183568 (596679), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Штраф за дефицит. Любой склад создается для того, чтобы предотвратить дефицит определенного типа изделий в обслуживаемой системе. Отсутствие запаса в нужный момент приводит к убыткам, связанным с простоем оборудования, неритмичностью производства, т. е. не получение прибыли и т. п. Эти убытки в дальнейшем будем называть штрафом за дефицит.

Номенклатура запаса. В простейших случаях предполагается, что на складе хранится запас однотипных изделий или однородного продукта. В более сложных случаях рассматривается многономенклатурный запас.

Структура складской системы. Наиболее полно разработаны математические модели одиночного склада. Однако на практике встречаются и более сложные структуры: иерархические системы складов с различными периодами пополнения и временем доставки заказов, с возможностью обмена запасами между складами одного уровня иерархии и т. п.

В качестве критерия эффективности принятой стратегии управления запасами выступает функция затрат (издержек), представляющая суммарные затраты на хранение и поставку запасаемого продукта (в том числе потери от порчи продукта при хранении и его морального старения, потери прибыли от омертвления капитала и т. п.) и затраты на штрафы.

Управление запасами состоит в отыскании такой стратегии пополнения и расхода запасами, при котором функция затрат принимает минимальное значение.

Рассмотрим простейшие модели управления запасами.

Пусть функции А(t), В(t) и К(t) выражают соответственно пополнение запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени [0, t]. В моделях управления запасами обычно используются производные этих функций по времени а(t), b(t), r(t), называемые соответственно интенсивностями пополнения, расхода и спроса.

Если функции а(t), b(t), r(t) — не случайные величины, то модель управления запасами считается детерминированной, если хотя бы одна из них носит случайный характер — стохастической. Если все параметры модели не меняются во времени, она называется статической моделью, в противном случае — динамической. Статические модели используются, когда принимается разовое решение об уровне запасов материалов на предприятии на определенный период, а динамические модели используют в случае принятия последовательных решений об уровнях запаса или корректировке ранее принятых решений с учетом происходящих изменений на предприятии.

Уровень запаса в момент t определяется основным уравнением запасов:

J(t) = J₀ + A(t) – B(t), (2.1)

где J₀ - начальный запас в момент t = 0;

A(t) – пополнение запасов продукта;

B(t) –расход запасаемого продукта за промежуток времени [0, t];

Уравнение (1) чаще используется в интегральной форме:

(2.2)

2.1.2 Статическая детерминированная модель без дефицита

Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций r(t) и b(t). Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени θ равно N. Простейшая модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, то есть b(t) = b. Интенсивность найдем по формуле (2.3):

b = N/θ, (2.3)

гдеN - общее потребление продукта;

θ - время, в течение которого расходуется продукт;

Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т.е. функция a(t) не является непрерывной: a(t) = 0 при всех t, кроме моментов поставки продукта, когда a(t) = n. Так как интенсивность расхода равна b, то вся партия будет использована за время T, которое находится по формуле (2.4):

T = n/b, (2.4)

гдеn - объем партии;

b - интенсивность расхода;

Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии n, т.е. J(0) = n. Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рисунке 2.1

Рисунок 2.1 – Уровень запаса в зависимости от времени

На временном интервале [0, T] уровень запаса уменьшается по прямой J(t) = n - bt от значения n до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент T уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения n за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения J(t) повторяется на каждом временном интервале продолжительностью Т.

Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии n, при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными.

Обозначим суммарные затраты через С, затраты на создание запаса — через С₁, затраты на хранение запаса — через С₂ и найдем эти величины за весь промежуток времени Т .

Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны с₁, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени — с₂. Так как за время необходимо запастись N единицами продукта, который доставляется партиями объема n, то число таких партий k равно:

k = N /n = /T (2.5)

Отсюда получаем

C₁ = c₁k = c₁ N /n(2.6)

Мгновенные затраты хранения запаса в момент времени t равны c₂J(t). Значит, за промежуток времени [0, T] они составят:

(2.7)

Средний запас за промежуток [0, T] равен nТ/2, т.е. затраты на хранение всего запаса при линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса.

Учитывая периодичность функции J(t) (всего за промежуток времени будет k=N/n "зубцов", аналогичных рассмотренному на отрезке [0, T]), и формулу (2.5), получаем, что затраты хранения запаса за промежуток времени равны:

(2.8)

Нетрудно заметить, что затраты С₁ обратно пропорциональны, а затраты С₂; прямо пропорциональны объему партии n. Функция суммарных затрат определяется по формуле (2.9)

(2.9)

Графики функций C₁(n) и C₂(n), а также функции суммарных затрат приведены на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Графики функций затрат

В точке минимума функции С(n) ее производная равна

С^/(n) = (c₁N/n²) + (c₂/2) = 0, (2.10)

откуда объем партии равен:

(2.11)

или, учитывая формулу (2.3):

(2.12)

Формула (2.11), называемая формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного объема партии, широко используется в экономике. Эта формула может быть получена и другим способом, если учесть, что произведение С₁С₂ = 0,5с₁с₂N есть величина постоянная, не зависящая от n. В этом случае, как известно, сумма двух величин принимает наименьшее значение, когда они равны, то есть С₁ = С₂ или

(2.13)

Из (2.12) следует, что минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса [10].

2.1.3 Статическая детерминированная модель с дефицитом

В рассматриваемой модели [10] предполагается, что существует дефицит. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при J(t) = 0 спрос сохраняется с той же интенсивностью r(t) = b, потребление запаса отсутствует — b(t) = 0, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рисунке 2.3. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рисунке 2.2 характеризует накопление дефицита.

Рисунок 2.3 – Уровень запаса в зависимости от времени и с учетом дефицита

Из рисунка 2.3 видно, что каждый период "пилы" T = n/b разбивается на два временных интервала, т. е. T = T₁ + T₂, где T₁ — время, в течение которого производится потребление запаса, T₂ — время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии. Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен ее объему n, а меньше его на величину дефицита n s, накопившегося за время T (см. рис. 2.3)

В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами С₁ (на пополнение запаса) и С₂ (на хранение запаса) необходимо ввести затраты С₃ — на штраф из-за дефицита, т.е.

С = С₁ + С₂ + C₃. (2.14)

Затраты С₁, как и ранее, находим по формуле (2.13).При рассмотрении статической детерминированной модели без дефицита было показано, что затраты С₂ при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т₁ равен sТ₁/2; поэтому с учетом (2.8) и (2.5) эти затраты составят

(2.15)

При расчете затрат С₃ штраф за дефицит составляет в единицу времени с₃ на каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период Т₂ равен (n s) Т₂ /2, то штраф за этот период T₂; составит 1/2c₃(n s)T₂, а за весь период определяется по формуле (2.16):

(2.16)

Таким образом, суммарные затраты равны:

(2.17)

Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция С принимает минимальное значение. Оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (в 1/√р раз), чем в задаче без дефицита.

2.1.4 Стохастические модели управления запасами

В стохастических моделях управления запасами [10] спрос является случайным. Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения р(r) или плотность вероятностей (r) (обычно функции р(r) и (r) оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат с₂ на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с₃ на единицу продукции.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.

В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения р(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

(2.18)

В выражении (2.18) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка s r единиц продукта (при s r ), а второе слагаемое — штраф за дефицит на r s единиц продукта (при r > s).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей (r), выражение C(s) принимает вид:

(2.19)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (2.18) или (2.19) принимает минимальное значение.

Известно, что при дискретном случайном спросе r выражение (2.19) минимально при запасе s₀, удовлетворяющем неравенствам

Характеристики

Список файлов ВКР