84717 (612451), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

= Q1/(m-1),

= Q2/(mn-m).

Если найти математические ожидания средних квадратов и , подставить в их формулы выражение xij (1) через параметры модели, то получится:

(9)

т.к. с учетом свойств математического ожидания

а

(10)

Для модели I с фиксированными уровнями фактора Fi(i=1,2,...,m) – величины неслучайные, поэтому

M(S ) = 2 /(m-1) +σ2.

Гипотеза H0 примет вид Fi = F*(i = 1,2,...,m), т.е. влияние всех уровней фактора одно и то же. В случае справедливости этой гипотезы

M(S )= M(S )= σ2.

Для случайной модели II слагаемое Fi в выражении (1) – величина случайная. Обозначая ее дисперсией

получим из (9)

(11)

и, как и в модели I

M(S )= σ2.

В таблице 1.1 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.

Таблица 1.1 – Базовая таблица дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
Межгрупповая		m-1	= Q1/(m-1)
Внутригрупповая		mn-m	= Q2/(mn-m)	M(S )= σ2
Общая		mn-1

Гипотеза H0 примет вид σF2 =0. В случае справедливости этой гипотезы

M(S )= M(S )= σ2.

В случае однофакторного комплекса как для модели I, так и модели II средние квадраты S2 и S2, являются несмещенными и независимыми оценками одной и той же дисперсии σ2.

Следовательно, проверка нулевой гипотезы H0 свелась к проверке существенности различия несмещенных выборочных оценок S и S дисперсии σ2.

Гипотеза H0 отвергается, если фактически вычисленное значение статистики F = S /S больше критического Fα:K1:K2, определенного на уровне значимости α при числе степеней свободы k1=m-1 и k2=mn-m, и принимается, если F < Fα:K1:K2 .

F- распределение Фишера (для x > 0) имеет следующую функцию плотности (для = 1, 2, ...; = 1, 2, ...):

где - степени свободы;

Г - гамма-функция.

Применительно к данной задаче опровержение гипотезы H0 означает наличие существенных различий в качестве изделий различных партий на рассматриваемом уровне значимости.

Для вычисления сумм квадратов Q1, Q2, Q часто бывает удобно использовать следующие формулы:

(12)

(13)

(14)

т.е. сами средние, вообще говоря, находить не обязательно.

Таким образом, процедура однофакторного дисперсионного анализа состоит в проверке гипотезы H0 о том, что имеется одна группа однородных экспериментальных данных против альтернативы о том, что таких групп больше, чем одна. Под однородностью понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве данных. При этом дисперсии могут быть как известны, так и неизвестны заранее. Если имеются основания полагать, что известная или неизвестная дисперсия измерений одинакова по всей совокупности данных, то задача однофакторного дисперсионного анализа сводится к исследованию значимости различия средних в группах данных /1/.

1.3 Многофакторный дисперсионный анализ

Следует сразу же отметить, что принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным дисперсионным анализом нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме учета влияния на зависимую переменную каждого из факторов по отдельности, следует оценивать и их совместное действие. Таким образом, то новое, что вносит в анализ данных многофакторный дисперсионный анализ, касается в основном возможности оценить межфакторное взаимодействие. Тем не менее, по-прежнему остается возможность оценивать влияние каждого фактора в отдельности. В этом смысле процедура многофакторного дисперсионного анализа (в варианте ее компьютерного использования) несомненно более экономична, поскольку всего за один запуск решает сразу две задачи: оценивается влияние каждого из факторов и их взаимодействие /3/.

Общая схема двухфакторного эксперимента, данные которого обрабатываются дисперсионным анализом имеет вид:

Взаимодействие факторов A и B

Фактор B:

3 уровня

Фактор А:

2 уровня

Прочие неучитываемые (случайные) факторы

Рисунок 1.1 – Схема двухфакторного эксперимента

Данные, подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней.

Предположив, что в рассматриваемой задаче о качестве различных m партий изделия изготавливались на разных t станках и требуется выяснить, имеются ли существенные различия в качестве изделий по каждому фактору:

А - партия изделий;

B - станок.

В результате получается переход к задаче двухфакторного дисперсионного анализа.

Все данные представлены в таблице 1.2, в которой по строкам - уровни Ai фактора А, по столбцам — уровни Bj фактора В, а в соответствующих ячейках, таблицы находятся значения показателя качества изделий xijk (i=1,2,...,m; j=1,2,...,l; k=1,2,...,n).

Таблица 1.2 – Показатели качества изделий

	B1	B2	…	Bj	…	Bl
A1	x11l,…,x11k	x12l,…,x12k	…	x1jl,…,x1jk	…	x1ll,…,x1lk
A2	x21l,…,x21k	x22l,…,x22k	…	x2jl,…,x2jk	…	x2ll,…,x2lk
…	…	…	…	…	…	…
Ai	xi1l,…,xi1k	xi2l,…,xi2k	…	xijl,…,xijk	…	xjll,…,xjlk
…	…	…	…	…	…	…
Am	xm1l,…,xm1k	xm2l,…,xm2k	…	xmjl,…,xmjk	…	xmll,…,xmlk

Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:

xijk=μ+Fi+Gj+Iij+εijk, (15)

где xijk - значение наблюдения в ячейке ij с номером k;

μ - общая средняя;

Fi - эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А;

Gj - эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора В;

Iij - эффект, обусловленный взаимодействием двух факторов, т.е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели (15);

εijk - возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.

Предполагается, что εijk имеет нормальный закон распределения N(0; с2), а все математические ожидания F*, G*, Ii*, I*j равны нулю.

Групповые средние находятся по формулам:

- в ячейке:

,

по строке:

по столбцу:

общая средняя:

В таблице 1.3 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.

Таблица 1.3 – Базовая таблица дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Межгрупповая (фактор А)		m-1
Межгрупповая (фактор B)		l-1
Взаимодействие		(m-1)(l-1)
Остаточная		mln - ml
Общая		mln - 1

Проверка нулевых гипотез HA, HB, HAB об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, B и их взаимодействия AB осуществляется сравнением отношений , , (для модели I с фиксированными уровнями факторов) или отношений , , (для случайной модели II) с соответствующими табличными значениями F – критерия Фишера – Снедекора. Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с фиксированными уровнями производится также как и в модели II, а факторов со случайными уровнями – как в модели I.

Характеристики

Список файлов курсовой работы