183606 (599257), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

(25)

или

(26)

Средневзвешенные оценки дисперсии. Анализ однородности исходных оценок дисперсии

Если в распоряжении экспериментатора имеются результаты многократных измерений величин критерия оптимальности в опытах при различных условиях ведения процесса, то появляется возможность расчета средневзвешенной оценки дисперсии единичного результата, единой для всех опытов эксперимента.

В каждом из N опытов (номер опыта и = 1+N) оценка дисперсии единичного результата равна

где т_и – число повторностей и-го опыта.

Средневзвешенная оценка дисперсии единичного результата рассчитывается по всем оценкам дисперсии единичного результата опытов:

а) при различных т_и

где - число степеней свободы средневзвешенной оценки дисперсии; т_и – 1 = f_u – «вес» соответствующей и-ой оценки дисперсии, равный числу степеней свободы f_u;

б) при т_и = т = const

где N (m-1)=f – число степеней свободы средневзвешенной оценки дисперсии.

Прежде чем пользоваться соотношениями (28) и (29) для расчета средневзвешенных уточненных оценок дисперсии (чем больше число степеней свободы, тем более точной будет оценка дисперсии), надо доказать однородность исходных оценок дисперсии.

Определение «однородные» в статистике означает «являющиеся оценкой одного и того же параметра» (в данном случае – дисперсии σ ²).

Если измеряемая случайная величина у_ик распределена по нормальному закону во всем исследуемом диапазоне, то независимо от значений _и дисперсия σ не будет изменять своей величины и оценки этой дисперсии должны быть однородными. Однородность этих оценок проявляется в том, что они могут отличаться друг от друга лишь незначительно, в пределах, зависящих от принятой вероятности и объема экспериментальных данных.

Если т_и = т и f = const, то однородность оценок дисперсий можно проанализировать при помощи критерия Кохрена G_kp. Вычисляют отношение максимальной дисперсии S²(y_uk)_max к сумме всех дисперсий

и сравнивают это отношение с величиной критерия Кохрена G_kp (P; f; N). Если G < Gkp, то оценки однородны.

Таблица значений критерия Кохрена в зависимости от числа степеней свободы числителя f_u, числа сравниваемых дисперсий N и принятого уровня значимости q = 1 – Р дана в приложении.

Если число повторностей в опытах различно (f_lt ≠ const), однородность оценок дисперсии можно проанализировать с помощью критерия Фишера F_Т. Для этого из N оценок дисперсии выбирают 2: максимальную S²(y_uk)_max и минимальную S²(y_uk)_min. Если вычисленное значение F их отношения меньше Ft,

то все N оценок дисперсии будут однородны.

Значения критерия Фишера F_T даны в приложении в зависимости от принятого уровня значимости q и числа степеней свободы f₁ и f₂ оценок S²(y_uk)_max и S²(y_uk)_min соответственно.

Если оценки дисперсии непосредственно измеряемого параметра у оказались неоднородными, т.е. оценками различных дисперсий, то средневзвешенная оценка не может быть рассчитана. И кроме того, величины у_к уже нельзя считать подчиняющимися нормальному закону, при котором дисперсия может быть лишь одной и неизменной при любом у.

Причиной нарушения нормального закона распределения может быть наличие оставшихся грубых ошибок (анализ на грубые ошибки либо не проводился, либо проведен недостаточно тщательно).

Другой причиной может быть наличие активного фактора, ошибочно отнесенного исследователем к неактивным и не снабженного системой стабилизации. Поскольку условия изменились, этот фактор стал значимо влиять на процесс.

9. Планирование и обработка результатов однофакторных экспериментов

9.1 Формализация экспериментальных данных методом наименьших квадратов

Влияние какого-либо фактора на выход процесса может быть выражено зависимостью у = f(C). Если конкретному значению С_и соответствует единственное значение у_и, то такая зависимость называется функциональной. Эту зависимость получают путем строгих логических доказательств, не нуждающихся в опытной проверке. Например, площадь квадрата ω может быть представлена функциональной зависимостью от размера стороны квадрата а: ω = а².

Если у_и остается неизменным в то время как С_и изменяется, то у не зависит от С. Например, угол при вершине квадрата равный π/2, не зависит от размера стороны а_и.

Если для оценки величин у_и и С_и используются данные наблюдений, величины случайные, то функциональная зависимость между ними существовать не может.

Измерив отдельно сторону а и площадь ω квадрата, можно убедиться, что полученные результаты не могут быть представлены с абсолютной точностью зависимостью ω = а ².

К формализации экспериментальных данных, т.е. построению по ним описывающей процесс зависимости, исследователь прибегает, когда не может составить эвристическую (детерминированную) математическую модель из-за недостаточного понимания механизма процесса или его чрезмерной сложности.

Полученная в результате формализации экспериментальных данных эмпирическая математическая модель имеет меньшую ценность, чем отражающая механизм процесса эвристическая математическая модель, которая может предсказать поведение объекта за пределами изученного диапазона изменения переменных.

Приступая к эксперименту с целью получения эмпирической математической модели, исследователь должен определить необходимый объем опытных данных с учетом количества принятых к исследованию факторов, воспроизводимости процесса, предполагаемой структуры модели и обеспечения возможности проверки адекватности уравнения.

Если по результатам эксперимента, состоящего из двух опытов, получено линейное однофакторное уравнение у = b₀ + b₁С, то построенная по этому уравнению прямая обязательно пройдет через эти экспериментальные точки. Следовательно, для того чтобы проверить, насколько хорошо эта зависимость описывает данный процесс, надо поставить опыт хотя бы еще в одной точке. Этот дополнительный опыт дает возможность осуществить корректную процедуру проверки пригодности уравнения. Однако проверку обычно проводят не по одной дополнительной точке, которая не участвовала в определении коэффициентов уравнения, а по всем экспериментальным точкам, число которых (N) должно превышать число коэффициентов уравнения (N^')

Так как N > N', решение такой системы требует специального подхода.

9.2 Симметричный и равномерный план однофакторного эксперимента

Задача в значительной степени упростится, если при планировании эксперимента, можно будет обеспечить условие:

ΣC_u=0 (1)

При натуральной размерности факторов выполнить условие ΣC_u=0 невозможно, т. к. в этом случае величина фактора должна иметь как положительные значения, так и отрицательные.

Если же точку отсчета величины фактора перенести в середину диапазона изменения фактора (центр эксперимента)

то появляется возможность удовлетворить условию в виде , где С^'_u=С_u – С_0.

Для равномерного плана С_u – С_(u-1) = λ = const,

где λ – интервал варьирования фактора.

Условие может быть выполнено, если для обозначения величины фактора использовать безразмерные выражения:

x_u = ,

отсюда легко увидеть, что условие эквивалентно условию и такие планы называют симметричными.

При составлении плана диапазон фактора ориентировочно ограничивают величинами С_min и С_max, назначенными после изучения литературы по теме исследования. От опыта к опыту предусматривают такое изменение величины фактора, которое позволило бы достоверно уловить имеющимися в распоряжении исследователя приборами изменение выхода процесса .

С учетом величины λ и диапазона (С_max – C_min) определяют число опытов, округляя его до нечетного N:

.

Затем определяют величины факторов в каждом из N опытов и уточняют исследуемый диапазон фактора С_N – С₁:

= ,

где х_u – безразмерное выражение фактора, аналогичное полученному по соотношению

Для расчета коэффициентов уравнения используем формулу:

,

множители а_ju и знаменатель l_j берем из приложения.

Число опытов эксперимента может быть четным или нечетным, и, как правило, должно быть больше числа коэффициентов N' уравнения.

Чем больше разность (N – N'), тем с большей точностью можно получить оценки коэффициентов данного уравнения и тем в большей степени эти оценки будут освобождены от влияния случайных неуточненных факторов.

Характеристики

Список файлов книги