150378 (594542), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

(3.2)

После простых вычислений можно получить:

(3.3)

Тогда для градиента произвольной функции в этой системе координат:

(3.4)

Где - соответствующие орты в направлениях . Тогда производная в направлении вектора может быть представлена в форме:

(3.5)

Для рассматриваемой функции распределения Больцмана, как это было сделано в односкоростном приближении, соответствующим задаче Милна:

(3.6)

Тогда левая часть уравнения для функции распределения Больцмана в системе координат, описанной ранее, будет выглядеть следующим образом:

(3.7)

3.2 Основные уравнения

Предположим, что имеется сферическая частица (капля жидкости), которая окружена молекулами газа-носителя, концентрация которых - концентрации пара, который может как конденсироваться на капле, так и испаряться. Для того чтобы найти поток пара на частицу и распределение концентрации его вокруг частицы, необходимо рассчитать функцию распределения пара по координатам и ско5ростям. Для этого, вообще говоря, необходимо решить уравнение Больцмана. Будем считать, что линейная форма уравнения Больцмана дает хорошие результаты для рассматриваемого случая:

(3.8)

Здесь - функция распределения, зависящая от и r, а r расстояние от центра частицы до r и - угол между радиальным направлением и направлением скорости молекулы. Другие обозначения: l - средняя длина свободного пробега и

(3.9)

это численная концентрация молекул пара. Для простоты будем работать в системе единиц, где l = 1.

(3.10)

При интегрировании (3.8) по получается уравнение непрерывности:

(3.11)

Функцию распределения удобно разбить на две части:

(3.12)

где - единичная функция Хевисайда. С учетом (3.12) уравнение (3.8) дает два спаренных уравнения для и :

(3.13)

(3.14)

Функции и описывают молекулы пара двигающиеся по направлению к поверхности частицы и от частицы . Численная концентрация молекул и их поток может быть выражен через эти функции:

(3.15)

(3.16)

Система уравнений (3.13) и (3.14) должна быть дополнена граничными условиями:

(3.17)

Это наиболее простые граничные условия, устанавливающие связь между функциями и с помощью вероятности прилипания молекулы пара к поверхности частицы. Формула (3.9) означает, что доля налетающих на частицу молекул пара, которые остаются на ее поверхности, составляет , остальные молекулы, доля которых , зеркально отражаются от поверхности. Ниже будут представлены более общие граничные условия, которые не внесут существенных изменений в дальнейшее решение.

3.3 Формальное решение уравнения для функции распределения.

Введем новые переменные , которые связаны с соотношениями:

(3.18)

В этих переменных уравнения (3.6) и (3.7) принимают форму:

(3.19)

(3.20)

Предположим, что - это известная функция координат, тогда решение уравнения (3.19) можно получить в виде:

(3.21)

где . Правая часть уравнения (3.21) содержит растущую с r экспоненту, от которой следует избавиться выбором функции .Окончательный результат приобретает вид:

(3.22)

В переменных (3.22) имеют форму:

(3.23)

Теперь принимает вид:

(3.24)

3.4 Точные результаты решения уравнений

Дальнейшие шаги связаны с получением явного вида решения (3.24). Для этого необходимо получить зависимость . Введем новую функцию уравнением:

(3.25)

Эта функция предназначена для того, чтобы плавно перейти от значений концентрации пара на поверхности частицы к концентрации на далеких от частицы расстояниях. Естественно, . При подстановке выражения (3.24) в (3.25) получаем:

(3.26)

Здесь введены обозначения . Первый интеграл в правой части (3.26) легко посчитать:

(3.27)

Второй тоже легко привести к удобному для использования виду, для этого введем замену переменных: , :

(3.28)

В результате для получим удобное выражение:

(3.29)

Теперь выражения для распределения концентрации и потока молекул j принимают форму:

(3.30)

(3.31)

Здесь введены следующие обозначения и

(3.32)

В соответствии с уравнением (3.11) можно записать, что , а также , откуда с учетом (3.25) при для потока у поверхности частицы получим:

(3.33)

где D коэффициент диффузии (D=1/3 в БГК приближении) и введем обозначение . Таким образом, найдена связь между потоком у поверхности частицы с параметрами распределения концентрации пара на далеком удалении от нее.

Чтобы установить форму этой зависимости, представим в виде двух слагаемых, каждое из которых определяет поведение концентрации у поверхности и вдали от частицы:

(3.34)

Здесь функция равна единице при и ничтожно мала на расстояниях порядка длины свободного пробега молекул пара и более (r порядка 1 в наших единицах). Тогда

, (3.35)

где

(3.36)

и

(3.37)

При подстановке соотношения (3.34) в уравнения (3.30) и (3.31) можно получить:

(3.38)

(3.39)

где . Уравнение (3.33) позволяет исключить комбинацию при помощи линейной системы уравнений для и :

(3.40)

(3.41)

Решение этих уравнений можно представить через детерминанты:

(3.42)

(3.43)

(3.44)

Окончательно получим:

(3.45)

Можно получить и явную форму этих выражений:

(3.46)

3.5 Пограничный слой.

Следует учитывать, что, несмотря на то, что все выше полученные выражения точные, пока нет рецепта, как считать интегралы, входящие в выражения (3.42- 3.44). Для этого надо понять, как выбрать конкретный вид функции . Вообще говоря, это может быть сделано при нахождении точного решения уравнения (3.8). Однако на данном этапе это невозможно. На самом деле известны свойства функции , поэтому ее можно подобрать, используя подгоночные параметры пробных функций. Для этого необходимо с помощью этой функции суметь подобрать правильный профиль концентрации паров вокруг частицы. Такой функцией может быть зависимость вида:

(3.47)

где величина параметра - это характерное расстояние, на котором свободно молекулярный режим переходит в непрерывный. Множитель - описывает профиль концентрации конденсирующихся паров в безстолкновительном режиме, когда поток пропорционален плотности, а не ее градиенту. Поскольку поток пропорционален , то . Экспоненциальный множитель аппроксимирует переход от свободно молекулярного режима к непрерывному. Таким образом, вместо уравнения (3.36) получается:

(3.48)

Представленная интерпретация достаточно прямолинейна, чувствительность окончательного результата к величине будет позже исследована. На рисунке 1 показан профиль концентрации при различных значениях величины . Вообще говоря, может быть найдена при помощи вариационных расчетов.

Рис. 1. Профиль концентрации вблизи поверхности частицы (см. уравнения (3.25), (3.34) и (3.47)). Концентра­ции нормированы на 1, расстояние измерено в длинах свободного пробега. Кривые 1-4 рассчитаны для = 1, 3, 10, соответственно как функции расстояния от центра частицы. Радиус частицы а=1. Последняя кривая соответствует приближению скачка профиля концентрации: сам профиль концентрации получен из уравнения Фика, а граничные условия для концен­трации пара - из решения кинетического уравнения (см. уравнение (3.59)).

Итак, найдём параметр . Для этого построим функционал и минимизируем его численными методами с помощью ЭВМ. Итак, вспомним уравнение (3.13). Оно и станет основой для нашего функционала:

(3.49)

В результате преобразования получим:

(3.50)

Теперь можно записать функционал, который надо минимизировать относительно параметра :

(3.51)

где

(3.52)

, (3.53)

, (3.54)

, (3.55)

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

Вышеописанная модель была реализована в двух видах: в качестве программы на языке C с использованием библиотеки GSL, а так же в виде приложения пакета Mathcad. Рассмотрим полученные результаты:

Рис. 2. Значение функционала (3.51) в диффузионном (непрерывном) режиме .

Рис. 3. Значение функционала (3.51) в переходном режиме .

Рис. 4. Значение функционала (3.51) в свободномолекулярном (кинетическом) режиме .

Мы видим, что функционал уменьшается с ростом . Это соответствует скачку концентрации на поверхности частицы. Таким образом, модель оказалась чувствительной к скачку концентрации, то есть оправдывающей приближение, описанное ниже.

Рассмотрим влияние параметра на окончательный результат:

Рис. 5. Зависимость потока конденсирующихся паров . Потоки нормированы на 1, расстояния измере­ны в длинах свободного пробега: а) - полная вероят­ность прилипания, кривая 1 соответствует = 1, кри­вая 2 соответствует скачку концентрации ( ), показано также и отношение этих потоков; б) - при уменьшении приближение скачка концентра­ции дает лучшую точность

Характеристики

Список файлов ВКР