85104 (612465), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

.

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а4 (х + 1) = х – 1 а4 х + а4 = х – 1

х( 1 - а4 ) = а4 + 1.

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то .

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть .

Выясним, при каких значениях параметра а, это неравенство истинно:

,

.

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то есть при а < 1.

Итак, при 0 < a 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.

Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;

при а > 1 решений нет;

при 0 < a < 1 .

Замечание: Тригонометрические уравнения, содержащие параметр, не рассматриваем, то есть, не рассматриваем методы решения уравнений такого вида, так как существует большое количество специфических методов решения, именно, тригонометрических уравнений, содержащих параметр. Для этих методов существует большое количество материала, исследование которого может рассматриваться, как отдельная тема.

Основные методы решения уравнений, содержащих параметр

Аналитический метод

Поиск решений уравнений, содержащих параметр. Метод «ветвления»

В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой – он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолевать ученикам.

Именно этот факт и позволяет нам решать уравнения с параметром таким методом («ветвления») (см. [5], [6], [10], [13]).

Пример. Решить уравнение .

Решение. Пусть . Тогда

Переходим к равносильной системе

Очевидно, при уравнение системы не имеет решения.

Если , то тогда

Следовательно, нужно проверить условия и

. То есть

решая из системы первое неравенство, получаем что .

Решением второго есть . Решением системы будет пересечение интервалов, а, именно,

.

Ответ. Если , то

;

при остальных значениях параметра a уравнение решений не имеет.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Имеем .

Достаточно рассмотреть три случая:

.

.

.

Делая замену , получаем, что

или

. То есть

или

. Проверим, являются ли найденные значения переменной корнями. Подставляя значения переменной в уравнение, получаем, что

не подходит, тогда корнями являются значения

.

3.

Делая замену , получаем

или

. Аналогично, как и при

, проверкой устанавливаем, что только

и

не являются корнями. Тогда

является корнем. Итак,

Ответ. При ,

;

при ;

при ,

.

Параметр и количество решений уравнений, содержащих параметр

Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладывается какие-либо ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки:

«При каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два решения, бесконечно много, ни одного»;

Решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество множества действительных чисел и другие (см. [5]).

Пример. В зависимости от значения параметра найти число корней уравнения

Решение. Наличие сложного корня наводит на мысль выделения квадрата двучлена под внешним корнем.

Итак, мы вплотную подошли к задаче рассмотрения различных случаев параметра .

Если , то уравнение не имеет решения.

Если , то рассмотрим

. Если

, то

. При условии

, и очевидно это уравнение имеет только один корень.

Ответ. При – одно решение,

при – решений нет.

Пример. При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение?

Решение. Уравнение переписываем в равносильную систему

Решением неравенства является объединение промежутков . Уравнение системы имеет один корень когда

.

, то есть при

.

Теперь проверим, принадлежит ли корень нашим интервалам: .Тогда

Ответ. При уравнение имеет единственное решение.

Пример. При каких значениях параметра уравнение

.

имеет единственное решение?

Решение. Запишем равносильное уравнение.

.

Теперь перейдем к следствию . Откуда

,

. Возникла ситуация, которая дает нам возможность воспользоваться механизмом отсеивания корней.

Область определения исходного уравнения найдем из условий

Очевидно, и

удовлетворяют первым двум условиям. Тогда для единственности решения достаточно потребовать

Найдем решение первой системы, преобразуем ее.

Имеем, что решением первой системы является объединение интервалов .

Вторая система решения не имеет.

Ответ. .

Параметр и свойства решений уравнений, содержащих параметр

В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых условие требует, чтобы ответ был каким-либо наперед заданным подмножеством или идут ограничения на множество значений переменной (см. [5], [12], [13]).

Пример. При каких значениях параметра оба корня уравнения

больше 3?

Решение. Корнями данного уравнения будут

Для условия необходимо выполнение системы

Первое неравенство системы и второе будут иметь общие точки только в том случае если выражение под корнем равно нулю.

Решим уравнение .

Ответ. Ни при каких значениях параметра оба корня данного уравнения не могут быть больше 3.

Параметр как равноправная переменная

Во всех разобранных задач параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем равноправная с другими. Подобная интерпретация, естественно, формирует еще один тип (а точнее метод решения) задач с параметрами (см. [5]).

Пример. Указать все значения параметра , для которых уравнение

имеет решение?

Решение. Обозначим . Исходное уравнение

, с учетом

, равносильно системе

Рассмотрим квадратное уравнение, относительно параметра

. Найдем дискриминант рассматриваемого уравнения

.

, так как

и

, то

. Поэтому последняя система равносильна

Рассмотрим функцию . Вершина параболы – есть точка с координатами

. Минимум функции есть значение ординаты вершины параболы. Поэтому можем утверждать, что параметр

принимает значения в отрезке

на отрезке

.

Ответ.

Замечание: другой способ решения будет рассмотрен позднее (см. пункт 4.2.4).

Пример. Решить уравнение .

Важно показать при изучении параметров связь параметра с конкретными значениями и эта задача показывает эту связь. Цель этой задачи в том, чтобы показать что задачи, не содержащие параметр, можно решать и способами решения уравнений, содержащих параметр. Решение этого уравнения показывает, что исследования различных решений с параметрами позволяет решать задачи более простыми методами.

Решение. Это уравнение равносильно системе

Представим уравнение системы в виде квадратного уравнения относительно числа 5.

Откуда, учитывая , получаем

Ответ. .

Методы поиска необходимых условий. Использование симметрии аналитических выражений

В тех случаях, когда непосредственный поиск значений переменной затруднен, можно сначала выделить необходимые условия, а затем от необходимых условий перейти к достаточным условиям.

Будем называть задачи, решаемые таким методом, задачами с поиском необходимых условий.

Необходимые условия задач этого пункта:

В каждой задаче обязательно фигурирует аналитическое выражение, геометрический образ которого имеет ось или плоскость симметрии.

Во всех задачах в той или иной форме присутствует требование единственности решения.

Если описываемые задачи имеют решением координаты точки М, то найдется симметричная точка М1, координаты которой тоже являются решением, тогда точка М должна лежать (в силу единственности решения) на оси симметрии, но заметим, что это требование не является достаточным.

Высказанные соображения и составляют основу одного из метода поиска необходимых условий, о котором будет идти речь в следующих задачах (см. [1], [5], [12]).

Пример. При каких уравнение

имеет одно решение.

Решение. При замене на

(и наоборот) уравнение не меняет смысла, поэтому если точка с координатами

– решение то и

– решение. А так как в условии необходимо единственность решения, то

.

Тогда . Так как

, то

, что возможно только для случая равенства и при

. Тогда получаем

. Откуда находим два корня уравнения, а в силу единственности, дискриминант приравниваем к нулю и получаем

.

Ответ. При уравнение имеет одно решение.

«Каркас» квадратичной функции. Дискриминант, старший коэффициент.

Фактически все важные свойства квадратичной функции определяются таблицей. Где – конструируют «каркас», на котором строится теория квадратичной функции (см. [1], [2], [5], [7], [8], [18], [21], [22])

X₀

Характеристики

Список файлов курсовой работы