Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП , ЗАМКНУТЫЕ О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИНДЕКСОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-53 МОКЕЕВА О. А.

Научный руководитель:

доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.

Гомель 2009

Оглавление

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Введение

1 Некоторые базисные леммы

2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенно субнормальными -подгруппами, индексы которых взаимно просты, наследственно насыщенным формациям

Заключение

Список использованных источников

Перечень условных обозначений

Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].

--- множество всех натуральных чисел;

--- множество всех простых чисел;

--- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

--- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида .

Буквами обозначаются простые числа.

Пусть --- группа. Тогда:

--- порядок группы ;

--- множество всех простых делителей порядка группы ;

-группа --- группа , для которой ;

-группа --- группа , для которой ;

--- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

--- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

--- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

--- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

--- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

--- -холлова подгруппа группы ;

--- силовская -подгруппа группы ;

--- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова подгруппа группы ;

--- нильпотентная длина группы ;

--- -длина группы ;

--- минимальное число порождающих элементов группы ;

--- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;

--- циклическая группа порядка .

Если и --- подгруппы группы , то :

--- является подгруппой группы ;

--- является собственной подгруппой группы ;

--- является нормальной подгруппой группы ;

--- ядро подгруппы в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с в ;

--- нормальное замыкание подгруппы в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами группы ;

--- индекс подгруппы в группе ;

;

--- нормализатор подгруппы в группе ;

--- централизатор подгруппы в группе ;

--- взаимный коммутант подгрупп и ;

--- подгруппа, порожденная подгруппами и .

Минимальная нормальная подгруппа группы --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;

--- является максимальной подгруппой группы .

Если и --- подгруппы группы , то:

--- прямое произведение подгрупп и ;

--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;

--- и изоморфны;

--- регулярное сплетение подгрупп и .

Подгруппы и группы называются перестановочными, если .

Группу называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;

-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

разрешимой, если существует номер такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.

-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.

-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.

-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.

Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого ;

главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.

-группа --- группа, принадлежащая классу групп .

Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Если --- класс групп, то:

--- множество всех простых делителей порядков всех групп из ;

--- множество всех тех простых чисел , для которых ;

--- формация, порожденная классом ;

--- насыщенная формация, порожденная классом ;

--- класс всех групп , представимых в виде

где , ;

;

--- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ;

--- класс всех -групп из ;

--- класс всех конечных групп;

--- класс всех разрешимых конечных групп;

--- класс всех -групп;

--- класс всех разрешимых -групп;

--- класс всех разрешимых -групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .

Если и --- классы групп, то:

.

Если --- класс групп и --- группа, то:

--- пересечение всех нормальных подгрупп из таких, что ;

--- произведение всех нормальных -подгрупп группы .

Если и --- формации, то:

--- произведение формаций;

--- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы .

Если --- насыщенная формация, то:

--- существенная характеристика формации .

-абнормальной называется максимальная подгруппа группы , если

, где

--- некоторая непустая формация.

-гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы , если обладает субнормальным рядом таким, что

(1) каждый фактор является главным фактором группы ;

(2) если порядок фактора есть степень простого числа , то .

--- -гиперцентр группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .

Введение

Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим можно сформулировать следующую проблему.

Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации с тем свойством, что любая группа , где и --- -субнормальные -подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит .

Именно изучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы.

1 Некоторые базисные леммы

В данном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются при доказательстве основного раздела данной главы.

1.1 Лемма [18-A]. Пусть --- насыщенная формация, принадлежит и имеет нормальную силовскую -подгруппу для некоторого простого числа . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) , где --- любое дополнение к в .

Доказательство. Так как , то , а значит, . Так как и формация насыщенная, то не содержится в . Так как --- элементарная группа, то по теореме 2.2.16, обладает -допустимым дополнением в . Тогда , . Если , то отлична от и, значит, принадлежит . Но тогда, ввиду равенства , имеем

отсюда следует и . Тем самым доказано, что .

Докажем утверждение 2). Очевидно, что является -корадикалом и единственной минимальной нормальной подгруппой группы , причем . Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы