Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Основными материалами реакторостроения являются металлы – сталь, цирконий и т.д. В металлах природа сил взаимодействия между атомами не двухчастичная (парная) а многочастичная. Effective Medium Theory (EMT) дает реалистическое описание металлической связи с учетом её многочастичной природы [3,4]. EMT- потенциал, с вычислительной точки зрения, не намного сложнее парного потенциала, но дает намного более реалистическое описание свойств материалов. Поскольку в данной работе не ставится задача изучения пластических свойств конкретного материала мы будем использовать модельный потенциал Леннарда-Джонса.

Удобно при этом выбрать в качестве единицы длины , единицы энергии и единицы массы - массу атомов (полагаем, что материал состоит из атомов одного сорта). Это приводит к ускорению вычислений. Чтобы перейти к величинам, характеризующим конкретный материал, необходимо ввести соответствующие масштабные множители - для длины, для времени, для скорости, для силы, ( в двумерном случае) для напряжения, где и взяты для данного материала.

Потенциал Леннарда-Джонса простирается до бесконечности. Однако на больших расстояниях он мал. И поэтому его влияние на движение далеких атомов мало. Чтобы ускорить вычисления эту несущественную часть потенциала отбрасывают, или, другими словами, вводят обрезание потенциала

.

(3)

Радиус обрезания традиционно выбирают или . Возможные причины такого выбора будут обсуждаться ниже. В данной работе будет использоваться радиус обрезания . Другие необходимые изменения в потенциале Леннарда-Джонса будут обсуждаться в разделе, посвященном выполнению закона сохранения энергии в МД.

1.3. Алгоритм интегрирования по времени

Основным компонентом программ, использующих метод молекулярной динамики, является алгоритм интегрирования по времени. Он необходим, чтобы проинтегрировать уравнения движения взаимодействующих частиц и найти их траектории.

Алгоритм интегрирования по времени основывается на методе конечных разностей, время при этом задается на конечной сетке, шаг по времени есть расстояние между последовательными точками сетки. Зная положения и скорости в момент времени (точные детали зависят от типа алгоритма) схема интегрирования дает те же величины в более поздний момент времени . Используя процедуру интегрирования временную эволюцию системы можно прослеживать в течении длительного времени.

Конечно, эти схемы приближенными, и, поэтому, существуют ошибки, связанные с ними. Они классифицируются так:

Ошибки обрывания, связанные с точностью метода конечных разностей по отношению к истинному решению. Метод конечных разностей обычно базируется на ряде Тейлора, оборванном на некотором члене. Эти ошибки не зависят от программной реализации метода, они присущи самому алгоритму.

Ошибки округления, связаны с ошибками, возникающими при программной реализации алгоритма. Например, такие ошибки возникают из-за конечного числа цифр, используемых в компьютерной арифметике.

Оба типа ошибок можно уменьшить, уменьшая . Для больших ошибки обрывания доминируют, но они быстро уменьшаются, когда уменьшается. Например, алгоритм Верле имеет ошибки обрывания пропорциональные для каждого временного шага интегрирования. Ошибки округления падают более медленно с уменьшением и доминируют в пределе малых . Использование 64-битной точности (соответствующую “двойной точности” в Fortrane) помогает сохранить ошибки округления минимальными.

В молекулярной динамике наиболее часто используемым алгоритмом интегрирования по времени является, вероятно, так называемый алгоритм Верле [5]. Основная идея состоит в том, чтобы записать разложение Тейлора до третьего порядка вперед и назад по времени. Пусть обозначает скорость, - ускорение и - третью производную от по . Тогда имеем:

.

(4)

Складывая эти 2 выражения получаем

.

(5)

Это основная формула алгоритма Верле. Так как мы интегрируем уравнения Ньютона, то есть просто сила, деленная на массу, и сила в свою очередь есть функция положения :

.

(6)

Видно, что ошибка обрывания алгоритма, когда система эволюционирует в течении времени , есть величина порядка , даже если третья производная не появляется в явном виде. Этот алгоритм в тоже время является простым для программной реализации, точным и стабильным, что объясняет его большую популярность при МД моделировании.

Проблема с этой версией алгоритма Верле состоит в том, что скорости явно не вычисляются. Хотя они не нужны для временной эволюции, но их знание иногда необходимо. Кроме того, они нужны для вычисления кинетической энергии , чья оценка необходима чтобы проверить сохранение полной энергии . Это один из наиболее важных тестов, указывающих, что МД моделирование выполняется корректно. Можно вычислить скорости из положений использую формулу

.

(7)

Однако, ошибки, которые дает это выражение, порядка а не .

Чтобы преодолеть эту трудность, были развиты варианты алгоритма Верле. Они дают точно ту же траекторию и отличаются переменными, которые хранятся в памяти. Leap-frog алгоритм есть один из таких вариантов.

Лучший реализацией того же основного алгоритма есть так называемый алгоритм Верле со скоростью, когда положение скорости и ускорения в момент времени получается из тех же величин в момент времени следующим образом:

.

(8)

Заметим, что необходимо 9N ячеек памяти, чтобы сохранить 3N положений, скоростей и ускорений, но нам не нужно одновременно хранить значения любой из этих величин для двух различных времен.

1.4. Процедура минимизации

Чтобы моделировать деформацию при нулевой температуре используется процедура минимизации, которая позволяет поддерживать систему вблизи локального минимума энергии все время. Деформация и минимизация выполняются одновременно. Алгоритм минимизации представляет собой модифицированный алгоритм МД. После каждого шага по времени МД для каждого атома вычисляется скалярное произведение между импульсом и силой. Для атомов, скалярное произведение для которых отрицательно, импульс зануляется, так как эти атомы движутся в направлении, в котором потенциальная энергия возрастает. Таким образом, кинетическая энергия атомов удаляется, тогда как потенциальная энергия приближается к локальному минимуму энергии вдоль направления движения атома. Такая процедура минимизации быстро сдвигает систему в окрестность локального минимума энергии, но полной сходимости не получается, так как полная сходимость требует числа шагов по времени порядка числа степеней свободы системы. Однако, обычно увеличении числа шагов процедуры минимизации приводит лишь к малым изменениям в эволюции системы.

1.5. Вычисление сил

Наибольших вычислительных усилий требует вычисление сил, действующих между атомами. Поэтому оптимизации алгоритма вычисления сил необходимо уделить особое внимание. Один из шагов в этом направлении состоит в замене сложных для вычисления выражений для сил (например, содержащих экспоненту) на легко вычисляемые выражения (например, сплайны третьего порядка). Второй шаг состоит в использовании потенциалов с ограниченным радиусом действия, или, как указывалось выше, в обрезании несущественной области потенциала, если радиус действия потенциала бесконечен. При этом необходимо вычислить только силы, действующие со стороны ближайших атомов, т.е. находящихся внутри сферы (окружности в двумерном случае) с радиусом равным радиусу обрезания .

Третий шаг состоит в оптимизации алгоритма поиска атомов, ближайших к данному атому. Дело в том, что прямолинейный перебор всех атомов, вычисление расстояний до них и отбрасывание тех атомов, расстояние до которых превышает радиус обрезания , требует количества операций пропорционального , где - число атомов в системе. Следовательно, с ростом число требуемых операций быстро возрастает, и поэтому выполнение вычислений сильно замедляется, а, для больших , делается практически невыполнимым. Таким образом, чтобы избежать этого замедления нужен алгоритм, для которого число требуемых операций росло бы с линейно, а не квадратично. В принципе такой алгоритм прост – нужно перебирать не все атомы, а только достаточно близкорасположенные. Такое утверждение представляет собой тавтологию, пока не конкретизировано понятие близкорасположенных атомов. Чтобы сделать это, разобьем ячейку моделирования на более мелкие субячейки. Тогда близкорасположенные к данному атому будут атомы, которые расположены в субячейках, соседних с субячейкой, содержащей данный атом или в субячейках соседних с соседними.

Удобно разбить ячейку моделирования на субячейки – параллелепипеды (прямоугольники в двумерном случае). Вследствие сильного отталкивания на малых расстояниях, атомы не могут подходить близко друг к другу. Поэтому можно выбрать такие размеры субячеек, что в каждой из них будет находится не более одного атома.

Характеристики

Список файлов ВКР