5191-1 (612434), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

(2).

Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: . Из логарифмического ряда , учитывая, что , приходим к ряду . Значит, .

Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при , то . Во внутреннем интеграле положим , тогда и , отсюда .В промежутке интегрирования , поэтому верно разложение и . Получаем . Теперь . Если сравнить полученное значение интеграла с рядом для , то увидим, что они тождественны и равенство (2) доказано.

Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простых чисел, то есть покажем, что .

В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.

Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это уравнение относительно , то есть обратить интеграл. Сделаем это с помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть . Тогда

(3). Этот интеграл имеет нужную форму, а не повлияет на асимптотику . Действительно, так как , интеграл для сходится равномерно в полуплоскости , что легко обнаруживается сравнением с интегралом . Следовательно, регулярна и ограничена в полуплоскости . То же самое справедливо и относительно , так как .

Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем . Обозначим левую часть через и положим , , ( , и полагаем равными нулю при ). Тогда, интегрируя по частям, находим при , или .

Но непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как , то ( ) и ( ). Следовательно, абсолютно интегрируема на при . Поэтому при , или при . Интеграл в правой части абсолютно сходится, так как ограниченна при , вне некоторой окрестности точки . В окрестности и можно положить , где ограниченна при , и имеет логарифмический порядок при . Далее, . Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой , то есть . Во втором члене можно положить , так как имеет при лишь логарифмическую особенность. Следовательно, . Последний интеграл стремится к нулю при . Значит,

(4).

Чтобы перейти обратно к , используем следующую лемму.

Пусть положительна и не убывает и пусть при . Тогда .

Действительно, если - данное положительное число, то ( ). Отсюда получаем для любого . Но так как не убывает, то . Следовательно, . Полагая, например, , получаем .

Аналогично, рассматривая , получаем , значит , что и требовалось доказать.

Применяя лемму, из (4) имеем, что , , поэтому и теорема доказана.

Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку использованной литературы.

Список литературы

Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.

Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.,1999 г.

Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.,1987 г.

Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.

Характеристики

Список файлов курсовой работы