85603 (612521), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В математике опубликовал ряд исследований по теории вероятностей, теории рядов и дифференциальным уравнениям. Он первый применил математический анализ к задачам теории вероятностей (1768), до этого использовались только комбинаторный подход. Бернулли продвинул также математическую статистику, рассмотрев с применением вероятностных методов ряд практически важных задач.

Даниил являлся Академиком и почетным иностранным членом Петербургской академии наук(1733), членом Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Лауреат многочисленных премий и призов в конкурсах.

Якоб II Бернулли

Якоб получил юридическое образование, но затем переключился на физику и математику. После неудачной попытки занять кафедру физики в Базеле, освободившуюся после смерти Даниила Бернулли (1782), Якоб уехал в Италию и поступил на дипломатическую службу. В 1786 году он переселился в Россию. Женился на внучке Эйлера. Служил в Академии наук и Кадетском корпусе. Погиб в возрасте 30 лет в результате несчастного случая при купании в Неве.

Якоб Бернулли успел опубликовать незаурядные работы по различным вопросам механики, теории упругости, гидростатики и баллистики: вращательному движению тела, укрепленного на растяжимой нити, течению воды в трубах, гидравлическим машинам. Вывел дифференциальное уравнение колебания пластин.

Математические объекты, названные в честь членов семьи

Дифференциальное уравнение вида:

с, n≠1, 0.

называется дифференциальным уравнением Бернулли (в честь Якоба).

Метод решения:

1. Делим левую и правую части на yⁿ

2. Выполняем замену

3. Решаем дифференциальное уравнение

Оно может быть решено с использованием интегрирующего множителя

Пример:

Делим на y²

Замена переменных

Умножаем на M(x),

Результат

Закон Бернулли

Закон Бернулли (в честь Даниила Бернулли) является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

ρ – плотность жидкости,

v – скорость потока,

h – высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

p – давление.

Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых – единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Для горизонтальной трубы h = 0 и уравнение Бернулли принимает вид:

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ρ:

Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового (ρgh), статического (p) и динамического ( ) давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров, водо- и пароструйных насосов.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела всегда в точности равна нулю.

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

где

p₀ – атмосферное давление,

h – высота столба жидкости в сосуде,

v – скорость истечения жидкости.

Отсюда: . Это – формула Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h.

Для сжимаемого идеального газа

(постоянна вдоль линии тока или линии вихря)

где

– адиабатическая постоянная газа

p – давление газа в точке

ρ – плотность газа в точке

v – скорость течения газа

g – ускорение свободного падения

h – высота относительно начала координат

При движении в неоднородном поле gz заменяется на потенциал гравитационного поля.

Термодинамика закона Бернулли

Выведем закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений.

1. Запишем Уравнение Эйлера:

φ – потенциал. Для силы тяжести φ=gz

2. Запишем выражение для энтальпии и предположим, что энтропия системы постоянна (или, можно сказать, что течение адиабатично):

dW = VdP + TdS

Пусть S = const и w – энтальпия единицы массы, тогда:

или

3. Воспользуемся следующими соотношениями из векторной алгебры:

– проекция градиента на некоторое направление равно производной по этому направлению.

4. Уравнение Эйлера с использованием соотношений выведенных выше:

Спроецируем это уравнение на единичный вектор касательный к линии тока, учитывая следующее:

– условие стационарности

– так как

Получаем:

То есть на линиях тока в стационарной адиабатической жидкости выполняется следующее соотношение:

Лемниската Бернулли

Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

• в прямоугольных координатах:

• в полярных координатах

Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

,

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства.

1. Лемниската – кривая четвёртого порядка.

2. Она имеет две оси симметрии: прямая, на которой лежит F₁F₂, и серединный перпендикуляр этого отрезка, в простейшем (данном) случае – ось OY.

3. Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.

4. Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

1. Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра (оси OY в данном случае) равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.

2. Касательные в двойной точке составляют с отрезком F₁F₂ углы .

3. Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

4. Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.

5. Для представления в полярных координатах, верно следующее

   1. Площадь полярного сектора , при :

   2. В частности, площадь каждой петли .

   3. Радиус кривизны лемнискаты есть

Построение лемнискаты

• с помощью трёх отрезков

Это один из наиболее простых и быстрых способов, однако требует наличия дополнительных приспособлений.

На плоскости выбираются две точки – A и B – будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба – C и D). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: AC=BD= , CD=AB. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

• при помощи секущих (способ Маклорена)

Строится окружность радиуса с центром в одном из фокусов. Из середины O фокусного отрезка строится произвольная секущая OPS (P и S – точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки OM₁ и OM₂, равные хорде PS. Точки M₁, M₂ лежат на разных петлях лемнискаты.

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли (названо в честь Иоганна) утверждает: если , то

Доказательство проводится методом математической индукции по n. При n = 0 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

, ч.т.д.

Примечания:

• Неравенство справедливо также для вещественных (при )

• Неравенство также справедливо для (при ), но указанное выше доказательство по индукции в случае не работает.

Распределение Бернулли

Распределение Бернулли (названо в честь Якоба) моделирует случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.

Характеристики

Список файлов курсовой работы