85002 (612456), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

должен переходить в

a_k^k

а этим определяется изоморфизм.

В частности, если — сепарабельный элемент, то m = n и, следовательно, число изоморфизмов над основным полем равно степени расширения.

Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все рассматриваемые поля, в котором содержатся все корни каждого уравнения f(x) = 0 (как, например, в поле комплексных чисел), то в качестве можно раз и навсегда взять это поле и поэтому отбросить добавление «внутри некоторого » во всех предложениях об изоморфизмах. Так всегда поступают в теории числовых полей. Позднее мы увидим, что и для абстрактных полей можно построить такое поле .

Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение:

Если расширение получается из последовательным присоединением m

алгебраических элементов ₁, ..., _m, причем каждое из _i,- является корнем

неразложимого над (₁, ..., _i-1) уравнения редуцированной степени n'_i, то

_m

расширение имеет ровно n_i изоморфизмов над и ни в одном

¹

расширении нет большего числа таких изоморфизмов поля .

Доказательство. Для m = 1 теорема уже была доказана выше. Предположим ее справедливой для расширения ₁ = (₁, ..., _m-1): в некотором подходящем расширении

_m-1

₁ есть ровно n_i изоморфизмов поля над .

¹ _m-1

Пусть ₁₁— один из этих n_i изоморфизмов. Утверждается, что в подходящим образом выбранном поле он может быть продолжен до изоморфизма = ₁ (_m) = (_m) не более чем n_m способами.

Элемент _m удовлетворяет некоторому уравнению f₁(x) = 0 над ₁ с n_m различными корнями. С помощью изоморфизма ₁₁многочлен f₁(x) переводится в некоторый многочлен f₁(x). Но тогда f₁(x) в подходящем расширении имеет опять-таки n_m различных корней и не больше. Пусть _m— один из этих корней. В силу выбора элемента _m изоморфизм ₁₁ продолжается до изоморфизма (_m) (_m) с _mm одним и только одним способом: действительно, это продолжение задается формулой

c_km^k c_km^k

Так как выбор элемента _m может быть осуществлен n'_m способами, существует n'_m продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма ₁₁

Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран

_m-1

n'_i способами,

¹

то всего существует (в том поле , в котором содержатся все корни всех рассматриваемых уравнений)

_{m-1 m}

n'_in'_m = n'_i

^{1 1}

изоморфизмов расширения над полем , что и требовалось доказать.

Если n_i — полная (нередуцированная) степень элемента _i над (₁,...,_i-1), то n_i равно степени расширения (₁, ... , _i) поля (₁, ... , _i-1);

следовательно, степень ( : ) равна

_m

n'_i .

¹

Если сравнить это число с числом изоморфизмов

_m

n'_i .

¹

то получится следующее предложение:

Число изоморфизмов расширения = (₁, ... , _m) над (в некотором подходящем расширении ) равно степени ( : ) тогда и только тогда, когда каждый элемент _i сепарабелен над полем (₁, ... , _i-1). Если же хотя бы один элемент _i несепарабелен над соответствующим полем, то число изоморфизмов меньше степени расширения.

Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде всего теорема утверждает, что свойство каждого элемента _i быть сепарабельным над предыдущим полем есть свойство самого расширения независимо от выбора порождающих элементов _i. Так как произвольный элемент поля может быть взят в качестве первого порождающего, элемент оказывается сепарабельным, если все _i являются таковыми. Итак:

Если к полю последовательно присоединяются элементы _i, ... ,_n и каждый элемент _i оказывается сепарабельным над полем, полученным присоединением предыдущих элементов _{1, 2} ,…,_i-1 то расширение

= (₁, ... ,_n)

сепарабельно над .

В частности, сумма, разность, произведение и частное сепарабедьных элементов сепарабельны.

Далее, если сепарабелен над , а поле сепарабельно над , то элемент сепарабелен над . Это объясняется тем, что удовлетворяет некоторому уравнению с конечным числом коэффициентов ₁, ... ,_m из и, следовательно, сепарабелен над (₁, ... ,_m). Тем самым сепарабельно и расширение

(₁,..., _m, ).

Наконец, имеет место следующее предложение: числа изоморфизмов конечного сепарабельного расширения над полем равно степени расширения ( : ).

4. Бесконечные расширения полей.

Каждое поле получается из своего простого подполя с помощью конечного или бесконечного расширения. В этой главе рассматриваются бесконечные расширения полей, сначала алгебраические, а затем — трансцендентные.

4.1. Алгебраически замкнутые поля

Среди алгебраических расширений заданного поля важную роль играют, конечно, максимальные алгебраические расширения, т. е. такие, которые не допускают дальнейшего алгебраического расширения. Существование таких расширений будет доказано в настоящем параграфе.

Чтобы поле было максимальным алгебраическим расширением, необходимо следующее условие: каждый многочлен кольца [x] полностью разлагается на линейные множители. Это условие является и достаточным. Действительно, если каждый многочлен в [x] разлагается на линейные множители, то все простые многочлены в [x] линейны и каждый элемент любого алгебраического расширения ' поля оказывается корнем некоторого линейного многочлена x — a в [x], т. е. совпадает с некоторым элементом a поля .

Поэтому дадим следующее определение:

Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен в [x] разлагается на линейные множители.

Равнозначное с этим определение таково: поле , алгебраически замкнуто, если каждый отличный от константы многочлен из [x] обладает в хоть одним корнем, т. е. хоть одним линейным множителем в [x].

Действительно, если такое условие выполнено и произвольно взятый многочлен f(x) разлагается на неразложимые множители, то все они должны быть линейными.

«Основная теорема алгебры» утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Следующим примером алгебраически замкнутого поля может служить поле всех комплексных алгебраических чисел, т. е. множество тех комплексных чисел, которые удовлетворяют какому-либо уравнению с рациональными коэффициентами. Комплексные корни уравнения с алгебраическими коэффициентами являются и в самом деле алгебраическими не только над полем алгебраических чисел, но и над полем рациональных чисел, т. е. сами являются алгебраическими числами.

Здесь мы покажем, как построить алгебраически замкнутое расширение произвольно заданного поля P и притом чисто алгебраическим путем. Штейницу принадлежит следующая

Основная теорема. Для каждого поля P существует алгебраически замкнутое алгебраическое расширение . С точностью до эквивалентности это расширение определено однозначно: любые два алгебраически замкнутых алгебраических расширения , ' поля P эквивалентны.

Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько лемм:

Лемма 1. Пусть , — алгебраическое расширение поля Р. Достаточным условием для того, чтобы было алгебраически замкнутым, является разложение на линейные множители любого многочлена из P[x] в кольце [x].

Доказательство. Пусть f(x) — произвольный многочлен из [x]. Если он не разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый его корень и прийти к собственному надполю '. Элемент является алгебраическим над , а является алгебраическим расширением поля P; следовательно, элемент алгебраичен и над Р. Поэтому он является корнем некоторого многочлена g(x) из P[x]. Этот многочлен разлагается в [x] на линейные множители. Следовательно, —корень некоторого линейного множителя в [x], т. е. принадлежит полю , что противоречит предположению.

Лемма 2. Если поле P вполне упорядочено, то кольцо многочленов P[x] может быть вполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле P будет отрезком.

Доказательство. Определим отношение порядка между многочленами f(x) из P[x] следующим образом: пусть f(x)

1) степень f(x) меньше степени g(x);

2) степень f(x) равна степени g(x) и равна n, т. е.

f(x) = а₀хⁿ + ...+ а_n , g (x) = b₀хⁿ + ... + b_n

и при некотором индексе k :

а_i = b_i для i

a_kk, в смысле упорядочения поля Р.

При этом для многочлена 0 делается исключение: ему присваивается степень 0. Очевидно, что таким способом получается некоторое упорядочение, в смысле которого P[x] вполне упорядочено. Показывается это так: в каждом непустом множестве многочленов есть непустое подмножество многочленов наименьшей степени; пусть таковая равна п. В этом подмножестве есть непустое подмножество многочленов, коэффициент а₀ которых является первым в смысле имеющегося порядка среди свободных членов рассматриваемых многочленов; в указанном подмножестве есть в свою очередь подмножество многочленов с первым а₁ и т. д. Подмножество с первым а_n которое в конце концов получится, может состоять лишь из одного-единственного многочлена (так как а₀, ..., а_n определяются однозначно благодаря последовательно выполняемому условию минимальности в выборе); этот многочлен является первым элементом в заданном множестве.

Лемма 3. Если поле P вполне упорядочено и заданы многочлен f(x) степени n и n символов ₁ ..., _n то поле P (₁ ,..., _n), в котором f(x) полностью разлагается на линейные множители

_n

(x-_i), строится единственным образом и является вполне

¹

упорядоченным. Поле P в смысле этого порядка является отрезком.

Доказательство. Мы будем присоединять корни ₁ ..., _n последовательно, вследствие чего из P = Р₀ последовательно будут возникать поля Р₁, ..., Р_n. Предположим, что Р_i-1 = P(₁ ..., _i-1) — уже построенное поле и что P — отрезок в Р_i-1; тогда Р_i будет строиться так.

Прежде всего в силу леммы 2 кольцо многочленов Р_i-1 [x] вполне упорядочивается. Многочлен f разлагается в этом кольце на неразложимые множители, среди которых на первом месте будут стоять x - ₁,..., x - _i-1; среди остальных множителей пусть f_i(x) будет первым в смысле имеющегося порядка. Вместе с символом _i обозначающим корень многочлена f_i(x), мы определяем поле Р_i = P_i-1 как совокупность всех сумм

_h-1

c_i

⁰

где h —степень многочлена f_i(x). Если f_i(x) линеен, то, конечно, мы полагаем Р_i = P_i-1; символ _i в этом случае не нужен. Построенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего условия: каждому элементу поля

_h-1

c_i

⁰

сопоставим многочлен

_h-1

cx_i

⁰

и элементы поля упорядочим точно так же, как упорядочены соответствующие им многочлены.

Очевидно, тогда Р_i-1 является отрезком в Р_i, а потому и P — отрезок в Р_i.

Тем самым поля Р₁ ,..., Р_n построены н вполне упорядочены. Поле Р_n является искомым однозначно определенным полем P(₁ ,..., _n).

Лемма 4. Если в упорядоченном множестве полей каждое предшествующее поле является подполем последующего, то объединение этих полей является полем.

Доказательство. Для любых двух элементов , объединения существуют два поля , , которые содержат , и и из которых одно предшествует другому. В объемлющем поле определены элементы + и и именно так определяются эти элементы в каждом из полей, содержащих и , потому что из любых двух таких полей одно предшествует другому и является его подполем. Например, чтобы доказать закон ассоциативности

• = • ,

найдем среди полей , , то, которое содержит два других поля (наибольшее); в этом поле содержатся , и и в нем закон ассоциативности выполнен. Тем же способом проверяются все остальные правила вычислений с элементами объединения.

Доказательство основной теоремы распадается на две части: построение поля и доказательство единственности.

Построение поля .. Лемма 1 свидетельствует о том, что для построения алгебраически замкнутого расширения поля P достаточно построить такое алгебраическое расширение поля Р, чтобы каждый многочлен из Р[x] разлагался над этим расширением на линейные множители.

Будем считать, что поле Р, а потому и кольцо многочленов P[x], вполне упорядочены. Каждому многочлену f(x) сопоставим столько новых символов ₁ ,..., _n какова его степень.

Далее, каждому многочлену f(x) сопоставим два вполне упорядоченных поля Р_f, _f, которые определяются следующим рекуррентным способом.

1. Поле Р_f является объединением поля Р и всех полей _g для g

2. Поле Р_f вполне упорядочивается так, чтобы Р и все поля _g при gf

3. Поле _f получается из Р_f присоединением всех корней многочлена f с помощью символов ₁ ,..., _n в соответствии с леммой 3.

Нужно доказать, что таким способом действительно однозначно определяются вполне упорядоченные поля Р_f , _f, если только уже определены все предыдущие Р_g, _g перечисленным выше требованиям.

Если выполнено требование 3, то прежде всего Р_f— отрезок в _f. Из этого и из требования 2 следует, что поле Р и каждое поле _g (gf. Предположим, что рассматриваемые требования выполнены для всех предыдущих индексов f, так что

Р — отрезок в _h при h

_g — отрезок в _h при g

Отсюда следует, что поле Р и поля _h (hf. Структура вполне упорядоченного поля на Р_f однозначно определяется требованием 2, потому что любые два элемента а, b из Р_f, принадлежат одному из полей Р или _g и поэтому связаны отношением ab, которое должно сохраняться в Р_f. Эго отношение порядка является одним и тем же во всех полях Р или _g, которые содержат как а, так и b, потому что все эти поля являются отрезками друг друга. Итак, отношение порядка определено. То, что оно определяет вполне упорядоченное множество, очевидно, так как каждое непустое множество в Р_f содержит по меньшей мере один элемент из Р или из некоторого поля _g, а потому и первый элемент из Р или из _g. Этот элемент одновременно является и первым элементом в .

Таким образом, поле Р_f вполне упорядочивается с помощью требовании 1 и 2. Так как поле _f, однозначно определяется требованием 3, поля Р_f и _f построены.

В силу условия 3 многочлен f(x) полностью разлагается на линейные множители в поле _f. Далее, с помощью трансфинитной индукции показывается, что _f является алгебраическим над Р. Действительно, предположим, что все поля _g (gf, алгебраическое. Далее, поле _f в силу условия 3 алгебраично над Р_f, а потому алгебраично и над Р.

Составим теперь объединение всех полей _f ; согласно лемме 4 оно является полем. Это поле алгебраично над Р и над ним разлагаются все многочлены f (так как каждый многочлен f разлагается уже над _f). Следовательно, поле алгебраически замкнуто (лемма 1).

Единственность поля . Пусть и '— два поля, являющиеся алгебраическими и алгебраически замкнутыми расширениями поля Р. Докажем эквивалентность этих полей. Для этого будем считать, что оба поля вполне упорядочены. Построим для каждого отрезка из (само поле также считается одним из таких отрезков) подмножество в ' и некоторый изоморфизм

P() Р().

Последний должен удовлетворять следующим рекуррентным соотношениям.

1. Изоморфизм P() Р() должен оставлять каждый элемент поля Р на месте.

2. Изоморфизм P() Р() при должен быть продолжением изоморфизма Р() Р(').

3. Если обладает последним элементом a, так что = {a}, и если а — корень неразложимого в Р () многочлена f(x), то элемент а' должен быть первым корнем соответствующего в силу Р() Р('), многочлена f(x) во вполне упорядоченном поле '.

Нужно показать, что этими тремя требованиями действительно определяется изоморфизм P() Р(), если только он уже определен для всех предыдущих отрезков . Здесь необходимо различать два случая.

Первый случай. Множество не имеет последнего элемента. Тогда каждый элемент а принадлежит некоторому предыдущему отрезку ; поэтому является объединением отрезков , а потому Р() — объединением полей Р() для . Так как каждый из изоморфизмов Р() Р(') является продолжением всех предыдущих, то каждому элементу при всех этих изоморфизмах сопоставляется лишь один элемент '. Поэтому существует одно и только одно отображение P() → Р(), продолжающее все предыдущие изоморфизмы Р()→ Р('), а именно —отображение '. Очевидно, оно является изоморфизмом и удовлетворяет требованиям 1 и 2.

Второй случай. Множество имеет последний элемент а; следовательно, ={а}. Вследствие требования 3 элемент а', сопоставляемый элементу а, однозначно определен. Так как а' над полем Р(') (в смысле рассматриваемого изоморфизма) удовлетворяет «тому же» неразложимому уравнению, что и а над Р(), то изоморфизм Р()→Р(') (и в том случае, когда пусто, т. е. тождественный изоморфизм РР) продолжается до изоморфизма Р(, a) Р(', a), при котором а переходит в а'. Каждым из приведенных выше требований этот изоморфизм определен однозначно, потому что каждая рациональная функция (а) с коэффициентами из обязательно переходит в функцию '(а') с соответствующими коэффициентами из '. То, что так определенный изоморфизм P() Р() удовлетворяет требованиям 1 и 2, очевидно.

Тем самым построение изоморфизма P()→Р() завершено. Обозначим через " объединение всех полей Р(); тогда существует изоморфизм Р()" или ", оставляющий на месте каждый элемент поля Р. Так как поле алгебраически замкнуто, таким же должно быть и ", а потому " совпадает со всем полем . Отсюда следует эквивалентность полей и .

Значение алгебраически замкнутого расширения данного поля состоит в том, что с точностью до эквивалентности оно содержит все возможные алгебраические расширения этого поля. Точнее:

Если — алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля Р и — произвольное алгебраическое расширение поля Р, то внутри существует расширение ₀, эквивалентное расширению .

Доказательство. Продолжим до некоторого алгебраически замкнутого алгебраического расширения '. Оно будет алгебраическим и над Р, а потому эквивалентным расширению . При каком-то изоморфизме, переводящем ' в и сохраняющем неподвижным каждый элемент из Р, поле переходит в некоторое эквивалентное ему подполе ₀ в .

4.2. Простые трансцендентные расширения.

Каждое простое трансцендентное расширение поля , как мы знаем, эквивалентно полю частных (x) кольца многочленов [x]. Поэтому мы изучим это поле частных

= (x).

Элементами поля служат рациональные функции

= f(x)/g(x).

Это представление можно считать несократимым (f и g взаимно просты). Наибольшая из степеней многочленов f(x) и g(х) называется степенью функции .

Теорема. Каждый отличный от константы элемент степени п трансцендентен над и поле (x) — алгебраическое расширение поля () степени п.

Доказательство. Представление = f(х)/g(х) будем считать несократимым. Тогда элемент х удовлетворяет уравнению

g(x) - f(x)=0

с коэффициентами из (). Эти коэффициенты не могут быть все равны нулю. Действительно, если бы все они равнялись нулю и a_k был бы при той же степени х любым ненулевым коэффициентом многочлена g(x), а b_k — ненулевым коэффициентом многочлена f(x), то должно было бы иметь место равенство

a_k - b_k = 0

откуда = b_k/a_k = const, что противоречит предположению. Следовательно, элемент х алгебраичен над ().

Если бы элемент был алгебраическим над , то и х был бы алгебраическим над , что, однако, не так. Следовательно, элемент трансцендентен над .

Элемент х является корнем многочлена степени n

g(z) - f(z)

в кольце ()(z). Этот многочлен неразложим в ()[z], потому что иначе он был бы разложим п в кольце [, z], и, так как он линеен по , один из множителей должен был бы зависеть не от , а лишь от z. Но такого множителя не может быть, потому что g(z) и f(z) взаимно просты.

Следовательно, элемент х является алгебраическим степени п над полем (). Отсюда следует утверждение о том, что ((x) : ()) = n

Для дальнейшего отметим, что многочлен

g(z) - f(z)

не имеет множителей, зависящих только от z (т. е. лежащих в [z]). Это утверждение остается верным, когда заменяется своим значением f(х)/g(х) и умножается на знаменатель g(х) тем самым многочлен

g(z)f(x) - f(z)g(x)

кольца [x, z] не имеет множителей, зависящих только от z.

Из доказанной теоремы вытекают три следствия.

1. Степень функции — f(х)/g(х) зависит лишь от полей () и (x), а не от того или иного выбора порождающего элемента х.

2. Равенство Д () = (х) имеет место тогда и только тогда, когда имеет степень 1, т. е. является дробно-линейной функцией. Это означает: порождающим элементом поля, кроме элемента х, может служить любая дробно-линейная функция от x и только такая функция.

3. Любой автоморфизм поля (х), оставляющий на месте каждый элемент поля , должен переводить элемент x в какой-либо порождающий элемент поля. Обратно, если х переводится в какой-либо порождающий элемент х = (ax+b)/(cx+d) и каждая функция (х) — в функцию (х), то получается автоморфизм, при котором все элементы из остаются на месте. Следовательно,

Все автоморфизмы поля (x) над полем являются дробно-линейными подстановками

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc 0.

Важной для некоторых геометрических исследований является

Теорема Люрота. Каждое промежуточное поле , для которого (x), является простым трансцендентным расширением: = ().

Доказательство. Элемент х должен быть алгебраическим над , потому что если — любой элемент из не принадлежащий полю , то, как было показано, элемент х является алгебраическим над () и тем более алгебраическим над . Пусть неразложимый в кольце многочленов [z] многочлен со старшим коэффициентом 1 и корнем x имеет вид

f₀(z) = zⁿ+a₁z^n-1+…+a_n. (1)

Выясним строение этого многочлена.

Элементы a_i являются рациональными функциями от x. С помощью умножения на общий знаменатель их можно сделать целыми рациональными функциями и, кроме того, получить многочлен относительно x с содержанием 1:

f( x, z) =b₀(x)zⁿ+b₁ (x)z^n-1+…+b_n(x).

Степень этого многочлена по х обозначим через т, а по z — через п.

Коэффициенты a_i = b_i / b₀ из (1) не могут все быть независимыми от х, так как иначе х оказался бы алгебраическим элементом над ; поэтому один из них, скажем,

= a_i = b_i(x)/ b₀(x),

должен фактически зависеть от х; запишем его в несократимом виде:

= g(x)/h(x)

Степени многочленов g(х) и h(х) не превосходят т. Многочлен

g(z) - h(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(не являющийся тождественным нулем) имеет корень z = x, а потому он делится на f ₀(z) в кольце [z]. Если перейти от этих рациональных по х многочленов к целым по х многочленам с содержанием 1, то отношение делимости сохранится, и мы получим

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Левая часть в этом равенстве имеет степень по х, не превосходящую т. Но справа уже многочлен f имеет степень т; следовательно, степень левой части в точности равна т и q(х, z) не зависит от х. Однако зависящий лишь от z множитель не может делить левую часть (см. выше); поэтому q(х, z) является константой:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Так как присутствие константы q роли не играет, строение многочлена f(х, z) описано полностью. Степень многочлена f(х, z) по х равна т следовательно (по соображениям симметрии), и степень по z равна т, так что m = п. По меньшей мере одна из степеней многочленов g(x) и h(х) должна фактически достигать значения m, следовательно, и функция должна иметь степень т по х.

Тем самым, так как с одной стороны установлено равенство

((х):()) = т,

а с другой — равенство

((x):) = m;

то, поскольку содержит (),

(: ()) =1,

= ().

Заключение.

В данной курсовой работе рассмотрены основные алгебраические расширения полей, во-первых, ввиду той фундаментальной роли, которую поля играют в современной математике, во-вторых, ввиду относительной простоты этого понятия.

В курсовой работе были рассмотрены следующие виды расширений числового поля P:

Простое алгебраическое расширение поля.

Составное алгебраическое расширение поля.

Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Бесконечные расширения полей.

Анализируя работу можно сделать некоторые выводы.

Из рассмотренных в первых двух частях расширений, таких как:

простые алгебраические расширения;

конечные расширения;

составные алгебраические расширения.

Следует, что все эти виды расширений совпадают и, в частности, исчерпываются простыми алгебраическими расширениями поля P.

Список литературы

1. Л.Я. Куликов. Алгебра и теория чисел.— М.: Высш. Школа,1979.—528-538с.

2. Б.Л. Ван-дер-Варден. Алгебра.— М.,1976 — 138-151с.,158-167с.,244-253с.

3. Э.Ф. Шмигирев, С.В. Игнатович. Теория многочленов.— Мозырь 2002.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.monax.ru

Характеристики

Список файлов курсовой работы