183606 (599257), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Систематические и случайные ошибки состоят из множества элементарных ошибок. Для того чтобы исключать инструментальные ошибки, следует проверять приборы перед опытом, иногда в течение опыта и обязательно после опыта. Ошибки при проведении самого опыта возникают вследствие неравномерного нагрева реакционной среды, разного способа перемешивания и т.п.

При повторении опытов такие ошибки могут вызвать большой разброс экспериментальных результатов.

Очень важно исключить из экспериментальных данных грубые ошибки, так называемый брак при повторных опытах. Грубые ошибки легко обнаружить. Для выявления ошибок необходимо произвести измерения в других условиях или повторить измерения через некоторое время. Для предотвращения грубых ошибок нужно соблюдать аккуратность в записях, тщательность в работе и записи результатов эксперимента. Грубая ошибка должна быть исключена из экспериментальных данных. Для отброса ошибочных данных существуют определённые правила.

Например, используют критерий Стьюдента t (Р; f): Опыт считается бракованным, если экспериментальное значение критерия t по модулю больше табличного значения t (Р; f).

Если в распоряжении исследователя имеется экспериментальная оценка дисперсии S²(y_k) с небольшим конечным числом степеней свободы, то доверительные ошибки рассчитываются с помощью критерий Стьюдента t (Р; f):

ε( ) = t (Р; f)* S(y_k)/ = t (Р; f)* S( )

ε(y_k) = t (Р; f)* S(y_k)

6. Результат прямого измерения – случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения

Результаты, которые получаются при экспериментальном исследовании какого-либо технологического процесса, зависят от целого ряда факторов. Поэтому результат исследования является случайной величиной, распределённой по нормальному закону распределения. Оно названо нормальным, т. к. именно это распределение для случайной величины является обычным и называется гаусовским или лапласским. Под распределением случайной величины понимают совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующим им вероятностям.

При экспериментальном исследовании какого-либо технологического процесса измеряемый результат последнего является случайной величиной, на которую оказывает влияние огромное число факторов (изменение погодных условий, самочувствие оператора, неоднородность сырья, влияние износа измерительной и стабилизирующей аппаратуры и т.д. и т.п.). Именно поэтому результат исследования является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Однако если исследователь какой-либо активный фактор не заметил или отнес его к неактивным, а неконтролируемое изменение этого фактора может вызвать несоразмерно большое изменение эффективности процесса и параметра, характеризующего эту эффективность, то распределение вероятности последнего может нормальному закону не подчиниться.

Точно так же приведет к нарушению нормальности закона распределения наличие в массиве экспериментальных данных грубых ошибок. Именно поэтому в первую очередь проводят анализ на наличие в экспериментальных данных грубых ошибок с принятой доверительной вероятностью.

Случайная величина будет распределена по нормальному закону, если она представляет собой сумму очень большого числа взаимно зависимых случайных величин, влияния каждой из которых ничтожно мало. Если измерения искомой величины y проведены много раз, то результат можно наглядно представить, построив диаграмму, которая показывала бы, как часто получались те или иные значения. Такая диаграмма называется гистограммой. Что бы построить гистограмму нужно разбить весь диапазон измеренных значений на равные интервалы. И посчитать сколько раз каждая величина попадает в каждый интервал.

Если измерения продолжать до тех пор, пока число измеренных значений n не станет очень большим, то ширину интервала можно сделать очень малой. Гистограмма перейдёт в непрерывную прямую, которая называется кривой распределения.

В основе теории случайных ошибок лежат два предположения:

1. при большом числе измерений случайные погрешности одинаково велики, но с разными знаками встречаются одинаково часто;

2. большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые. Т. е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом её величины.

Согласно закону больших чисел при бесконечно большом числе измерений n, истинное значение измеряемой величины y равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений ỹ

Для всех m-повторностей можно записать:

Разделив это уравнение на число повторностей m, получим после подстановки:

За экспериментальную оценку истинного значения (математического ожидания) критерия оптимальности у принимается среднеарифметическая оценка результатов всех т повторностей:

Если число m велико (m→∞), то будет справедливо равенство:

Таким образом, при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины y равно среднеарифметическому значению ỹ всех результатов произведённых измерений: y═ỹ, при m→∞.

При ограниченном числе измерений (m≠∞) среднеарифметическое значение y будет отличаться от истинного значения, т.е. равенство y═ỹ будет неточным, а приближённым: y≈ỹ и величину этого расхождения необходимо оценить.

Если в распоряжении исследователя имеется только единичный результат измерения y_k, то оценка истинного значения измеряемой величины будет менее точной. чем среднеарифметическая оценка при любом числе повторностей: |y─ỹ|<|y-yk|.

Появление того или иного значения yk в процессе измерения является случайным событием. Функция плотности нормального распределения случайной величины характеризуется двумя параметрами:

• истинным значением y;

• среднеквадратичным отклонением σ.

а) б)

Рисунок – 1а – кривая плотности нормального распределения; 1б – кривая плотности вероятности нормально распределенной случайной величины при различных дисперсиях

Плотность нормального распределения (рис. 1а) симметрична относительно y и достигает максимального значения при yk= y, стремится к 0 при увеличении.

Квадрат среднеквадратичного отклонения называется дисперсией случайной величины и является количественной характеристикой разброса результатов вокруг истинного значения y. Мера рассеяния результатов отдельных измерений yk от среднего значения ỹ должна выражаться в тех же единицах, то и значения измеряемой величины. В связи с этим в качестве показателя разброса гораздо чаще используют величину σ:

Значения этой величины определяют форму кривой распределения py. Площади под тремя кривыми одинаковы, но при малых значения σ кривые идут более круто и имеют большее значение py. С увеличением σ значение py уменьшается и кривая распределения растягивается вдоль оси y. Т.о. кривая 1 характеризует плотность распределения случайной величины, воспроизводимость которой в повторных измерениях лучше, чем воспроизводимость случайных величин имеющих плотность распределения 2, 4. На практике не возможно произвести слишком много замеров. Поэтому нельзя построить нормальное распределение, чтобы точно определить истинное значение y. В этом случае хорошим приближением к истинному значению можно считать ỹ, а достаточно точной оценкой ошибки выборочную дисперсию ρ²n, вытекающую из закона распределения, но относящуюся к конечному числу измерения. Такое название величины ρ²n объясняется тем, что из всего множества возможных значений yk, т.е. из генеральной совокупности выбирают лишь конечное число значений равное m, называемых выборкой, которая характеризуется выборочным средним значением и выборочной дисперсией.

7. Экспериментальные оценки истинных значений измеряемой случайной величины и её среднеквадратичного отклонения

Если в распоряжении исследователя находится конечное число независимых результатов повторности одного и того же опыта, то он может получить лишь экспериментальные оценки истинного значения и дисперсии результата опыта.

Оценки должны обладать следующими свойствами:

1. Несмещённости, проявляющейся в том, что теоретическое среднее совпадает с истинным значением измеряемого параметра.

2. Состоятельности, когда оценки при неограниченном увеличении числа измерений могут иметь сколь угодно малый доверительный интервал при доверительной вероятности.

3. Эффективности, проявляющейся в том, что из всех несмешанных оценок данная оценка будет иметь наименьшее рассеяние (дисперсию).

Экспериментальная оценка среднеквадратичного отклонения обозначается S с указанием в скобках символа анализируемой величины, т.е.

S (yk) – среднеквадратичного отклонение единичного результата.

S (y) – среднеквадратичное отклонение среднего результата.

Квадрат экспериментальной оценки среднеквадратичного отклонения S² является экспериментальной оценкой дисперсии:

Для обработки результатов наблюдения можно использовать следующую схему:

 Определение среднего значения полученных результатов:

 Определение отклонения от среднего значения для каждого результата:

Эти отклонения характеризуют абсолютную ошибку определения. Случайные ошибки имеют разные знаки, когда значение результата опыта превышает среднее значение, ошибка опыта считается положительной, когда значение результата опыта меньше среднего значения, ошибка считается отрицательной.

Чем точнее произведены измерения, тем ближе значение отдельных результатов и среднее значение.

Если по m результатам рассчитывают оценку истинного значения , а затем, используя те же результаты, рассчитывают оценки абсолютных отклонений:

то оценку дисперсии единичного результата находят по зависимости:

Разность между числом т независимых результатов у_к и числом уравнений, в которых эти результаты уже были использованы для расчета неизвестных оценок, называют числом степеней свободы f:

f=m –1.

Для оценки дисперсии эталонного процесса f=m.

Поскольку средняя оценка является более точной, чем единичная у_к, дисперсия средних будет меньше дисперсии единичных результатов в m раз, если рассчитано по всем m единичным результатам у_к:

Если в распоряжении исследователя имеется экспериментальная оценка дисперсии S² (y_к) с небольшим конечным числом степеней свободы, то доверительные ошибки рассчитывают с помощью критерия Стьюдента t (P; f):

,

где Р – доверительная вероятность (Р=1-q, q – уровень значимости).

Проверка надёжности полученных результатов по критерию Стьюдента для проведенного числа опытов m при избранной доверительной вероятности (надёжности) Р=0,95; 0,99. Это значит, что 95% или 99% абсолютных отклонений результатов лежит в указанных пределах. Критерий t (P; f) с доверительной вероятностью Р показывает во сколько раз модуль разности между истинным значением определённой величины y и средним значением ỹ больше стандартного отклонения среднего результата.

8. Определение грубых ошибок среди результатов повторностей опыта

При статистическом анализе экспериментальных данных для процессов, негативный результат которых не создает ситуаций, опасных для жизни людей или утраты больших материальных ценностей, доверительная вероятность обычно принимают равной Р=0,95

Среди результатов y_k повторностей опыта могут быть результаты, значительно отличающиеся от других. Это может быть связано либо с какой-то грубой ошибкой, либо с неизбежным случайным влиянием неучтенных факторов на результат данной повторности опыта.

Признаком наличия «выделяющегося» результата среди других является большая величина отклонения │▲y_k│= y_k – yˉ.

Если ▲y_k>y_пред, то такие результаты относятся к грубым ошибкам. Предельное абсолютное отклонение определяют в зависимости от сложившейся ситуации различными методами. Если, например, проводиться статистический анализ экспериментальных данных опыта с эталонным процессом (известно истинное значение результата опыта и ▲y_k=y_k-y) и если исследователь имеет в своем распоряжении оценку дисперсии S²(y_k) с таким большим числом степеней свободы, то может принять f→∞ и S²(y_k)=σ², то для определения грубых ошибок можно применить правило «2-х сигм»: все результаты, абсолютные отклонения которых по модулю превышают величину двух среднеквадратичных отклонений с надежностью 0,95 считаются грубыми ошибками и исключаются из массива экспериментальных данных (вероятность исключения достоверных результатов равна уровню значимости q=0,05).

Если доверительная вероятность отличается от 0,95 то пользуются правилом «одной сигмы» (Р=0,68) или правилом «трех сигм» (Р=0,997), или по заданной вероятности Р=2Ф(t) – 1 находят Ф(t) по справочным данным и параметр t, по которому и рассчитывают абсолютное отклонение:

Если в распоряжении исследователя имеется лишь приближенная оценка дисперсии с небольшим (конечным) числом степеней свободы, то применение правила «сигм» может привести либо к необоснованному исключению достоверных результатов либо к необоснованному оставлению ошибочных результатов.

В этой ситуации для определения грубых ошибок можно применить критерий максимального отклонения r_max(P, m), взятый из соответствующих таблиц. Для этого r_max сравнивают с величиной r, равной

(22)

Если r > r_max, то данный результат должен исключаться из дальнейшего анализа, оценка y^ˉ должна быть пересчитана, изменяются абсолютные отклонения ▲y_k и соответственно оценка дисперсии S²(y_k) и S²(yˉ). Анализ на грубые ошибки повторяют при новых значениях оценок yˉ и S²(y_k), прекращают его при r <= r_max.

При пользовании формулой (22) следует применять оценку дисперсии, полученную по результатам повторностей опыта, среди которых находится сомнительный результат.

Для определения грубых ошибок существуют и другие методы, среди которых наиболее быстрым является метод «по размаху» , основанный на оценке максимальных различий полученных результатов. Анализ по этому методу проводят в такой последовательности:

1) располагают результаты y_k в упорядоченный ряд, в котором максимальному результату присваивается номер первый (y1), а максимальному – наибольший (y_m).

2) Если результатом, вызывающим сомнение, будет y_m, рассчитывают отношение

(23)

если сомнительным результатом будет y₁ – отношение

(24)

3) при заданном уровни значимости q и известном числе повторностей m по приложению 6 находят табличное значение критерия α_Т.

4) если α > α_Т, то подозреваемый результат является ошибочным и его следует исключить.

После исключения грубой ошибки находят по таблице новую величину α_Т и решают судьбу следующего «подозреваемого» результата, сравнивая α_Т и рассчитанный для него α.

Если есть основание предполагать, что 2 наибольших (2 наименьших) результата являются «промахами», то их можно выявить в один прием, используя соответствующий столбец таблицы приложения 6 для определения α_Т и рассчитывая α по формуле:

Характеристики

Список файлов книги