належить класові К (а), тобто

а є К (а). Отже, щоб одержати множину А треба об’єднати усі ці класи

К (а) = А

^{а є А}

Ми довели, що відношення р розбиває множину А на класи еквівалентності.

Тепер покажемо, що: 1) два елементи одного класу еквівалентні між собою, а 2) два елементи різних класів не еквівалентні. Доведемо перше.

Нехай b і с будь-які два елементи одного класу К (а). Доведемо, що bрс. Раз b є К (а), то по формулі (1) – арb, а з того, що с є К (а) слідує, що арс. За симетричністю відношення р – з а р b слідує b р а. За транзитивністю відношення р маємо bра і арс, то bрс.

Доведемо друге. Нехай маємо два різні класи К (b) ≠ К (с). Покажемо, що b с. Доведемо від супротивного. Припустимо, що bрс. Нехай d – довільний елемент множини К (с), тоді cpd.

За симетричністю р маємо із bрс слідує срb.

За транзитивністю із bрс і срd слідує bpd.

Значить d є К (b).

Ми довели, що якщо d є К (с), то d є К (b) для вільного d.

Отже, К (с) К (b).

Аналогічно доводимо, що К (b) К (с).

Отже, К (b) = К (с).

А це протирічить умові. Значить, наше припущення не вірне і b с.

§ 2. 5. Відношення порядку. Упорядкована множина.

Серед різних відношень ми часто зустрічаємо такі, які встановлюють у множині певний порядок.

Інтуїтивне представлення про порядок об’єктів переважно пов’язано з їх взаємним розміщенням в просторі (вище – нижче, ближче – дальше, правіше – лівіше); в часі (раніше – пізніше); з порівнянням їх розмірів (більше – менше, легше – тяжче).

Ці відношення і подібні їм відносяться до важливого класу відношень, що називають відношеннями порядку.

Відношенням строгого порядку називається будь-яке відношення, яке є антирефлексивним, антисиметричним і транзитивним.

Отже, відношення р буде відношенням строгого порядку, якщо:

1. х х для будь-якого х є А, тобто (х, х) Р для будь-якої пари

2. (х, х) є А ².

3. якщо хру , то у х для будь - якого х, у є А, тобто якщо (х, у) є Р, то

(у, х) Р для будь-якої пари (х, у) є А ².

1. якщо хру і урz, то хрz для будь-яких х, у, z є А, тобто якщо (х, у) є Р і (у, z) є Р, то і (х, z) є Р для будь яких пар (х, у) (у, z) є А ².

Так відношення р: „ х < у у множині А = {1, 2, 3, 4, 5} є відношенням строгого порядку, тому що воно антирефлексивне, антисиметричне, транзитивне.

Відношення р називається відношенням нестрогого (часткового) порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне.

Так, відношення „число х – дільник числа у” у множині А = {1, 2, 3, 4, 5} є відношенням часткового порядку, тому що воно транзитивне, рефлексивне і антисиметричне.

У математиці та її застосуваннях особливу роль відіграють такі відношення порядку р, які дають можливість порівняти довільні різні елементи певної множини А. Ці відношення називаються відношеннями лінійного порядку у множині А.

Відношення строгого (нестрогого) порядку називається відношенням лінійного строгого (нестрогого) порядку, якщо для будь-яких різних елементів х і у із А здійснюється одне із відношень хру або урх.

Проілюструємо сказане на прикладі. Нехай А – множина студентів групи. Р – відношення „студент х вищий за студента у”. Це відношення антирефлексивне, антисиметричне і транзитивне.

Значить, воно відношення строгого порядку. Якщо в даній множині А немає студентів однакового росту, то тоді про будь-яких двох студентів можна сказати, що або студент х вищий за у або студент у вищий студента х. Отже, відношення Р є відношенням строгого лінійного порядку.

Множина А називається лінійною упорядкованою, якщо в А введено відношення Р і для будь-якої пари (х, у) є А ², якщо х ≠ у, то хру або

урх.

Так, множина натуральних чисел лінійно упорядкована відношенням строгого порядку „менше”, тобто N = {1, 2, 3, 4, ....}

Розділ 3. СИМВОЛІКА МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ

§ 3. 1. Поняття висловлення

Під математичною логікою або символічною логікою розуміють логіку, що розвивається за допомогою математичних методів. Математичний апарат до логіки вперше застосував у XIX ст. англійський математик Джордж Буль.

Д. Буль (1815 – 1864 р.р.), батько відомої англійської письменниці Войнич (її чоловік був революціонером), автора роману „Овод”. Темп розвитку математичної логіки різко зростає у XIX ст. У 90-х роках ХХ ст.. математична логіка дістає широке застосування в технічних науках, наприклад, електротехніці. Зараз вона є складовою частиною теоретичного фундаменту кібернетики.

Основним поняттям математичної логіки є висловлювання. Висловлювання належить до первинних понять, воно не визначеється через інші поняття, а вводяться за допомогою опису.

Під висловлюванням розуміють будь-яке твердження, відносно якого можна з’ясувати, істинне воно чи хибне. Наприклад,

1. Діагональ квадрата не сумірна з його стороною – „і” висловлювання

2. 5 > 8 – „х” висловлення

3. О котрій годині ти повернешся вчора додому? – не є висловленням.

Висловлення позначаються малими латинськими буквами: p, q, r, s, ......

Множину усіх висловлювань, яку позначимо буквою S, ділять на дві підмножини (класи)

Т – клас усіх істинних висловлювань

F – клас усіх хибних висловлювань

Два висловлювання p і q називаються рівносильними (логічно рівними), якщо вони належать до одного й того самого класу і записують

p q

Із означення рівносильності висловлювань виникають властивості:

1. р р

2. Якщо р q, то q р – симетричність

3. Якщо р q і q r,то р r – транзитивність

§ 3. 2. Операції над висловленнями

У розмовній мові для сполучення двох речень вживають слова: і, або, якщо ...... то, тоді і тільки тоді, не. З’ясуємо те значення, в якому ці слова вживаються в логіці.

а) Логічне множення (кон’юнкція)

Логічним добутком (кон’юнкцією) двох висловлень p і q називається

таке висловлення „p і q”, яке істинне тоді і тільки тоді, коли p і q одночасно істинні. Позначається: p q.

Згідно з означенням маємо таку таблицю істинності для кон’юнкції.

Приклад. Нехай висловлення р буде “5<8”, а висловлення q – “ 8 < 13 “, тоді кон’юнція цих висловлень буде “ I ”, бо істинне p i q .

Переважно скорочено таку кон’юнкцію записують як подвійну нерівність 8 < 5 < 13

Властивості кон’юнкції

1) Комутативна (переставна властивість) p q q p

2) Асоціативна (сполучна) властивість (p q) s p (q s)

Означення кон’юнкції двох висловлювань розповсюдна на будь-яке скінченне число висловлювань

р_і = р₁ р₂ р₃ р₄ … р_n

б) Логічне додавання (диз’юнкція)

Диз’юнкцією або логічною сумою двох висловлень p і q називається висловлення “p і q „ яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинне хоча б одне із висловлювань і хибне коли вони обидва хибні.

Позначення диз’юнкції: p v q

Таблиця істинності:

Закони диз’юнкції

1) Комутативний: p v q q v p

2) Асоціативний закон диз’юнкції (p v q) v s p v (q v s)

3) Дистрибутивні закони, які пов’язують кон’юнкцію і диз’юнкцію

(p v q) s (p s) v (q s)

(p q) v s (p v s) (q v s)

Довести дома самостійно.

в) Заперечення висловлення

Запереченням висловлення р називається висловлення „не р“, яке істинне, коли р хибне, і хибне коли р істинне.

Позначення : .

Закони заперечення

1) Заперечення заперечення висловлення рівносильне висловленню р:

р

2) Закон суперпозиції

p х

3) Закон включення третього

q v i

Кожне висловлення q або істинне або хибне, третього не може бути q v = i

4) Закони де Моргана

v

Заперечення кон’юнкції двох висловлень рівносильне диз’юнкції заперечень і заперечення диз’юнкції рівносильне кон’юнкції заперечень цих висловлень.

v

г) Логічне слідування (імплікація)

Слідуванням (імплікацією) двох висловлень p і q називається висловлення “якщо p, то q„, яке хибне тоді і тільки тоді, коли p – істинне, а q – хибне. Позначається імплікація: p q

Операцію імплікації двох висловлень можна виразити через операцію заперечення і диз’юнкцію:

p q v q

д) Еквіваленція (рівносильність) двох висловлень

Еквіваленцією (рівносильністю) двох висловлень p і q називається висловлення „р тоді, і тільки тоді, коли q, яке істинне тоді і тільки тоді, коли p і q одночасно істинні, або одночасно хибні“

Позначається: p q , p q

Еквіваленція

(p q) (p q q p)

§ 3.3. Предикати

(неозначуване висловлення або висловлювальна форма)

Розглянемо речення

1. х – парне число

2. Поет х написав поему “ Сон”.

Ці речення не є висловленням, бо неможна сказати чи вони “і” чи “х“. Якщо змінну в першому реченні замінити числом, а в другому прізвищем поета, то вони перетвореться у висловлення.

Предикатом називається твердження, в яке входять вільні змінні і яке при заміні їх коректними значеннями стає висловленням.

Це є одномісні предикати.

Для кожного предиката треба, вказати множину значень, які може приймати змінна х. Цю множину називають областю визначення предиката і в першому прикладі область визначення – N, у другому - множина прізвищ поетів.

Предикат позначають великими буквами:

P(x), Q(x), R(x), S(x), де х Х.

Множина тих значень змінних, при яких предикат набуває істиного значення називається областю істинності предиката і позначається Т. Область істиності є підмножиною області визначення Т Х.

У першому прикладі Т = {x | x N i є парне}

У другому прикладі Т = { Шевченко }

Предикат в який входить дві змінні називаються двомісним. Приклади:

1. x > y;

2. “Поет х написа поему у “

Двомісні предикати позначаються P(x, y), Q(x, y) які визначені на множенні Х × У.

В математиці зустрічаються багато предикатів, причому деякі з них мають спеціальні позначення

„х = у“; „х < у“; „х ║ у“; „х у“ і т.д.

В математиці зустрічається і трьох, чотирьох і т.д. місні предикати. Приклади:

1. Число х ділиться на число у і на число z.

2. Всі числа, які діляться на х і у, діляться і на z.

3. Сума чисел х і у дорівнює добутку чисел U і V.

4. а₁х₁ + а₂х₂ + а₃х₃ + … + а_nx_n = b n–місний предикат

Нехай Q (a, b) – двомісний предикат.

(a - b)² = а² – 2ab + b². Цей предикат перетворюється на істинне висловлення при всіх дійсних значеннях „a” і „b”. Областю істинності предиката Q є множина всіх дійсних чисел R. Такий предикат називається тотожно істинним.

Рівності, рівняння, нерівності та їх системи, що розглядаються в математиці, з точки зору логіки – предикати.

§ 3. 4. Квантори.

У математиці часто використовують вирази „для всіх”, „для кожного”, „яке б не було”, „існує”, „знайдеться хоча б одне”.

Для позначення цих виразів вживаються символи, які називаються кванторами: квантор загальності , який позначається , у звичайній мові йому відповідає вираз „для кожного”, „для всякого”, „для всіх”.

Нехай Р(х) – „Трикутник х прямокутний», то вираз ( х є Х) Р(х) читається:

1. Будь-який трикутник прямокутний

2. Кожний трикутник прямокутний

3. Всі трикутники прямокутні

Усі ці висловлення є хибними. Отже, в результаті квантифікації (приписуванні кватора) предикат перетворюється у висловлення. Цей квантор називається квантором загальності.

Розглянемо ще квантор існування, який позначається . У звичайній мові йому відповідає вираз: „існує”, „знайдеться хоча б одне”.

Нехай Р(х): „х > 5”

Вираз ( х є R) (х > 5) читається:

1. Існує дійсне число х таке, що х > 5

2. знайдеться таке дійсне число х, яке > 5

3. хоча б одне дійсне число > 5

В результаті квантифікація, навішування квантора на змінну предикат перетворився у висловлення.

Над предметами, так само, як і над множинами можна проводити операції кон’юнкцію, диз’юнкцію, заперечення, імплікацію і еквіваленцію.

§ 3. 5. Поняття про теореми.

Які б ми розділи математики не розглядали скрізь ми зустрічаємось з твердженнями, які називаємо теоремою.

Теорема – це математичне твердження, істинність якого з’ясовується доведенням (міркуванням).

Формулювання будь-якої теореми складається з двох частин: умови і висновку, який випливає з даної умови.

Розглянемо приклад. Теорема: „Якщо точка лежить на бісектрисі кута, то вона рівновіддалена від сторін цього кута”.

Якщо умову позначити через Р (х), то вона буде виражатися реченням: „Точка лежить на бісектрисі”, а висновок позначити через Q (х), то це буде речення „Точка рівновіддалена від сторін кута”. Як умова так і висновок є предикатами, які задані на множині Х всіх точок площини. Тому дану теорему можна записати у вигляді

( х є Х) (Р(х) Q (х))

Отже, в цій теоремі ми виділили такі три частини:

1. Умова теореми: предикат Р (х), заданий на множині Х усіх точок площини.

2. Висновок теореми: предикат Q (х), який заданий на множені Х

3. Пояснювальна частина х є Х: в ній описується множина об’єктів, про які йде мова в теоремі.

Умова і висновок не завжди є елементарними висловленнями, а можуть мати складну логічну структуру, найчастіше кон’юктивну або диз’юнктивну.

Наприклад:

1. Якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні або ділять його кути пополам, то цей паралелограм ромб.

( х є Х) (Р₁ (х) v Р₂ (х)) Q (х))

Р₁ (х) – діагоналі взаємно перпендикулярні

Р₂ (х) – діагоналі паралелограма ділять його кут пополам

Q (х) – цей паралелограм – ромб.

1. Теорема про середню лінію трапеції

„Якщо чотирикутник є трапеція, то пряма, яка з’єднує середини непаралельних сторін паралельна основі трапеції і рівна їх півсумі”

( х є Х) (Р (х) (Q₁ (х) Q₂ (х))

Р (х) – чотирикутник трапеція

Q₁ (х) – середня лінія паралельна основі трапеції

Q₂ (х) – середня лінія рівна півсумі основ

( х є Х) – для будь-якого чотирикутника.

Теорема може мати і ще складнішу форму, включаючи різнойменні квантори.

§ 3. 6. Види теорем.

Ще у школі ми зустрічалися з різними видами теорем: пряма, обернена, протилежна. Розглянемо їх з точки зору предикатів.

Теорема: „Якщо сума цифр числа ділится на 3, то і це число ділиться на 3”.

Вона зипишеться: ( х є N) (Р (х) Q(х))

х є N – теорема справедлива для всіх натуральних чисел.

Р (х) – умова теореми: „Сума цифр числа х : 3”.

Q(х) - висновок теореми: „Число х ділиться на 3 ”.

Будемо вважати, що це є пряма теорема.

Поміняємо місцями умову і висновок без зміни пояснювальної частини. Одержимо обернену теорему. Вона записується у формі предиката:

( х є N) (Q (х) Р (х))

Обернена теорема: „Якщо число ділиться на 3, то сума цифр цього числа ділиться на 3”.

Якщо в прямій теоремі умову і висновок замінити їх запереченням, то одержимо протилежну до прямої теореми, яка запишеться

( х є N) ( )

„Якщо сума цифр даного числа не ділится на 3, то й саме число не ділиться на 3”.

Якщо в оберненій теоремі умову і висновок замінити їх запереченнями, то одержимо теорему протилежну до оберненої.

( х є N) ( )

„Якщо число не ділиться на 3, то й сума цивр цього числа не ділиться на 3”.

В даному прикладі усі теореми істинні. Є багато прикладів, де істинність прямої теореми ще не означає істинність оберненої теореми чи протилежної теореми. Але не треба думати, що усі чотири теореми логічно незалежні і вимагають кожний раз окремого доведення.

Справедливі такі твердження:

1. Пряма теорема рівносильна теоремі, протилежній до оберненої

2. Обернена теорема рівносильна протилежній теоремі. Цю залежність можна зиписати:

( х є Х) (Р (х) Q(х) ( х є Х) ( )

( х є Х) (Q (х) Р (х) ( х є Х) ( )

§ 3. 7. Необхідні і достатні умови.

Необхідні і достатні умови є важливими і ними приходиться користуватися в математиці при доведенні теорем, при встановленні залежності між елементами геометричних фігур і алгебраїчних виразів та величин при розв’язанні задач.

Необхідною умовою правильності даного твердження називається умова при невиконанні якої це твердження не може бути вірним.

Приклади:

1. Подільність числа на 2 і 3 є необхідною умовою подільності на 12. Але це не достаня умова , бо є числа 18, 30. які діляться на 2 і 3, а на 12 не діляться.

2. Необхідною умовою рівності 2-х трикутників є рівність відповідних кутів цих трикутників.

3. Необхідною умовою подібності трикутніків є пропорційність відповідних сторін трикутників.

Необхідні умови формулюються переважно у вигляді протилежної або оберненої теореми:

( х є Х) (Q (х) Р (х))

( х є Х) ( )

Достатніми умовами правильності даного твердження називаються умови, при виконанні яких це твердження є вірним.

Приклади:

Достатньою умовою рівності трикутників є рівність їх відповідних сторін.

Достатні умови будуть тоді, коли ( х є Х) (Q (х) Р (х)) – істинна.

Бувають умови є одночасно необхідними і достатніми для правильності певногоь твердження. Це буде тоді, коли істинні і пряма і обернена теореми.

Приклади:

1. Подільність числа n на 2 і 3 є необхідною і достатньою умовою для подільності його на 6.

2. Якщо з двох доданків один ділиться на певне число, то для того, щоб їх сума ділилась на це число необхідно і достатньо, щоб другий доданок ділився на це число.

3. Для того, щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно і достатньо, щоб його діагоналі точкою перетину ділились навпіл.

Умови можуть бути достатніми, але не необхідними.

Подільність числа на 6 є достатньою умовою того, щоб число було парним. Але чи буде вона необхідною? Ні? Існують числа 2, 4, 8, 10, 14, … які не дівляться на 6, але є парні. Візьмемо твердження: „Якщо многокутник правильний, то навколо нього можна описати коло”. Це достатня, але не необхідна умова. Існують і неправильні многокутники, навколо яких можна описати коло.

Бувають умови необхідні, але не достатні.

Приклади:

1. Людина твердить: щоб відпочити у Криму необхідні гроші. Наявність грошей необхідна умова, але не достатня, томущо треба мати відпустку, білет на поїзд, путівку ш т.д.

2. Подільність числа n на 2 є необхідною умовою для подільності на число 6. Але чи достатньо подільність числа на 2, щоб воно при всіх обставинах ділилося на 6. Є числа 4, 8, 10, 14, які ділятся на два але не ділятся на 6.

Ми одержимо такий переклад термінів “необхідно” і “достатню” на логічну мову.

35

Характеристики

Список файлов курсовой работы