85504 (597803), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Вообще же, этим методом решается любое уравнение вида:

,

а уравнение Пелля лишь как частный случай, при t = 2 и N = 1.

Уравнение

. (1)

(У²=Х³-Х, У²=Х³-Х+1, У²=Х³+аХ+В)

Рассмотрим 4 варианта:

- I У - нечётное число, Х - нечётное число, К - чётное число;

- II У - нечётное число, Х - чётное число, К - нечётное число;

- III У - чётное число, Х - чётное число, К - чётное число;

- IV У - чётное число, Х - нечётное число, К - нечётное число.

Решение этого уравнения принципиально ни чем не отличается от решения уравнения Пелля, - в обоих уравнениях наличие двух переменных.

Вариант I.

Во всех четырёх вариантах У>Х, и следовательно ₁> ₂

Тогда будет

(2)

Получилась система уравнений (1) и (2).

Хотя и без решения системы часть решений уже можно определить.

Рассмотрим частный случай уравнения (2) при m=1.

,при m≥1.

Т.к. K чётное число, тогда K=8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360 ….

Получится возрастающий ряд K.

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У-Х=2, 4, 6, 8, 10, 12 …. при положительных значениях радикала и

У-Х=-4, -6, -8, -10, -12 …. при отрицательных значениях радикала.

Рассмотрим четыре примера, взяв соответственно:

1) У-Х=2 K=8

2) У-Х=4 K=24

3) У-Х=6 K=48

4) У-Х=8 K=80

1) У=Х+2, подставим в уравнение (1) при K=8

Х₁=1 Х₂=2 Х₃=-2

У₁=3 У₂=4 У₃=0

K=8 K=8 K=8

2) У=Х+4

Х=1

У=5

K=24

3) У=Х+6

Х=1

У=7

K=48

4) У=Х+8

Х₁=1 Х₂=4 Х₃=-4

У₁=9 У₂=12 У₃=4

K=80 K=80 K=80

Вариант II.

(3)

Подставляем в (3), получаем

, m≥1.

При m=1 K примет значения –7, 1, 17, 41, 73, 113 ….;

Как и в предыдущем варианте получится возрастающий ряд K, и ему соответствует ряд разностей:

У-Х=-1, 1, 3, 5, 7, 9….; У-Х=-3, -5, -7, -9….

Вариант III.

После подстановки ₁, ₂, окончательно получим

, m≥1.

При m=1 K примет значения –4, 8, 28, 56 ….

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У-Х=0, 2, 4, 6….; У-Х=-4, -6, -8, -10….

Вариант IV.

, m≥1.

При m=1 K примет значения 3, 15, 35, 63, 99 ….

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У-Х=1, 3, 5, 7, 9 ….; У-Х=-3, -5, -7, -9, -11….

Уравнения У²=Х³-Х, У²=Х³-Х+1, У²=Х³+аХ+В и прочие уравнения эллиптических кривых познавательного интереса для данного алгоритма не представляют.

Повторяясь, скажу, важно лишь количество неизвестных. Поэтому распишу лишь первое из них.

- I У - чётное число, Х - нечётное число;

- II У - чётное число, Х - чётное число, всегда У > Х, и как следствие ₁> ₂.

Вариант I.

Т.к.

Тогда

После подстановки

Вариант II.

Сразу пишу ответ

И после всех преобразований и подстановок

Работа при исследовании уравнений данным алгоритмом достаточно монотонная.

Исследование уравнения проведено, кстати, не до конца.

Не рассмотрена ситуация У < Х.

Иррациональные корни уравнения

.

Известно, что данное уравнение имеет иррациональные корни. Но для решения, предположим, что уравнение увидели впервые. И тогда начало решения будет традиционным для данного алгоритма.

Рассмотрим 2 варианта:

- I Х - чётное число, У - нечётное число;

- II Х - нечётное число, У - чётное число.

Всегда Х > У

Вариант I.

Функциональное уравнение общего вида будет:

, где , (1)

Преобразования изображу подробно

(2)

В уравнении (1) ,

Тогда ,

Значения и подставим в формулу (2)

Исходное уравнение

запишем в виде

Тогда

До конца не преобразуя, оставляю решение в виде системы

(3)

Вариант II.

, где , (4)

Преобразования без комментариев.

(5)

В уравнении (4)

Тогда ,

Значения и подставим в формулу (5)

И сразу пишу систему решений

(6)

Итого: иррациональными решениями уравнения

являются две системы уравнений (3) и (6).

Отрицательные значения радикалов не рассматриваю.

Поиск Пифагоровых троек

(1)

Пусть Х – нечётное число, У – чётное число, Z – нечётное число

и Х > У > Z.

,

уравнение представлено в виде , и далее оно расписано в виде произведения (2)

Можно составить три системы уравнений:

а)

б)

в)

И по порядку начинаем рассматривать все три варианта.

Заранее составим заготовку для их решения.

Откуда следует

(3)

а)

Произведя подстановку соотношений (3) и с учётом уравнений (2) получим систему из трёх уравнений с тремя же неизвестными.

После соответствующих преобразований будет

Перед радикалом убран знак «минус» ибо комплексные решения не интересуют.

Простой перебор значений m даёт следующие результаты:

- при m=2 , тогда

- при m=7 , тогда

б) Система (б) после сокращений примет вид

После подстановок (3) и с учётом уравнения (2) получим систему уравнений:

откуда

При m≥1, Z =1, 3, 5, 7, 9, 11…. т.е. все нечётные числа, хотя единицу надо убрать, ибо она не удовлетворяет условию системы (4).

Из (Х-У)(Х+У)=Z² получаем, систему уравнений

(4)

Решая данную систему, получаем ряд значений Пифагоровых троек.

В этой таблице, когда Z является простым числом, дальнейшие расчёты Пифагоровых троек отсутствуют.

Когда Z является составным числом, возможен дальнейший расчёт.

Возьмём Z=15 Z²=225

225=1х 225; 3х75; 5х45; 9х25

Будем рассматривать систему (4), подставляя подчёркнутые произведения .

Х=39, У=36, Z=15, после сокращения на три

Х=13, У=12, Z=5

Х=25, У=20, Z=15, после сокращения на пять

Х=5, У=4, Z=3

Х=17, У=8, Z=15, несколько неожиданный

результат, ибо рассматривается по условию У > Z.

Возьмём Z=27 Z²=729

729=1х729; 3х243; 9х81

Расчёт показывает

Х=123, У=120, Z=27, после сокращения на три Х=41, У=40, Z=9;

Х=45, У=36, Z=27, после сокращения на девять Х=5, У=4, Z=3.

Возьмём Z=35 Z²=1225

1225 = 1х1225; 5х245; 7х175; 25х49.

Х = 125 (25), 91 (13), 37

У = 120 (24), 84 (12), 12

Z = 35 (7), 35 (5), 35

И последний раз в качестве примера

Возьмём Z=39 Z²=1521

1521=1х1521; 3х507; 9х169; 13х117.

Х = 255 (85), 89, 65

У = 252 (84), 80, 52

Z = 39 (13), 39, 39

К сожалению системы пока не вижу.

в) После преобразований получается:

И формула для Z.

Рассмотрим следующий вариант.

От вышеуказанного он отличается следующим условием: У < Z,

а следовательно и ^< .

Получается девять систем уравнений.

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

И после подстановки в эти девять систем значений

из соотношений (3), получается также девять систем значений Х, У, Z.

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

И далее, - все девять систем надо решить.

г)

- нет решения в целых числах при любых m.

д)

е) , при m=2, У=8;

Решим уравнение (X-Z)(X+Z)=64 перебором произведений

64=1х64; 2х32; 4х16.

Из соотношения 2х32, получаем

т.е.

Система

Даёт значения

ж) - нет корней в целых числах.

з) , при m=2, У=12 и т.д.

Разберём до конца У=12 и соответственно У²=144.

Число 144 даёт следующие интересующие нас произведения

144=2х72; 4х36; 6х24; 8х18.

Из формулы (Х-Z)(X+Z)=У² получим следующие значения Х, У, Z.

и) - нет корней в целых числах.

к) - нет корней в целых числах.

л) - нет корней в целых числах.

м) - нет корней в целых числах.

Рассмотрим следующий вариант:

- пусть все три числа чётные и Х>У>Z, как и ^{> >} .

Заранее знаю, что после сокращения всех членов на 2² уравнение перейдёт в область всех натуральных чисел.

Из последнего уравнения составим три системы уравнений, после соответствующих преобразований, используя соотношения

п)

р)

Рассмотрим все три полученные системы уравнений (н), (п), (р).

н) и преобразуя – Z=2m, получились все чётные числа при m ≥1.

В таблице приведены значения троек для m ≤10, при условии Х-У=2.

п) - то же выражение, что и в (н).

р)

После упрощения.

При m=2, 3 значения троек будут

При рассмотрении вопроса о Пифагоровых тройках не было целью составление таблиц этих троек. Ибо целью этой статьи является показ возможностей алгоритма решения Диофантовых уравнений.

Решение уравнения Каталана

Характеристики

Список файлов книги