85542 (612510), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

совпадает с последовательностью коэффициентов частного, полученного от деления многочлена P (x) на многочлен

Q (x) = 1 - a₁x - . . . - a_kx^k . (21)

Пусть n – произвольное натуральное число, удовлетворяющее условию n > k + m – 2; умножим многочлен Q (x) на u₁ + u₂x + u₃x² + . . . +u_{n + 1}xⁿ . Получим:

(1 - a₁x – a₂x² - . . . - a_kx^k )( u₁ + u₂x + . . . + u_{k + m - 1}x^{k + m - 2} + . . . +u_{n + 1}xⁿ) = = [u₁ + (u₂ - a₁u₁)x + . . . +( u_{k + m – 1} - a₁u_{k + m – 2} - . . . - a_ku_{m – 1} )x^{k + m – 2}] +

+ [( u_{k + m} - a₁u_{k + m – 1} - . . . - a_ku_m )x^{k + m – 1} + . . . + ( u_{n + 1} - a₁u_n - . . . - a_ku_{n - k + 1} )xⁿ ] – - [(a₁u_{n + 1} + . . . + a_ku_{n - k + 2}) x^{n + 1} + . . . + a_ku_{n + 1} x^{n + k}]. (22)

Здесь в первой квадратной скобке находится многочлен степени не выше l = k + m – 2, коэффициенты которого не зависят от взятого числа n; обозначим его через P (x):

P (x) = u₁ + (u₂ - a₁u₁)x +

+ . . . +( u_{k + m – 1} - a₁u_{k + m – 2} - . . . - a_ku_{m – 1} )x^{k + m – 2} . (23)

В следующей квадратной скобке находится многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, в силу равенства (20). В последней квадратной скобке заключается многочлен, коэффициенты которого зависят от n; он не содержит членов степени ниже n + 1. Обозначая его через R_n (x), перепишем тождество (22) в виде

P (x) = (1 - a₁x – a₂x² - . . . - a_kx^k )( u₁ + u₂x + . . . +u_{n + 1}xⁿ) + R_n (x). (24)

Отсюда видно, что u₁ + u₂x + . . . +u_{n + 1}xⁿ представляет частное, а R_n (x) – остаток от деления P (x) на

Q (x) = 1 - a₁x – a₂x² - . . . - a_kx^k , то есть

u₁, u₂, . . . , u_n, u_{n + 1} , . . . ,

действительно является последовательностью коэффициентов частного, получаемого от деления многочлена (23) на (21).

В виде примера рассмотрим последовательность Фибоначчи:

u₁ = 1, u₂ = 1, u₃ = 2, u₄ = 3, u₅ = 5, u₆ = 8, u₇ = 13, . . . ,

Так как её члены удовлетворяют уравнению

u_n+2 = u_n+1 + u_n (n ≥ l),

то здесь m = 1, k = 2, a₁ = 1, a₂ = 1 и Q (x) = 1 – x – x² .

Многочлен P (x) должен иметь степень не выше k + m – 2 = 1. По формуле (23) получаем:

P (x) = 1 + (1 - 1•1)x = 1.

Итак, числа Фибоначчи совпадают с последовательностью коэффициентов частного от деления 1 на 1 – x – x² .

§3. Изучение и применение возвратных последовательностей в курсе средней школы

Один из вопросов, который приходится решать в курсе средней школы относительно арифметической и геометрической прогрессий, а также последовательности квадратов натуральных чисел, заключается в отыскании суммы n членов каждой их этих последовательностей. Пусть

u₁, u₂, u₃, . . . , u_n, . . . , (25)

- возвратная последовательность порядка k, члены которой удовлетворяют уравнению:

u_{n + k} == a₁u_{n +k – 1} + a₂u_{n + k – 2} + … + a_ku_n (n m). (26)

Рассмотрим новую последовательность, образованную суммами S_n чисел (25):

S₁ = u_1, S₂ = u₁ + u₂ , . . . , S_n = u₁ + u₂ + . . . + u_n, . . . , (27)

и покажем, что эта последовательность сумм является также возвратной, порядка k + 1, причём её члены удовлетворяют уравнению

S_{n + 1 + k} = (1 + a₁) S_{n + k} + (a₂ - a₁) S_{n + k - 1} + . . . + (a_k – a_{k - 1}) S_{n + 1} - a_kS_n . (28)

Заметим, что

u₁ = S₁, u₂ = S₂ - u₁ = S₂ – S₁, . . . , u_n = S_n – (u₁ +. . .+ u_{n - 1}) = S_n - S_{n – 1}, (29)

Полагая S₀ = 0 так, что u₁ = S₁ – S₀, и подставляя в уравнение (26) вместо u₁, u₂, u₃, . . . , u_n, . . . , их выражения через S₀, S₁, S₂, . . . , S_n, . . . , получим:

S_{n + k} - S_{n + k – 1} =a₁(S_{n + k – 1} - S_{n + k – 2})+ a₂(S_{n + k – 2} - S_{n + k – 3}) + ... + a_k(S_n - S_{n – 1}),

Откуда S_{n + k} = (1 + a₁) S_{n + k – 1} + (a₂ - a₁) S_{n + k - 2} + . . . + (a_k – a_{k - 1}) S_n - a_kS_{n – 1} (n ≥ m),

или, заменяя здесь n через n+1:

S_{n + k + 1} = (1 + a₁) S_{n + k} + (a₂ - a₁) S_{n + k - 1} + . . . + (a_k – a_{k - 1}) S_{n + 1} - a_kS_n (n ≥ m - 1).

Это – возвратное уравнение порядка k + 1.

Примеры:

1. Геометрическая прогрессия.

Здесь u_n = aq^n-1 и

S_n = u₁ + u₂ + . . . + u_n = a + aq + . . . + aq^n-1 .

Так как члены {u_n} удовлетворяют уравнению вида u_{n + 1} = q u_n , то члены {S_n} должны удовлетворять уравнению

S_n (1 + q) S_{n + 1} - q S_n . (30)

1. Последовательность квадратов натуральных чисел.

Здесь u_n = n² и S_n = 1 + 2² + . . . + n² .

Так как члены {u_n} удовлетворяют уравнению

u_{n + 3} = 3u_{n + 2} - 3u_{n + 1} + u_n ,

то члены {S_n} удовлетворяют уравнению вида

S_{n + 4} = 4S_{n + 3} - 6u_{n + 2} + 4S_{n + 1} - S_n .

1. Числа Фибоначчи.

Так как они удовлетворяют уравнению

u_n+2 = u_n+1 + u_n ,

то суммы их S_n должны удовлетворять уравнению

S_n+3 = 2S_n+2 - S_n .

§4. Формулы вычисления любого члена возвратной последовательности. Базис возвратного уравнения

В случае простейших возвратных последовательностей, например арифметической и геометрической прогрессий, последовательности квадратов или кубов натуральных чисел, а также периодической последовательности, можно находить любой член последовательности, не прибегая к вычислению предшествующих членов. Но в случае последовательности числе Фибоначчи или общей последовательности коэффициентов частного от деления двух многочленов, на первый взгляд это невозможно, и чтобы вычислить тринадцатое число Фибоначчи u₁₃ , нужно найти предварительно, один за другим, все предшествующие члены (пользуясь уравнением u_n+2 = u_n+1 + u_n):

u₁ = 1, u₂ = 1, u₃ = 2, u₄ = 3, u₅ = 5, u₆ = 8, u₇ = 13, u₈ = 21, u₉ = 34,

u₁₀ = 55, u₁₁ = 89, u₁₂ = 144, u₁₃ = 233.

В ходе детального исследования структуры членов возвратной последовательности можно получить формулы, позволяющие вычислить в самом общем случае любой член возвратной последовательности, не прибегая к вычислению предшествующих членов. Эти формулы можно рассматривать как далеко идущие обобщения формул для общего члена арифметической или геометрической прогрессий. Пусть

u_{n + k} == a₁u_{n +k – 1} + a₂u_{n + k – 2} + … + a_ku_n (31)

- возвратное уравнение порядка k. Если оно выполняется для всех натуральных значений n = 1, 2, 3, . . . , то, положив n = 1, получим:

u_{k + 1} == a₁u_k + a₂u_{k – 1} + … + a_ku₁ .

Теперь зная u₁, u₂, u₃, . . . , u_k можно вычислить u_{k + 1} . Полагая в уравнении (31) n = 2 найдём:

u_{k + 2} == a₁u_{k + 1} + a₂u_k + … + a_ku₂ .

Значит, уже известно и значение u_{k + 2} . Если m – какое-либо натуральное число, и уже вычислены члены последовательности u₁, u₂, u₃, . . . , u_k, u_{k + 1}, . . . , u_{m + k – 1}, то, полагая в уравнении (31) n = m, найдём из него следующий член u_{m + k}.

Итак, члены возвратной последовательности порядка k, удовлетворяющей уравнению (31), определяются единственным образом с помощью этого уравнения, если известны первые k членов последовательности: u₁, u₂, u₃, . . . , u_k.

Выбирая их различными способами можно получить бесконечное множество различных последовательностей, удовлетворяющих уравнению (31). Их различие между собой будет проявляться уже в первых k членах и будет обнаруживаться также в дальнейших членах.

Так, например, уравнению первого порядка

u_{n + 1} = qu_n

удовлетворяют всевозможные геометрические прогрессии со знаменателем q (они различаются друг от друга значениями первого члена u₁).

Пусть имеем некоторое количество последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же уравнению (31):

x ₁, x₂, . . . , x_n, . . . ,

y₁, y₂, . . . , y_n, . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . (32)

z₁, z₂, . . . , z_n, . . . ,

Тогда выполняется уравнение:

x _{n + k} == a₁x_{n +k – 1} + a₂x_{n + k – 2} + … + a_kx_n ,

y_{n + k} == a₁y_{n +k – 1} + a₂y_{n + k – 2} + … + a_ky_n ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (33)

z_{n + k} == a₁z_{n +k – 1} + a₂z_{n + k – 2} + … + a_kz_n ,

Возьмём произвольные числа A, B, . . . , C, по числу последовательностей (32), умножим все члены первого из уравнений на А, второго на В, . . . , последнего на С и сложим . Тогда получится равенство:

А x_{n + k} + В y_{n + k} + . . . + С z_{n + k} =

= a₁(Аx_{n +k – 1} + Вy_{n +k – 1} + . . . + Cz_{n +k – 1}) +

+a₂(Аx_{n +k – 2} + Вy_{n +k – 2} + . . . + Cz_{n +k – 2}) + ... + a_k(Аx_n + Вy_n + ... + Cz_n).(34)

Из него следует, что последовательность

t ₁ = Аx₁ + Вy₁ + . . . + Cz₁,

t₂ = Аx₂ + Вy₂ + . . . + Cz₂,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (35)

t_n = Аx_n + Вy_n + . . . + Cz_n,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Получающаяся из последовательностей (32) путём умножения всех членов первой из них на А, второй на В, . . . , последней на С и затем почленного сложения последовательностей, удовлетворяет уравнению (31). Изменяя A, B, . . . , C, можно получить различные значения членов t₁, t₂, t₃, ...

Пусть

u₁, u₂, u₃, . . . , u_n, . . . , (36)

Характеристики

Список файлов курсовой работы