7068-1 (612441), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Решение A. Обозначим через A, B, C, и D соответственно точки касания w₁Çw₂, w₂Çw₃, w₃Çw₄ и w₄Çw₁. Сделаем инверсию с центром в O = A относительно окружности некоторого радиуса R. По свойству VIII и IX получим пару параллельных прямых a = inv_O^R(w₁), b = inv_O^R(w₂) и пару касающихся окружностей w₃¢ = inv_O^R(w₃) и w₄¢ = inv_O^R(w₄) (рис. 7).

Рис. 7

Нетрудно заметить, что точки касания исходных окружностей, за исключением точки A (которую инверсия забросит в бесконечность), отобразятся в точки касания образов. Докажем теперь, что B¢, C¢ и D¢ лежат на одной прямой. Так как (KB¢)||(LD¢), то ÐB¢KC¢ = ÐC¢LD¢. Отсюда следует равенство ÐKC¢B¢ = ÐLC¢D¢ (DKC¢B¢ и DLC¢D¢ являются равнобедренными), поэтому B¢, C¢ и D¢ лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую через c и подействуем на нее снова инверсией inv_O^R. Ее образ - это окружность inv_O^R(c), которая проходит через центр инверсии, точку A, а также через точки B = inv_O^R(B¢), C = inv_O^R(C¢) и D = inv_O^R(D¢).

Геометрия Мора-Маскерони

Теория построения одним циркулем получила свою известность благодаря книге "Геометрия циркуля"(1797 г.) Лоренцо Маскерони³. Значительно позже в одном из букинистических магазинов была обнаружена книга датского математика Георга Мора "Датский Евклид", датированная 1672 годом! Обе книги содержат основной результат геометрии циркуля:

Теорема Мора-Маскерони. Все построения, выполненные с помощь циркуля и линейки, могут быть проделаны только с помощью циркуля (при этом мы считаем прямую построенной, если найдены хотя бы две точки этой прямой).

Для доказательства этой теоремы достаточно научиться находить только с помощью циркуля пересечения двух прямых, прямой и окружности, что и составляет проблему D. Сначала рассмотрим решения задач B и C, которые носят вспомогательный характер.

Решение B. Чтобы разделить отрезок [AB] на n равных частей, сначала увеличим его в n раз, т.е. найдем точку C, что |AC| = n|AB|. А затем построим точку C¢ - образ точки C при инверсии относительно окружности w(A,|AB|). Из соотношения |AC|·|AC¢| = |AB|² получаем |AC¢| = |AB|/n. Все указанные построения можно выполнить только с помощью циркуля (для этого даже не нужна прямая (AB)).

Решение C. Выберем произвольную точку O окружности w₁(X,r), центр X которой нам нужно определить (рис. 8).

Рис. 8

Из точки O проведем произвольную окружность w(O,R) так, чтобы она пересекала исходную окружность w₁. Обозначим точки пересечения wÇw₁ через A и B. Куда перейдет прямая (AB) при инверсии inv_O^R? Конечно же в w₁, поскольку точки A и B остаются неподвижными (свойства II и VI). По свойству VII центр inv_O^R((AB)) (т.е. центр w₁) является образом точки S_(AB)(O) при inv_O^R. Из этих рассуждений следует цепочка необходимых построений. Сначала находим точку O₁ = S_(AB)(O), симметричную O относительно прямой (AB) (школьная задача). А затем строим образ точки O₁ при inv_O^R, он и будет искомым центром. Все указанные построения выполняются только с помощью циркуля.

Решение D. Опишем поиск пересечения двух прямых только с помощью циркуля. Пусть даны точки A, B, C и D (рис. 9).

Рис. 9

Выберем точку O так, чтобы она не лежала на прямых a = (AB) и b = (CD). При инверсии inv_O^R прямые a и b должны перейти в окружности inv_O^R(a) и inv_O^R(b), а их точка пересечения отобразится в точку пересечения окружностей inv_O^R(a) и inv_O^R(b), отличную от точки O (свойства VI и I). Теперь необходимые построения становятся очевидными: с помощью свойства VII строим окружности inv_O^R(a) и inv_O^R(b), находим точку пересечения этих окружностей - точку X, и снова действуем инверсией уже на точку X. Точка Y = inv_O^R(X) является искомой. Пересечение прямой и окружности находится похожим образом.

Теперь терема Мора-Маскерони следует из решений задач B, C и D.

Задача Аполлония

В этом параграфе рассмотрим задачу о построении окружности, касающейся трех данных окружностей, названную в честь крупнейшего специалиста по коническим сечениям древности Аполлония Пергского⁴. Решению проблемы G предшествуют решения задач E и F.

Решение E. Чтобы построить окружность w₂, проходящую через точки A и B и касающуюся данной окружности w₁, рассмотрим инверсию с центром в точке O = A относительно окружности произвольного радиуса R. Образом w₂ при инверсии inv_O^R должна быть некоторая прямая a, проходящая через точку B¢ = inv_O^R(B) и касающаяся окружности inv_O^R(w₁) (свойства VIII и IX). Касательные из произвольной точки X к произвольной окружности w(Y,r) провести довольно легко: для этого достаточно построить вспомогательную окружность w¢ на диаметре [XY] и соединить X с точками пересечения wÇw¢. Теперь выполняем необходимые построения в следующем порядке: находим B¢ = inv_O^R(B) и inv_O^R(w₁), через точку B¢ проводим касательные a и b к окружности inv_O^R(w₁), строим образы inv_O^R(a) и inv_O^R(b) при инверсии inv_O^R. В зависимости от расположения точки B¢ относительно окружности inv_O^R(w₁) может быть два, одно и ни одного решения (например, когда B¢ находится внутри inv_O^R(w₁)).

Решение F. Для решения этой задачи достаточно уметь проводить общую касательную к двум произвольным окружностям w(X,r) и w¢(Y,R). Будем считать, что r < R. Проведем из точки X касательную a к окружности w₁(Y,R-r) (рис. 10), тогда искомая внешняя касательная b к окружностям w и w¢ будет параллельна прямой a и находится от нее на расстоянии r.

Рис. 10

Для проведения внутренней касательной вместо w₁(Y,R-r) надо рассмотреть окружность w₂(Y,R+r). В общем случае возможно до четырех решений. Теперь вернемся к исходной задаче. Пусть даны точка A и две окружности w₁ и w₂. Искомая окружность w, проходящая через A и касающаяся w₁ и w₂, при инверсии с центром O = A должна перейти в некоторую прямую a, которая касается окружностей inv_O^R(w₁) и inv_O^R(w₂) (свойства VIII и IX). Таким образом, приходим к следующему порядку построений: находим inv_O^R(w₁) и inv_O^R(w₂), проводим общие касательные (a,b,c,d) и строим образы этих касательных при inv_O^R. В общем случае получится до четырех искомых окружностей, однако в одном случае решений будет бесконечно много (представьте, что произойдет после инверсии с окружностями w₁ и w₂, если они касаются в точке A).

Решение G. Задача Аполлония легко сводится к предыдущей задаче. Пусть даны окружности w₁(O₁,r₁), w₂(O₂,r₂) и w₃(O₃,r₃), и r₁ < r₂ < r₃. Построим окружность w(O,R), проходящую через точку O₁ и касающуюся окружностей

w₂(O₂,r₂-r₁) и w₃(O₃,r₃-r₁). Уменьшив радиус окружности w на r₁, т.е. рассматривая w(O,R-r₁), приходим к одной из искомых окружностей. Количество решений исследовать самим (кажется, исключая бесконечный случай, возможно до восьми решений).

Изменение расстояния при инверсии

Основой исследований в этом параграфе будет формула V для вычисления расстояния между образами точек A и B при инверсии относительно w(O,R): |A¢B¢| = |AB|R²/(|OA|·|OB|). Из этой формулы сразу видно, что расстояние при инверсии для произвольных точек A и B не сохраняется и искажение расстояния происходит сильнее при приближении точек A и B к центру окружности инверсии. Прежде чем установить менее очевидный факт, введем важное в теории круговых преобразований⁵ понятие двойного отношения четырех точек.

Определение. Двойным отношением четырех точек A, B, C и D называют число

|AC|

|BC| : |AD|

|BD| .

Теорема. Двойное отношение четырех точек сохраняется при инверсии.

Доказательство. Обозначим через A¢, B¢, C¢ и D¢ соответственно образы точек A, B, C и D при инверсии относительно окружности w(O,R). Тогда из формулы V имеем

|A¢C¢|

|B¢C¢| : |A¢D¢|

|B¢D¢| = |AC|/(|OA|·|OC|)

|BC|/|OB|·|OC| : |AD|/(|OA|·|OD|)

|BD|/(|OB|·|OD|) =

= |AC|

|BC| : |AD|

|BD| .

Следующая теорема является решением проблемы H.

Теорема. Пусть даны точки A, B и число k > 0 (k ¹ 1). Множество F состоит из всех таких точек X плоскости, для которых |XA|:|XB| = k. Тогда F является окружностью (окружность Аполлония), центр которой лежит на прямой (AB).

Доказательство. На прямой (AB) можно легко найти две точки O и C, принадлежащие множеству F (одна из них будет внутренней точкой отрезка [AB], другая - внешней точкой этого отрезка). Рассмотрим инверсию относительно окружности с центром в точке O произвольного радиуса R. Для образов точек A, B и C имеем

|C¢A¢|

|C¢B¢| = |CA|R²/(|OC|·|OA|)

|CB|R²/(|OC|·|OB|) = |CA|

|CB| : |OA|

|OB| = k:k = 1. 1

Пусть X¢ = inv_O^R(X) и F¢ = inv_O^R(F). Тогда, учитывая (1) и сохранение при инверсии отношения четырех точек, получаем

X Î FÛ |XA|

|XB| : |CA|

|CB| = k:k = 1Û

Û |X¢A¢|

|X¢B¢| : |C¢A¢|

|C¢B¢| = 1Û |X¢A¢|

|X¢B¢| = 1.

Последнее означает, что F¢ - серединный перпендикуляр к отрезку [A¢B¢]. Отсюда F = inv_O^R(F¢) - окружность, диаметр которой лежит на прямой (AB).

Формула следующей теоремы, названная в честь Леонарда Эйлера⁶, связывает между собой радиусы вписанной и описанной окружностей произвольного треугольника с расстоянием между их центрами.

Теорема. Пусть для произвольного треугольника ABC числа r, R и d соответственно обозначают радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Тогда d² = R²-2Rr.

Доказательство. Точки касания вписанной окружности w(O,r) со сторонами [AB], [AC] и [BC] обозначим соответственно через K, L и M (рис. 11).

Рис. 11

Пусть также w₁(O₁,R) - описанная около треугольника DABC окружность. Рассмотрим инверсию относительно вписанной окружности w(O,r). Так как прямые (AK) и (AL) являются касательными к окружности инверсии, образом точки A будет середина отрезка [KL] (точка A¢), аналогично B¢ = inv_O^r (B) - середина [KM] и C¢ = inv_O^r (C) - середина [LM]. Образом окружности w₁(O₁,R) будет окружность w₁¢, проходящая через точки A¢,B¢,C¢ и имеющая радиус равный r/2 (так как при гомотетии H_O^-1/2 окружность w переходит в окружность, проходящую через середины сторон DKLM, т.е. в w₁¢). Теперь попробуем выяснить, как вообще изменяется радиус окружности при инверсии. Обозначим через X и Y точки диаметра окружности w₁(O₁,R), лежащие на прямой (OO₁) (рис. 12).

Рис. 12

По свойству IX отрезок [inv_O^r(X) inv_O^r (Y)] является диаметром окружности

inv_O^r (w₁), а по свойству V его длина равна

|X¢Y¢| = |XY|

|OX|·|OY| ·r² = 2Rr²

Характеристики

Список файлов курсовой работы