151070 (598907), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

где - результирующий вращающий момент, модуль этого вектора равен ; - угловое ускорение, J = ml² – момент инерции груза относительно оси ОО, проходящей через точку подвеса О, перпендикулярно плоскости колебаний (плоскости чертежа).

Дифференциальное уравнение колебаний математического маятника в отсутствии сил сопротивления имеет вид

, (2)

откуда получаем

(3)

Для достаточно малых углов (5-6) sin (в радианах), тогда

, (4)

где .

Уравнение (4) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением является функция

, (5)

где ₀ – амплитуда, ₀ – начальная фаза. В этом можно убедиться, подставив (5) в (4).

Из (5) следует, что угол отклонения маятника из положения равновесия изменяется по гармоническому закону. Величина является циклической частотой собственных колебаний маятника, тогда величина

(6)

- период колебаний математического маятника.¹

Из выражения (6) следуют три закона колебаний математического маятника:

При малых углах отклонения (sin или 6⁰) и в отсутствие сторонних сил

1. период колебаний не зависит от массы маятника;

2. период колебаний не зависит от амплитуды;

3. период колебаний определяется формулой .

Две из этих закономерностей подлежат проверке в данной работе.

1.2. Экспериментальная часть

Используемый в работе маятник представляет собой модель математического маятника - груз, подвешенный на тонкой нити. В работе используются не менее трех грузов, размеры которых значительно меньше длины нити (примерно как 1:50) и которые существенно отличаются по массе (примерно как 1:2:4), но близки по форме и размерам, чтобы силы сопротивления, возникающие при их движении, были примерно одинаковыми. Следует помнить, что длина маятника – это расстояние от точки подвеса до центра массы груза. Начальный угол отклонения маятника из положения равновесия не следует брать больше, чем 10-15.

Задание 1. Проверка влияния массы математического

маятника на период его колебаний

1. Закрепив тело на подвесе, измеряют время 10 – 20 полных колебаний при возможно большей длине маятника. Повторяют измерения для других грузов. Данные заносят в таблицу 1.1 отчета.

2. Вычисляют период колебаний с точностью до 0,001 секунды.

3. Вычисляют оценочно относительную инструментальную погрешность измерений .

4. Сравнивают периоды колебаний. Если различие в периоде колебаний не превышает 1% (приблизительно 0,01 с), то можно сделать вывод о практической независимости периода колебаний математического маятника от его массы.

Задание 2. Изучение зависимости периода колебаний

математического маятника от его длины

1. Подвешивают на нити стальной шарик. Длину подвеса изменяют с таким шагом, чтобы получить с данной нитью 5-6 экспериментальных точек. Число колебаний в каждом опыте 10-15. Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5-6. Полученные данные заносят в таблицу 1.2 отчета.

2. Зависимость Т=f(l) нелинейная. Поэтому для удобства экспериментальной проверки эту зависимость следует линеаризировать. Можно, например, построить график зависимости квадрата периода колебаний от длины маятника Т²=f(l). Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом, то можно сделать вывод о выполнении формулы (6) и следовательно, одного из законов математического маятника. Если разброс велик, то следует повторить всю серию измерений.

Контрольное задание. Определение ускорения свободного падения.

С помощью полученного графика можно определить ускорение свободного падения. Предварительно следует получить точное уравнение экспериментальной прямой. Для этого применяют метод наименьших квадратов (МНК) и определяют угловой коэффициент прямой, т.е.

k=T²/l = 4²/g , откуда g=4²/k.

Определите из графика k =T²/l и вычислите ускорение свободного падения.

По формулам МНК определите погрешность измерения g.

Часть II. Физический маятник

2
.1. Теоретическая часть

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр масс С тела (рис.2).

Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол , то составляющая силы тяжести уравновешивается силой реакции оси О, а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом

. (7)

Знак минус означает, что угловое смещение и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника из положения равновесия sin , поэтому сила F -mg и она ведет себя подобно упругим силам.

Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О, то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения

, (8)

где М – момент силы F относительно оси О, J – момент инерции маятника относительно оси О, - угловое ускорение маятника.

Момент силы в данном случае равен

M = Fl = -mgl , (9)

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

С учетом (9) уравнение (8) можно записать в виде

(10)

или

, (11)

где

Решением дифференциального уравнения (11) является функция

=₀cos(₀t+) , (12)

позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t. Из выражения (12) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой колебаний ₀, циклической частотой , начальной фазой и периодом

T=2/₀= 2{J₀+ml²)/mgl}^1/2, (13)

Анализ формулы (13) позволяет сформулировать следующие закономерности колебаний физического маятника:

При малой амплитуде и в отсутствие сторонних сил

1. период колебаний физического маятника зависит от момента инерции маятника относительно оси вращения (качания);

2. период колебаний физического маятника при малых смещениях не зависит от амплитуды колебаний;

3. период колебаний физического маятника сложным образом зависит от положения центра масс маятника относительно точки подвеса¹.

2.2. Экспериментальная часть

Применяемые в данной работе физические маятники представляют собой:

1) однородный стержень, достаточно длинный, чтобы момент инерции относительно центра его массы можно было рассчитывать по формуле J₀ = ml²/12;

2) плоские тела правильной геометрической формы, момент инерции которых может быть рассчитан исходя из их геометрии и массы.

Стержни закрепляются в специальной оправе с призматическим основанием, и после установки на платформу превращаются в маятники.

Плоские тела имеют отверстия для подвешивания на ось вращения.

Период колебаний маятника измеряют с помощью секундомера.

Задание 1. Изучение зависимости периода колебаний физического маятника от его

момента инерции и расстояния между осью качаний и центром тяжести

маятника

1. Закрепите оправу на конце стержня и установите его на вилку. Измерьте расстояние l₁ от оси качаний до центра тяжести стержня.

2. Отклоните стержень на 5 -6 и измерьте время 5-10 полных колебаний. Определите период колебаний.

3. Переместите оправу ближе к центру тяжести стержня. Измерьте расстояние l₂. Снова измерьте период колебаний стержня.

4. Тем же образом необходимо провести 5-6 опытов, постепенно перемещая опорную призму к середине стержня. Все результаты измерений занесите в таблицу 2.1. отчета.

4. По результатам опыта вычислите величины l² и (T²l).

5. Следует построить два графика. Первый график зависимости T=f(l) отображает сложную зависимость периода колебаний физического маятника от его момента инерции и расстояния до оси качания. Второй график – линеаризация той же зависимости. Если точки на втором графике ложатся на прямую с небольшим разбросом, что объясняется погрешностями измерений, то можно сделать вывод о правильности формулы (13) для периода колебаний физического маятника.

Задание 2. Определение моментов инерции тел различной формы методом

колебаний.

1. Из набора тел к работе возьмите (по указанию преподавателя) одно и измерьте период его колебаний относительно произвольной оси.

2. С помощью формулы (16) вычислите момент инерции тела относительно оси качаний.

3. Произведите необходимые геометрические измерения и, зная массу тела, вычислите момент инерции тела относительно центра масс. С помощью теоремы Гюйгенса – Штейнера рассчитайте момент инерции тела относительно оси, проходящей через ось качаний.

4. Величину моментов инерции, полученных при измерении, сравните с рассчитанными теоретически. Для корректного заключения следует оценить погрешности измеренного и вычисленного моментов инерции. Относительная погрешность измеренного момента инерции находится по формуле:

(14)

Относительная погрешность вычисленного момента инерции определяется из расчетной формулы для заданного вам тела и погрешностей, входящих в нее величин.

Контрольное задание. Определение ускорения свободного падения и длины стержня

С помощью полученного графика зависимости (T²l) = f(l²), можно определить ускорение свободного падения и длину стержня, используемого в опыте. Для этого следует определить угловой коэффициент наклона прямой и величину отрезка, отсекаемого прямой от оси OY:

(15)

При вычислении длины стержня используйте экспериментально полученное значение ускорения свободного падения.

В выводе сравните полученные величины g и d с их действительными значениями.

Характеристики

Список файлов книги