Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

При построении этого графика пределы изменения значений обоих аргументов лучше выбрать от –2 до +2.

Рис. 2.9. Пример построения графика функции z(x,y) = –sin(x² + y²)

Форматирование трехмерных графиков

Для форматирования графика необходимо дважды щелкнуть по области построения — появится окно форматирования с несколькими вкладками: Appearance, General, Axes, Lighting, Title, Backplanes, Special, Advanced, Quick Plot Data.

Назначение вкладки Quick Plot Data было рассмотрено выше.

Вкладка Appearance позволяет менять внешний вид графика. Поле Fill Options позволяет изменить параметры заливки, поле Line Option — параметры линий, Point Options — параметры точек.

Во вкладке General (общие) в группе View можно выбрать углы поворота изображенной поверхности вокруг всех трех осей; в группе Display as можно поменять тип графика.

Во вкладке Lighting (освещение) можно управлять освещением, установив флажок Enable Lighting (включить освещение) и переключатель On (включить). Одна из 6-ти возможных схем освещения выбирается в списке Lighting scheme (схема освещения).

6. Способы решения уравнений в MathCAD

В данном разделе мы узнаем, каким образом в системе MathCAD решаются простейшие уравнения вида F(x) = 0. Решить уравнение аналитически — значит найти все его корни, т.е. такие числа, при подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Решить уравнение графически — значит найти точки пересечения графика функции с осью ОХ.

6.1 Решение уравнений с помощью функции root(f(x),x)

Для решений уравнения с одним неизвестным вида F(x) = 0 существует специальная функция

root(f(x),x),

где f(x) — выражение, равное нулю;

х — аргумент.

Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение f(x) равно 0.

_!

Внимание. Если правая часть уравнения 0, то необходимо привести его к нормальному виду (перенести все в левую часть).

Перед использованием функции root необходимо задать аргументу х начальное приближение. Если корней несколько, то для отыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение.

_!

Внимание. Перед решением желательно построить график функции, чтобы проверить, есть ли корни (пересекает ли график ось Ох), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример. Решение уравнения с помощью функции root представлено на рисунке 3.1. Перед тем как приступить к решению в системе MathCAD, в уравнении все перенесем в левую часть. Уравнение примет вид: .

Рис. 3.1. Решение уравнения при помощи функции root

6.2 Решение уравнений с помощью функции Polyroots(v)

Для одновременного нахождения всех корней полинома используют функцию Polyroots(v), где v — вектор коэффициентов полинома, начиная со свободного члена. Нулевые коэффициенты опускать нельзя. В отличие от функции root функция Polyroots не требует начального приближения.

Пример. Решение уравнения с помощью функции polyroots представлено на рисунке 3.2.

Рис. 3.2. Решение уравнения с помощью функции polyroots

6.3 Решение уравнений с помощью функции Find(x)

Функция Find (Найти) работает в ключевой связке с ключевым словом Given (Дано). Конструкция Given – Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Если задано уравнение f(x) = 0, то его можно решить следующим образом с помощью блока Given – Find:

– задать начальное приближение

x:= х0

– ввести служебное слово

Given

– записать уравнение, используя знак жирное равно

– написать функцию find с неизвестной переменной в качестве параметра

find(x)=

В результате после знака равно выведется найденный корень.

Если существует несколько корней, то их можно найти, меняя начальное приближение х0 на близкое к искомому корню.

Пример. Решение уравнения с помощью функции find представлено на рисунке 3.3.

Рис. 3.3. Решение уравнения с помощью функции find

Иногда возникает необходимость отметить на графике какие-либо точки (например, точки пересечения функции с осью Ox). Для этого необходимо:

• указать значение x данной точки (по оси Ох) и значение функции в этой точке (по оси Оy);

• дважды щелкнуть по графику и в окне форматирования во вкладке Traces для соответствующей линии выбрать тип графика — points, толщину линии — 2 или 3.

Пример. На графике отмечена точка пересечения функции с осью Ох. Координата х этой точки была найдена в предыдущем примере: х = 2.742 (корень уравнения ) (рис. 3.4).

Рис. 3.4. График функции с отмеченной точкой пересечения

В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace2 изменены: тип графика — points, толщина линии — 3, цвет — черный.

7. Решение систем уравнений

7.1 Решение систем линейных уравнений

Систему линейных уравнений можно решить матричным методом (или через обратную матрицу или используя функцию lsolve(A,B)) и с использованием двух функций Find и функции Minerr.

Матричный метод

Пример. Дана система уравнений:

.

Решение данной системы уравнений матричным методом представлено на рисунке 4.1.

Рис. 4.1. Решение системы линейных уравнений матричным методом

Использование функции lsolve(A,B)

Lsolve(A,B) — это встроенная функция, которая возвращает вектор Х для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов В.

Пример. Дана система уравнений:

.

Способ решения данной системы с использованием функции lsolve(A,B) приведен на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Решение системы линейных уравнений с использованием функции lsolve

Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find

При данном методе уравнения вводятся без использования матриц, т.е. в «натуральном виде». Предварительно необходимо указать начальные приближения неизвестных переменных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. Часто за них принимают столбец свободных членов.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given – Find, необходимо:

1) задать начальные приближения для всех переменных;

2) ввести служебное слово Given;

3) записать систему уравнений, используя знак жирное равно();

4) написать функцию Find, перечислив неизвестные переменные в качестве параметров функции.

В результате расчетов выведется вектор решения системы.

Пример. Дана система уравнений:

.

Решение данной системы с помощью вычислительного блока Given – Find приведено на рисунке 4.3.

Рис. 4.3. Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find

Приближенное решение системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений с помощью функцию Minerr аналогично решению с помощью функции Find (используется тот же алгоритм), только функция Find дает точное решение, а Minerr — приближенное. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке.

Общие рекомендации по решению уравнений и систем уравнений

Ниже перечислены некоторые рекомендации, которые следует выполнять, если MathCAD не может самостоятельно найти решение.

• Можно подобрать другое начальное приближение.

• Можно увеличить или уменьшить точность расчетов. Для этого в меню выбрать Math ► Options (Математика – Опции), вкладка Built-In Variables (Встроенные переменные). В открывшейся вкладке необходимо уменьшить допустимую погрешность вычислений (Convergence Tolerance (TOL)). По умолчанию TOL = 0.001.

Внимание. При матричном методе решения необходимо переставить коэффициенты согласно возрастанию неизвестных х1, х2, х3, х4.

7.2 Решение систем нелинейных уравнений

Системы нелинейных уравнений в MathCAD решаются с помощью вычислительного блока Given – Find.

Конструкция Given – Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Для решения системы уравнений с помощью блока Given – Find необходимо:

1. задать начальные приближения для всех переменных;

2. ввести служебное слово Given;

3. записать систему уравнений, используя знак жирное равно();

4. написать функцию Find, перечислив неизвестные переменные в качестве параметров функции.

В результате расчетов выведется вектор решения системы.

Если система имеет несколько решений, алгоритм следует повторить с другими начальными приближениями.

Примечание. Если решается система из двух уравнений с двумя неизвестными, перед решением желательно построить графики функций, чтобы проверить, есть ли корни у системы (пересекаются ли графики заданных функций), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример. Дана система уравнений

.

Перед решением системы построим графики функций: параболы (первое уравнение) и прямой (второе уравнение). Построение графика прямой и параболы в одной системе координат приведено на рисунке 4.5:

Характеристики

Список файлов книги