123070 (598562), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Формула (2.8) характеризует плотность теплового потока единичного элемента изотермической поверхности. Понятие плотности теплового потока, как будет показано ниже, применимо к любой, а не только к изотермической поверхности.

Опыт показывает, что передача теплоты теплопроводностью происходит по нормали к изотермической поверхности от мест с большей температурой к местам с меньшей температурой. Следовательно, вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности в направлении падения температуры. Можно говорить о плотности теплового потока и вдоль любого другого направления l, отличного от направления нормали п. В этом случае плотность теплового потока в направлении l есть проекция вектора q на это направление, т.е. величина q·cos(n,l).

Сущность гипотезы Фурье состоит в том, что тепловой поток через элемент изотермической поверхности вполне определяется значением температурного градиента в рассматриваемой точке М. Возникновение тепловых потоков вдоль изотермических поверхностей невозможно, так как по всей изотермической поверхности составляющая градиента температуры равна нулю. Следовательно, векторы плотности теплового потока q и grad T направлены по нормали к изотермической поверхности, но в противоположные стороны (рис. 2.4).

Рис. 2.4

С увеличением перепада температур, т. е. с возрастанием температурного градиента, увеличивается и плотность теплового потока. Опыты показали, что плотность теплового потока можно считать пропорциональной первой степени удельного перепада температуры. Это и явилось основой гипотезы Фурье о наличии простейшей количественной зависимости между абсолютными значениями векторов плотности теплового потока и температурного градиента. На основе этих данных, а также соображений о противоположном направлении этих векторов закон Фурье в векторном виде записывается следующим образом:

q = - λ grad T. (2.9)

Этот закон, сформулированный в виде гипотезы, был подтвержден многочисленными опытами. Выражение (2.9) описывает механизм теплопроводности и используется при выводе уравнения теплопроводности, лежащего в основе всех теоретических исследований процессов теплопроводности.

Коэффициент пропорциональности λ называется теплопроводностью и является физической константой, характеризующей теплопроводящие свойства материала данного тела. Подставляя в уравнение (2.9) единицы q и температурного градиента, найдем для λ единицу Вт/(м-град).

Числовое значение теплопроводности определяет количество теплоты, проходящее через единицу площади изотермической поверхности в единицу времени при градиенте температуры, равном единице. Значение теплопроводности в общем случае зависит от природы вещества, его структуры, влажности, давления, температуры и других факторов. В большинстве случаев теплопроводность λ для различных материалов определяется опытным путем, а при технических расчетах значение λ берется из справочных таблиц.

С повышением температуры λ возрастает (что связано с увеличением скорости движения молекул и их учащенным соударением), от давления же λ практически не зависит.

Выражение (2.8) запишем в виде

dQ= q·dσ·dt. (2.10)

Как отмечалось, нормаль п к элементу dσ изотермической поверхности может иметь два направления (направляющие косинусы этих направлений отличаются только знаками). Условимся считать тепловой поток положительным, если направление потока совпадает с выбранным направлением нормали, и отрицательным, если оно ему противоположно. Для абсолютных значений векторов, входящих в равенство (2.9), следует, что q=λ|gradT|. Теперь в равенстве (2.6) необходимо поставить знак минус, т. е. |grad Т|= - дТ/дп и

q=—λ∂T/∂n. (2.11)

Можно писать закон Фурье в скалярной форме:

dQ=- λ(dT/dn)dσdt. (2.12)

Выражение (2.12) определяет количество теплоты, проходящее через малый участок dσ изотермической поверхности за время dt по направлению нормали n к площадке dσ.

Теплосодержание S [ватт/г] это количество теплоты, сообщённое твердому телу при нагреве до температуры T, отнесенное к единице его массы, отсчитывают при технических расчетах не от абсолютного нуля, а от значения, соответствующего нулю стоградусной шкалы. Теплосодержание железа S при нагреве от 0 до 1600° возрастает на 1434 кал/г. В критических точках, соответствующих аллотропическим превращениям Feα→ Fer (906°) и Fer —>Feα (1401°), а также температуре плавления (1528°), при нагреве поглощается, а при охлаждении выделяется теплота, и теплосодержание изменяется скачкообразно.

Теплоемкость твердого тела (истинная или при данной температуре) с ватт/г°С представляет предел отношения количества теплоты ∆S, сообщенного телу, к соответствующему изменению температуры ∆Т при бесконечном уменьшении этого изменения с=dS/dT.

Для расчетов иногда удобно принимать среднюю теплоемкость в данном промежутке температур, представляющую отношение количества теплоты S2—S1, сообщенного телу, к соответствующей разности температур T2—T1. Так, например, средняя теплоемкость железа в промежутке от 0 до 1500° составляет 256/1500=0.73 ватт/г С°.

Так как в сварочных процессах масса свариваемого металла изменяется несущественно удобно в расчетах использовать удельную объемную теплоемкость, численно равную произведению массовой теплоемкости на плотность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается так называемым дифференциальным уравнением теплопроводности, на основе которого строится математическая теория теплопроводности. В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, сочетаемый с законом Фурье.

Выделим в теле некоторую часть объема V, ограниченную замкнутой поверхностью S, через которую происходит тепловое взаимодействие выделенной части с окружающей ее средой — остальной частью тела. Имеет место следующее утверждение: количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за время dt вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме:

Q = Q1 + Q2. (2.13)

где Q — изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме V за время dt, Дж; Q1 — количество теплоты, введенное в выделенный объем путем теплопроводности за время dt, Дж; Q2 — количество теплоты, которое выделилось в объеме V за время dt вследствие внутренних источников теплоты, Дж.

Это утверждение вместе с законом Фурье положено в основу вывода
дифференциального уравнения теплопроводности — основного уравнения аналитической теории теплопроводности.

Рис. 2.5

Пусть V — выделенный объем произвольной формы части тела, ограниченный замкнутой поверхностью S (не обязательно изотермической); n — единичный вектор внешней нормали к точкам поверхности S (рис. 2.5); Т(х, у, z, t) — температура тела в точке (х, у, z) в момент времени t. Вычислим общее количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за малый промежуток времени dt, имея в виду, что Q=Q1+Q2. Для вычисления Q1 воспользуемся законом Фурье в скалярной форме. Количество теплоты, подведенное в выделенный объем через элементарную площадку dσ за время dt, равно

dQ1 =λ∂T/∂n·dσ·dt = λ·n·gradT dσ· dt =- qndσ·dt (2.14)

где q =— λ grad T—вектор плотности теплового потока.

Количество теплоты, протекающее за время dt через площадь поверхности S, выразится интегралом

(2.15)

где qn — проекция вектора q на нормаль п.

Поверхностный интеграл (2.15) можно преобразовать в объемный по формуле Остроградского — Гаусса, связывающей двойной интеграл по поверхности S с тройным интегралом по объему V, ограниченному этой поверхностью:

(2.16)

Таким образом,

(2.17)

Выделение или поглощение теплоты внутри объема V удобно хаpактеризовать с помощью плотности (мощности) тепловых источников. Под плотностью тепловых источников понимают такую функцию F(x, у, z, t), когда в элементарном объеме dV за промежуток времени dt выделяется количество теплоты, равное

dQ2= F(x, у, z, t)dVdt= F(M, t)dVdt. (2.18)

Тогда за промежуток времени dt в теле объемом V выделится количество теплоты

(2.19)

Здесь F(M, t)>0; если F(M, t)<0, то теплота не выделяется, а поглощается; функция F(M, t) считается непрерывной и ограниченной.

Общее количество теплоты Q,, полученное выделенным объемом V,

(2.20)

С другой стороны, согласно формуле (2.13), это количество теплоты равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме. Указанное изменение на основании первого закона термодинамики может быть выражено формулой

Q=CdT, (2.21)

где С — теплоемкость выделенного объема; dT — изменение его температуры.

Таким образом, Q может быть вычислено двумя способами, с одной стороны, по формуле (2.20), с другой — путем учета изменения температуры в точках объема V, ограниченного поверхностью S. В точке (х, у, z) за промежуток времени dt температура Т(х, у, z, t) изменится на

Т(х, у, z, t+dt)-T(x, у, z, t)=(dT/dt)dt.

Элементу объема dV массой ρdV для такого изменения температуры потребуется количество теплоты, равное cρ (dT/dt)dVdt, а всему объему

(2.22)

где с—удельная теплоемкость, Дж/(кг-град); ρ — плотность вещества, кг/м3; ср, Дж/(м3-град).

Принимая во внимание (2.21) с учетом (2.20) и (2.22), находим

(2.23)

Равенство (2.23) должно выполняться для любой части тела объемом V. Это возможно только тогда, когда в каждой точке внутри тела

cρ(∂T/∂t) + divq – F(M,t) = 0 (2.24)

Это заключение справедливо, если левая часть в равенстве (2.24) — непрерывная функция. Предположим, что в точке М(х, у, z) равенство нарушается, т. е., например, [cpdT/dt+divq—F(M, t)]>0. Тогда, интегрируя обе части неравенства по некоторой области V, содержащей точку М, получим противоречие с условием (2.23).

Так как q=—λgradT, то равенство (2.24) можно записать следующим образом:

cp(dT/dt)=div(λgvadT)+F(M, t). (2.25)

Получено уравнение, которому должна удовлетворять функция Т(х, у, z, t), представляющая собой температуру некоторого тела. Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье.

Для изотропного гомогенного тела параметры с, ρ, λ постоянные; далее, так кaк div(grad T)= ∆T, где ∆ — оператор Лапласа, то окончательно запишем

дТ/∂t = а∆Т(М, t)+[1/(cp)]F(M, t), (2.26)

где а= λ/(ср) — коэффициент пропорциональности, называемый температуропроводностью, м2/ч.

Тогда, в декартовых координатах уравнение (2.26) имеет вид

dT/dt=a(∂2 T/ ∂x2 + ∂2T/∂y2 +∂2T/∂z2)+[1/(cp)]F(x, у, z, t). (2.27)

В отличие от λ, которая характеризует теплопроводящую способность тела, а характеризует теплоинерционные свойства тела и является мерой скорости выравнивания температурного поля в рассматриваемой среде. Действительно, по определению, а=λ/(ср), где сρ — объемная изобарная теплоемкость. Отсюда температуропроводность а прямо пропорциональна теплопроводности λ и обратно пропорциональна аккумуляционной способности сρ вещества. Особенно наглядным становится физический смысл а в уравнении теплопроводности, когда отсутствует внутреннее тепловыделение и ∂T/∂t=a∆T(M, t). Зная вблизи точки М(х, у, z) зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будет нарастать (или спадать) температура в этой точке при переходе к следующему моменту времени. При этом, чем больше а (т. е. чем меньше сρ), тем пропорционально быстрее меняется во времени температура. Таким образом, а характеризует способность вещества изменять с большей или меньшей скоростью свою температуру во времени.

Уравнение (2.26) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, в котором независимыми переменными являются время и три пространственные координаты, а зависимой переменной— функция Т (температура). Это уравнение первой степени (линейное), поскольку зависимая переменная Т входит в него только в первой степени. Но вместе с тем оно является уравнением второго порядка, так как дифференциальный оператор Т содержит производные второго порядка от Т по пространственным переменным. Функция F считается заданной функцией, в общем случае функцией координат и времени.

Может, в частности, оказаться, что температура рассматриваемого тела в любой его точке не изменяется во времени, т. е. является функцией только координат (установившееся состояние). Тогда ∂T/∂t=0 и уравнение (2.26) принимает вид

∆T(M)+(1/λ)F(M)=0, (2.27)

где плотность тепловых источников F (М) уже не зависит от времени.

Уравнение (2.27) называется уравнением Пуассона.

Если внутри тела отсутствуют тепловые источники и температурное поле стационарно, то имеем уравнение (в декартовых координатах)

∆Т(М)=∂2T/ ∂x2 + ∂2T/∂y2 +∂2T/∂z2 =0 , (2.28)

которое называется уравнением Лапласа.

Характеристики

Список файлов книги