86040 (597859), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.

Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности называется матрица С размерности , каждый элемент которой определяется формулой: Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример.

. При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет Найдем элементы матрицы С:

Итак,

Обратная матрица.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .

Cпособ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число.

Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, т.е. где числа, переменные.

Линейным уравнением называется уравнение вида

где и b – числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Решением линейной системы (2) называется набор чисел

которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Метод Гаусса решения линейных систем.

Замечание. Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.

Способы нахождения единственного решения системы,

в которой число уравнений равно числу неизвестных:

Пусть (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на где i – номер очередного уравнения. Коэффициенты при во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

.

Если новые коэффициенты при х₂ не все равны нулю, можно таким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

.

Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы единственным образом определяется , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Замечание. Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.

Правило Крамера.

Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

.

Правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:

1. Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

2. Если = =0, система имеет бесконечно много решений.

3. Если =0, а хотя бы один из система не имеет решений.

Совместность линейных систем.

Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Вопросы для самопроверки.

1. Как характеризуется вектор в n-мерной прямоугольной системе координат?

2. Чему равно скалярное произведение двух векторов?

3. Как определяется местоположение элемента в матрице?

4. Что такое единичная матрица?

5. Что такое транспонированная матрица?

6. Каким требованиям должны удовлетворять перемножаемые матрицы?

7. Что такое обратная матрица?

8. Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формулы Крамера?

9. Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса?

ТЕМА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Понятие скаляра и вектора. Модуль вектора. Операции со скалярами и векторами. Скалярное произведение. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками. Уравнения прямой на плоскости. Пересечение прямых. Прямая, проходящая через две данные точки. Прямая, параллельная и препендикулярная данной прямой. Уравнение плоскости. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Скаляром называется величина, полностью характеризующаяся своим численным значением. Вектором называется направленный отрезок прямой. Обозначается , .Отрезок имеет начало и конец, направление вектора указывается стрелкой. Величина, равная длине вектора, называется модулем (абсолютной величиной вектора) вектора а и обозначается а. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами.

Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а

Свойства сложения:

Свойство 1. a + b = b + a.

Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c). b

Свойство 3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a+О=а.

Свойство 4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a^/ такой, что а+а^/=О.

Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

Свойства умножения вектора на число:

Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.

Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.

Свойство 3. k(ma) = (km)a.

Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = ka.

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ab = |a||b| cosφ . Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .

Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

a = {X₁, Y₁, Z₁}, b = {X₂, Y₂, Z₂},

то ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ .

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Уравнение Ф(х,у) = 0 называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

Прямая на плоскости.

,

каноническое уравнение прямой.

-

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения

можно преобразовать это уравнение к виду:

x = x₀ + lt, y = y₀ + mt -

параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

прямой в виде:

у = kx + b -

уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Действительно, все точки прямой l₁, параллельной l и проходящей

через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них на постоянную величину b.

Неполные уравнения прямой.

1. С = 0 - прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.

2. В = 0 - прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой {A,0} перпендикулярна оси Оу).

3. А = 0 - прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.

4. В=С=0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.

5. А=С=0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.

где и равны величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Уравнение прямой в отрезках.

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

1. Если прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0,

то

.

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями, по аналогии с пунктом 1 получим:

,

- условие параллельности,

- условие перпендикулярности.

Здесь и - направляющие векторы прямых.

3. Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

у = k₁x +b₁ и y = k₂x + b₂, где , а α₁ и α₂ – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α₂ - α₁. Тогда

.

Условие параллельности имеет вид: k₁=k₂,

условие перпендикулярности – k₂=-1/k₁, поскольку при этом tgφ не существует.

Расстояние от точки до прямой.

Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат).

Расстояние от точки до прямой определяется так:

Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением

3х + 4у + 15 = 0. А² + B²=9+16=25, C=15>0, поэтому нормирующий множитель равен

-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно

Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.

Р асстояние между двумя точками М(х,у,z) и N( х₁,у₁,z₁) выражается формулой

d (MN) = (х₁ – x)² + (у₁ – y)² + (z₁ – z)²

Плоскость в пространстве.

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.

уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение в виде:

Ax + By + Cz + D = 0,

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

уравнение плоскости в отрезках.. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Косинус угла между плоскостями α₁ и α₂ равен

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

Характеристики

Список файлов книги