Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

рис.1. Диаграмма рассеивания

По формуле где

можно найти коэффициент корреляции:

Он не равен нулю, следовательно, зависимость между X и Y существует.

Построение прямой y=ax+b, наименее отклоняющейся от точек (X_i;Y_i)в среднем квадратичном

Для построения прямой y = ax + b, наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа a, b такие, что функция двух переменных принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:

.

Зная, что необходимым условием минимума функции является равенство нулю ее первых частных производных, имеем следующую систему для нахождения значений :

,

Данная система может быть представлена в виде:

,

где

В результате получим что:

Докажем теперь, что в точке функция имеет минимум. Достаточным условием существования экстремума функции двух переменных является следующее неравенство:

.

Для доказательства введем следующие обозначения:

Составим дискриминант . Тогда, если , то функция имеет в точке экстремум, а именно минимум при А>0 (или С>0). Из системы видно, что эти условия выполняются: = , С=200>0.

То есть точка действительно является точкой минимума.

Следовательно, функция при данных значениях имеет следующий график:

рис.2. График уравнения линейной регрессии

Построение кривой y=px²+qx+r, наименее отклоняющейся от точек (X_i;Y_i) в среднем квадратичном

Для построения кривой , наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа , и такие, что функция трех переменных принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:

Аналогично нахождению значений для прямой составляем систему трех линейных уравнений, которая является необходимым условием минимума функции:

Данная система является системой линейных однородных уравнений. Решая эту систему методом Крамера и зная, что:

составляем определители, состоящие из коэффициентов при и столбца свободных членов.

Значения находим делением соответствующих определителей.

= = =

Докажем теперь, что в точке функция имеет минимум. Достаточным условием существования минимума функции трех переменных является следующее неравенство:

d .

Получаем следующее уравнение:

Воспользуемся критерием Сильвестра, т.е. найдем миноры 1-ого, 2-ого и 3-ого порядков и докажем, что они положительные.

= =

Найдем миноры первого, второго и третьего порядков для этого определителя:

Так как все миноры положительны, то по критерию Сильвестра d , и функция имеет минимум в точке .

Таким образом, парабола имеет следующий график:

рис.3. График уравнения параболической регрессии

Анализ полученных результатов и вывод о зависимости X_i и Y_i

рис.4. Сравнение линейной и параболической регрессий

Для сравнения полученных результатов построения кривых и определим значения статистик:

Поскольку и , можно говорить о том, что зависимость между и близка и к линейной, и к квадратичной. При этом парабола меньше отклоняется от точек и , чем прямая

Вывод

Зависимость потребления бензина от количества автомобилей близка к линейной и к квадратичной. Однако видно, что разница между значениями статистик небольшая. Следовательно, с практической точки зрения удобнее приближать точки выборки и к прямой . Выявление зависимости между потреблением бензина и количеством автомобилей пригодится для понимания ситуации, которая складывается у нас на дорогах и влияет на природу, поскольку потребление бензина всегда сопровождается вредными выбросами.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа 1998.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике — М.: Высшая школа 1998.

3. Ивашев-Мусатов О. С. Теория вероятностей и математическая статистика — М.: Наука 1979.

4. Мазный Г.Л., Прогулова Т.Б. Методическое пособие к курсовому проектированию по ВМ и информатике. — Дубна: Кафедра ВМ и САУ, 1996.

Характеристики

Список файлов курсовой работы