85002 (612456), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема 2.5. Пусть ₁,..., _k — алгебраические над полем P элементы поля F . Тогда поле P(₁,..., _k) является конечным расширением поля P.

Доказательство. Пусть

L ₀ = P, L ₁ = P [₁], L ₂= P [₁, ₂,],..., L _k = P [₁ ,..., _k].

Тогда L₁ = P [₁] есть простое алгебраическое расширение поля L₀; L₂ есть простое алгебраическое расширение поля L₁ , так как

L₂ = P [₁,₂] = (P [₁])[₂] = L₁[₂] = L₁(₂) и т. д.

Таким образом,

P = L₀ L₁ … L_k= F

где L_i = L_i-1(_i ) при i = 1, ..., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле F является составным алгебраическим расширением поля P. Следовательно, в силу следствия 2.4 поле F является конечным расширением поля P .

Следствие 2.6. Составное алгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля.

2.3. Простота составного алгебраического расширения поля.

Теорема 2.7. Пусть числовое поле F есть составное алгебраическое расширение поля P . Тогда F является простым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство. Пусть P L F , причем L = P(), F = L() и, следовательно, F = P(, ).

Пусть f и g — минимальные полиномы над P соответственно для чисел и и deg f = m, deg g = n. Полиномы f и g неприводимы над P и, следовательно, не имеют в поле E комплексных чисел кратных корней. Пусть

= ₁ ,..., _m — корни полинома f в C и

= ₁ ,..., _n — корни полинома g в C.

Рассмотрим конечное множество М:

M = {(_i-)/(-_k)i{1,…,m}, k{2,…,n}}.

Поскольку P — числовое множество (и, значит, бесконечное), то в P существует число c, отличное от элементов множества М, cPМ, cМ. Пусть

(1) = + c.

Тогда выполняются соотношения

(2) _i +c_k = (i{1,..., m}, k{2, ..., n}).

В самом деле, в случае равенства +с = _i+с_k было бы

с = (_i-)/(-_k) M

что противоречило бы выбору числа c.

Пусть F₁ = P () и F₁ — кольцо полиномов от x. Пусть h = f( - cx) — полином из F₁[x] (, cP() = F₁). Покажем, что x- есть наибольший общий делитель полиномов h и g в кольце F₁[x]. Так как g() = 0, то x- делит g в E[x]. Далее, в силу (1)

h() = f(-c) = f() = 0.

Поэтому x- делит полином h в E[x]. Таким образом, x- есть общий делитель h и g в кольце E[x].

Докажем, что g и h в С не имеет корней, отличных от . В самом деле, допустим, что _k, k{2 ,..., n}, есть их общий корень. Тогда h(_k) = f( - с_k) = 0. Следовательно, найдется такой индекс i{1 ,..., m}, что = _i+c_k (k>1), а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что x- есть наибольший общий делитель g и h в E[x]. Поскольку x - — нормированный полином, то отсюда следует, что x - является наибольшим общим делителем g и h в кольце F₁[x]. Поэтому

(x-) F₁[x] и F₁ = P().

Кроме того, = - c F₁. Таким образом,

F = P(, ) F₁, F₁F.

Следовательно, F = P(). Далее, так как (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над P и F = P (), то поле F = P () является искомым простым алгебраическим расширением поля P.

2.4. Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

Определение. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома положительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема 2.8. Множество A всех алгебраических чисел замкнуто в кольце E = С, +, —, •, 1 комплексных чисел. Алгебра A = А, +, —, •, 1 является полем, подполем поля E.

Доказательство. Пусть a и b — любые элементы из А. По следствию 2.6, поле Q(a, b) является алгебраическим над Q. Поэтому числа a+b, -а, ab, 1 являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству A. Таким образом, множество А замкнуто относительно главных операций кольца E. Поэтому алгебра A — подкольцо кольца E — является кольцом.

Кроме того, если a —ненулевой элемент из А, то a^-1 Q (a, b) и поэтому а^-1 принадлежит А. Следовательно, алгебра A есть поле, подполе поля E.

Определение. Поле A = А, +, —, •, 1 называется полем алгебраических чисел.

Пример.

Показать, что число = является алгебраическим.

Решение. Из = следует - .

Возведем обе части последнего равенства в третью степень:

³-3² 9-3 =2

или

³ +9-2=3 (²+1).

Теперь обе части равенства возводим во вторую степень:

⁶+18⁴+81²-4³-36+4=27⁴+54²+27

или

⁶-9⁴-4³+27²-36-23=0.

Таким образом является корнем многочлена

f(x)= ⁶-9⁴-4³+27²-36-23=0

с рациональными коэффициентами. Это значит что — алгебраическое число.

2.5. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.

Теорема 2.9. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть A [x] — кольцо полиномов от x над полем A алгебраических чисел. Пусть

f = а₀ + а₁x+... + а_nхⁿ (а₀ ,…, а_n A)

— любой полином положительной степени из A[x]. Нам надо доказать, что f имеет корень в А. Так как fC[x] и поле E алгебраически замкнуто, то f имеет корень в E т. е. существует такое комплексное число с, что f(с) = 0. Пусть L= Q(а₀, ..., а_n) и L (с) — простое алгебраическое расширение поля L с помощью с. Тогда Q L L (c) есть конечное алгебраическое расширение поля L. По теореме 2.2, L есть конечное расширение поля Q. В силу теоремы 2.3 L (с) является конечным расширением поля Q. Отсюда, по теореме 2.2, следует, что поле L (с) является алгебраическим расширением поля Q и, значит, cA. Таким образом, любой полином из A[x] положительной степени имеет в A корень, т. е. поле A алгебраически замкнуто.

3. Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Пусть — поле.

Выясним, может ли неразложимый в [x] многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены f(x) и f(x) должны иметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в [x]. Если многочлен f(x) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени f(x) не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство f '(x) = 0.

Положим

_{n n}

f(x) =ax f(x) =ax^-1

^{0 1}

Так как f(x) = О, в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

a = 0 ( = l, 2, ..., n).

В случае характеристики нуль отсюда следует, что a = 0 для всех 0. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики p равенства a = 0 возможны и для 0, но тогда обязаны выполняться сравнения

0(p).

Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех ax, для которых 0(p), т. е. f(x) должен иметь вид

f(x) = a₀+a_px^p+a_2px^2p+…

Обратно: если f(x) имеет такой вид, то f(x)=0.

В этом случае мы можем записать:

f(x) = (x^p).

Тем самым доказано утверждение: В случае характеристики нуль неразложимый в [x] многочлен f (x) имеет только простые корни, в случае оке характеристики p многочлен f(x) (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен от x^p.

В последнем случае может оказаться, что (x) в свою очередь является многочленом от x^p. Тогда f(x) является многочленом от x^p2. Пусть f(x) — многочлен от x^pe

f(x) = ( x^pe),

но не является многочленом от x^pe+1. Разумеется, многочлен (у) неразложим. Далее, (у) 0, потому что иначе (у) имел бы вид (у^р) и, следовательно, f(x) представлялся бы в виде (х^pе+1), что противоречит предположению. Следовательно, (у) имеет только простые корни.

Разложим многочлен (у) в некотором расширении основного поля на линейные множители: _m

(y) = (y-_i).

¹

Тогда

_m

f(x) = ( x^pe -_i)

¹

Пусть _i— какой-нибудь корень многочлена x^pe -_i. Тогда x_i^pe = _i,

x^pe -_i = x^pe – _i^pe = (x-_i) ^pe.

Следовательно, _i является р^е-кратным корнем многочлена x^pe -_i и

_m

f(x) = ( x -_i) р^е.

¹

Все корни многочлена f(x) имеют, таким образом, одну и ту же кратность р^е.

Степень m многочлена называется редуцированной степенью многочлена f(x) (или корня _i); число e называется показателем многочлена f (x) (или корня _i) над полем . Между степенью, редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение

n = m р^е,

где m равно числу различных корней многочлена f(x).

Если — корень неразложимого в кольце [x] многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то называется сепарабельным элементом над или элементом первого рода над ¹). При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае алгебраический элемент и неразложимый многочлен f(x) называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода. Наконец, алгебраическое расширение , все элементы которого сепарабельны над , называется сепарабельным над , а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.

В случае характеристики нуль согласно сказанному выше каждый неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраическое расширение) является сепарабельным. Позднее мы увидим, что большинство наиболее важных и интересных расширений полей сепарабельны и что существуют целые классы полей, вообще не имеющих несепарабельных расширений (так называемые «совершенные поля»). По этой причине в дальнейшем все связанное специально с несепарабельными расширениями набрано мелким шрифтом.

Рассмотрим теперь алгебраическое расширение = (). Когда степень n уравнения f(x) = 0, определяющего это расширение, равна степени ( : ), редуцированная степень m оказывается равной числу изоморфизмов поля в следующем смысле: рассмотрим лишь такие изоморфизмы ', при которых элементы подполя остаются неподвижными и, следовательно, переводится в эквивалентное поле ' (изоморфизмы поля над полем ) и при которых поле-образ ' лежит вместе с полем внутри некоторого общего для них поля . В этих условиях имеет место теорема:

При подходящем выборе поля расширение =() имеет ровно m изоморфизмов над и при любом выборе поля поле не может иметь более m таких изоморфизмов.

Доказательство. Каждый изоморфизм над должен переводить элемент в сопряженный с ним элемент ' из . Выберем так, чтобы f(x) разлагался над на линейные множители; тогда окажется, что элемент имеет ровно m сопряженных элементов ,', ... При этом, как бы ни выбиралось поле , элемент не будет иметь в нем более m сопряженных. Заметим теперь, что каждый изоморфизм ()(') над полностью определяется заданием соответствия '. Действительно, если переходит в ' и все элементы из остаются на месте, то элемент

a_k^k (a_k)

Характеристики

Список файлов курсовой работы