151231 (598923), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

,

а суммарный импульс, переданный поршню за время с произвольным , оказывается равным по величине

,

где – полная кинетическая (а другой никакой нет) энергия идеального одноатомного газа, заполняющего наш сосуд. Но

,

и, в силу (1.3), . Если в этом равенстве обозначить , то мы получим состояния ПТДС для случая одноатомного газа вида

,

где – давление газа, – объём, заполненный газом, а – его полная внутренняя энергия.

Из равенства (2.3) видно, что под полной внутренней энергией ПТДС понимается выражение

В теории вероятностей выражение называется математическим ожиданием функции от случайной величины , равной в нашем случае .

В общем случае

.

Упражнение. Воспользовавшись физической интерпретацией плотности распределения по скоростям для идеального газа, описанной ранее, показать, что в (4.3) равно сумме кинетических энергий отдельных молекул, из которых состоит газ, заполняющий ПТДС.

Из (4.3) видно, что

,

т.е. математическое ожидание для кинетической энергии молекулы в одноатомном идеальной газе равно среднему значению его полной энергии, приходящейся на одну молекулу.

4. Теплообмен и температура

Уже повседневный опыт свидетельствует: при тепловом контакте двух тел то из них, которое на ощупь воспринимается как более горячее, становится холоднее, а более холодное, наоборот, нагревается. При длительном контакте и без теплообмена с термостатом температура обоих тел уравнивается.

Здесь термин "температура" означает пока не более, чем то, что оба тела на ощупь кажутся одинаково тёплыми.

Рассмотрим явление теплового контакта с точки зрения молекулярной теории.

Итак, пусть две ПТДС отделены друг от друга теплопроводящей стенкой и теплоизолированы от термостата. На уровне молекул взаимодействие осуществляется через соударения, причём молекулы стенки выступают в роли "посредников". И если в газе молекулы между соударениями движутся по инерции, свободно, то в твёрдой стенке связаны с соседними силами межмолекулярного взаимодействия. Однако эти силы много меньше тех сил, которые возникают в момент контакта между молекулой газа и молекулой стенки или двумя молекулами стенки, когда они сталкиваются на большой скорости.

Центральное взаимодействие двух молекул-шариков проще всего описать с помощью потенциальной энергии , где x и y – радиусы векторы центров молекул. Сила, действующая со стороны молекулы в точке y на молекулу в точке x определяется по формуле

,

а функция имеет график вида

Соседние молекулы в стенке (твёрдой) сосуда находятся на расстояниях, близких к , совершая колебательные движения вокруг своих положений равновесия. Но как только они достаточно сблизятся, между такими столкнувшимися молекулами возникает сильное отталкивание, так как множитель резко возрастает при уменьшении . Большая сила действует лишь краткое мгновение, словом, всё происходит как при соударении бильярдных шаров, соединённых упругими связями типа пружинок в трёхмерную "сеть", составляющую материал стенки.

Всё сказанное выше поясняет, почему можно считать законы соударения для таких молекул такими же, как для идеального газа.

Будем считать, как и ранее, скорости сталкивающихся молекул и случайными величинами. Если они принадлежат к одному из двух сортов, их массы m₁ и m₂ могут быть различными.

Введём две новые случайные скорости:

и .

.

Вычислим математическое ожидание или среднее значений от обеих частей этого равенства. Как легко видеть, в системе центра масс картина столкновений в целом выглядит так, что вектор относительной скорости , так же как и вектора в отдельности, распределён по всем направлениям равномерно. Поэтому для любого фиксированного значения случайная величина , будучи нечётной по , в среднем равна нулю. То же самое можно сказать и о среднем значении .

Отсюда немедленно следует, что установление термодинамического равновесия в такой двойной системе ПТДС означает уравнивание средних значений кинетической энергии молекул идеальных газов, заполняющих каждую из частей нашей сдвоенной системы. И, таким образом, выравнивание температур при тепловом контакте двух ПТДС означает выравнивание средних значений кинетической энергии составляющих их идеальных газов. Температура и средняя энергия оказывается пропорциональными друг другу. Точнее, под температурой следует понимать характеристику или функцию состояния термодинамической системы, пропорциональную средней энергии молекул газа-наполнителя.

Исторически понятие температуры и способы её измерения возникли много раньше, чем Максвелл, Больцман и др. создали кинетическую теорию газов и статическую физику как раздел теоретической физики.

В частности, Гей-Люссак опытным путём показал, что для большинства газов, в том числе и многоатомных, при условии, что расстояния между молекулами в среднем много больше их диаметра, справедливо соотношение

,

где – абсолютная температура, связанная с температурой по Цельсию соотношением

Универсальная газовая постоянная ,

– масса газа в граммах, – масса граммолекулы газа, так что отношение равно числу молей газа, заполняющего ПТДС.

Отношение в (4.1) можно, очевидно, заменить отношением , где – число молекул газа в нашей ПТДС, а – число Авогадро. Уравнение (4.1) можно переписать теперь в таком виде

,

где – универсальная постоянная Больцмана.

Если сравнить равенство (4.2) с уравнением состояния для одноатомных газов, полученным исходя из молекулярной теории и вероятностных соображений в третьем разделе, то первое, что следует отметить. это его более общий характер. Оно остаётся неизменным, если газ-наполнитель представляет собой смесь газов, необязательно одноатомных (как, например, воздух). Во-вторых, T – величина измеряемая, в отличие от полной энергии U. Да и коэффициент перед U, полученный в предположении об одноатомности газа-наполнителя, в случае многоатомных газов найти гораздо труднее.

Если сравнить (3.3) и (4.2) в случае, когда , то в случае одноатомного газа получается равенство

Упражнение. Вычислить для гелия и аргона при .

5. Плотность равновесного распределения молекул в потенциальном силовом поле

До сих пор мы считали, что на молекулы не действуют никакие другие силы кроме тех, которые возникают в момент соударения молекул.

Предположим теперь, что ПТДС помещена в потенциальное силовое поле, т.е. на молекулу в точке х действует сила . Например, в поле силы тяжести Земли на каждую материальную точку массы m действует сила

,

если ось декартовой системы координат направить вверх перпендикулярно поверхности Земли.

Если взять газ, заполняющий некоторый объём Д внутри термостата, то со стороны газа, находящегося вне Д, на выделенный объём будет действовать сила давления , где – вектор внешней нормали к поверхности Д в окрестности х. Равнодействующая этих сил будет равна

Со стороны поля сил на газ, заполняющий Д, будет действовать сила, равная

,

где n(x) – число молекул в единице объёма в точке х. Но

В условиях равновесия силы, даваемое выражениями (5.1) и (5.2), равны по величине и противоположны по знаку, т.е.

.

Поскольку это равенство верно для любого Д, то из него вытекает, что

(5.3) .

Найдём теперь связь между P(x) и плотностью частиц n(x) в точке х. Если взять шар радиуса с центром в точке х, то при малых уравнение состояния для газа в этом объёме будет иметь вид

или .

Подставляя найденное P(x) в (5.3), получим уравнение

.

Беря интеграл от обеих частей по кривой, соединяющей х с точкой , в которой мы полагаем , получим

,

т.е. .

В частности, для газа (воздуха) в поле силы тяжести Земли в условиях равновесия (равновесная атмосфера) получаем формулу Больцмана

.

6. Плотность распределения по скоростям. Распределение Максвелла

Обозначим через проекцию скорости молекулы газа массы m, находящегося в равновесии в поле силы тяжести Земли при температуре T. Тогда в единичном объёме на высоте h будет находиться молекул, вертикальная составляющая скорости которых в окрестности точки v. Двигаясь вверх, эти молекулы заполнят единичный объём на высоте , имея скорость (вертикальную составляющую), где находится из соотношения:

.

Отбрасывая бесконечномалые второго порядка, получаем

.

Но, как уже было сказано выше,

,

или ,

т.е. .

Но и ,

т.е. .

Итак,

Упражнение. Найти из условия .

Характеристики

Список файлов книги