86341 (597884), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Доказательство. Так как по предыдущей теореме функция 
ограничена на 
сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на - число 
. Тем самым, множества 
, 
,..., 
,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения 
: 
, 
. Эти не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):
и ограничены сверху числом 
. Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел 
Так как 
, то и
по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть 
. Но при всех 
, и в том числе 
. Отсюда получается, что 
, то есть максимум функции достигается в точке 
.
Аналогично доказывается существование точки минимума.
В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию
на отрезке 
. Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что 
) и 
, однако значение1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что 
, а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке 
, так что при 
предел не равен значению функции в точке0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию 
на интервале 
. Очевидно, что функция непрерывна и что 
и 
, однако ни значения0, ни значения1 функция не принимает ни в какой точке интервала . Рассмотрим также функцию 
на полуоси 
. Эта функция непрерывна на , возрастает, принимает своё минимальное значение0 в точке , но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом 
и 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
