86340 (589966)
Текст из файла
Содержание
Введение
§1. Определение линейного оператора. Примеры
§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента
§4. Оператор умножения на непрерывную функцию
§5. Оператор интегрирования
§6. Оператор дифференцирования
§7. Оператор сдвига
Заключение
Введение
Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.
Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.
В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.
В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.
В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).
В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)= .
В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).
Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.
В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f/(x), в пространстве дифференцируемых функции D[a, b]. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.
§1. Определение линейного оператора. Примеры
Определение 1. Пусть Ex и Ey 1– линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: Ex Ey называется линейным оператором, если для любых элементов х1 и х2 пространства Ex и любого комплексного (действительного) числа выполняются следующие равенства 2:
-
А(х1+х2) = Ах1 + Ах2;
-
А(
х) =
А(х);
Примеры линейных операторов:
1) Пусть Е = Е1 – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:
Ax = x для всех x Е.
Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.
2) Рассмотрим D[a,b] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[a,b] задан формулой:
Дf(x) = f/(x).
Где f(x) D[a, b], f/(x)
C[a, b].
Оператор Д определен не на всем пространстве C[a, b], а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.
3) Рассмотрим пространство С[- , +
] – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:
Аf(x) = f(x+a).
Проверим линейность оператора А:
1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.
2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).
Верна аксиома однородности.
Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
4) Пусть
(пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение
1, заданное формулой:
Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то
. В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.
§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном
пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
Пусть ,
– нормированные пространства.
Определение 2 .Оператор А: Е Е1 называется непрерывным в точке
, если какова бы не была последовательность xn
x0, А(xn) сходится к А(x0). То есть, при p (xn, x0)
0, p (А(xn), А(x0))
0.
Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.
Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x0, если какова бы не была окрестность3 U точки y0 = А (x0) можно указать окрестность V точки x0 такую, что А(V) U.
Иначе >0
>0, что как только p (x, x0) <
, p (f(x), f(x0)) <
.
Теорема 1.
Если линейный оператор непрерывен в точке х0 = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.
Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х0=0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х0=0. Возьмем последовательность точек пространства хnх1, тогда хn–х10, отсюда А(хn–х1)А(0)=0, т. е. А(хn–х1)0.
Так как А – это линейный оператор, то А(хn–х1)Ахn–Ах0, а тогда
Ахn-Ах0 0, или АхnАх0.
Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.
т. д-на.
Пример.
Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1] в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.
Решение.
Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С[0, 1] и yn(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:
p (yn, y) =
|yn(x)- y(x))| = 0.
Рассмотрим последовательность образов: F(yn) = yn(1).
Расстояние в R определено следующим образом:
p (F(yn), F(y)) = |F(yn) - F(y))| = | yn(1) - y(1)|
|yn(x)- y(x))|=p(yn,y),
то есть p (F(yn), F(y)) 0.
Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С[a, b], то есть непрерывно на всем пространстве.
С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.
Определение 4. Линейный оператор А: Е Е1 называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что
||Аx|| K||x||. (1)
Теорема 2.
Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.
Доказательство:
Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k S.
По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn), сходящуюся к k. Так как kn S, то выполняется неравенство: |А(x)|
kn||x||, (x
E). Переходя в этом неравенстве к пределу
получаем |А(x)| k||x||, где (x
E), (k
S).
т. д-на.
Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||4.
||А|| K, для
K, подходящего для (1), то есть |А(x)|
||А||||x||, где
||А|| =
x
E.
Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.
Теорема 3.
Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex в Ey был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.
Необходимость:
Дано: А – ограничен;
Доказать: А – непрерывен;
Доказательство:
Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.
Дано, что ||Аx|| K||x||.
Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0,
>0 что ||x||<
||Ax|| <
.
Выберем так, чтобы K*||x|| <
, ||x|| <
, (К>0), значит
=
, тогда если ||x||<
, то ||Аx||
K||x|| < K
=
Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в точке.
Достаточность:
Дано: А – непрерывен;
Доказать А – ограничен;
Доказательство:
Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x1 такой, что ||A x1|| > 1|| x1||.
Числу 2 найдется вектор x2, что ||A x2|| > 2|| x2|| и т.д.
Числу n найдется вектор xn, что ||A xn|| > n|| xn||.
Теперь рассмотрим последовательность векторов yn = , где
||yn|| = .
Следовательно последовательность yn 0 при n
.
Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn 0, однако
||Аyn || = ||A || =
||Axn ||
> n|| xn||
= 1, получаем противоречие с Аyn
0, то есть А – ограничен
Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.
Примеры.
1) Покажем, что норма функционала5 F(y) = в C[a, b], где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна
.
По определению 5: ||F|| = |F(x)| =
|
|.
| |
|
| = |
y(x)||
|
|y(x)||
|;
||F|| = (
|y(x)||
|) =
||y(x)|||
| = |
|
.
Таким образом, норма F(y) = будет ||F|| =
;
2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)
F(y) = .
По выше доказанному ||F|| = = 1.
§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента
Пусть ,
– нормированные пространства,
– линейный оператор, DA- область определения оператора, а RA – область значений.
Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего RA, уравнение Ах=у имеет единственное решение.
Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему RA, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий DA и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А-1.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.