86132 (589936), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Далее, пусть существует А_L^–1. рассмотрим N(A). Пусть x N(A), тогда Аx = 0. применим к этому равенству оператор А_L^–1, тогда А_L^–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x N(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А взаимно однозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что и требовалось доказать.

Пусть X – банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство L(X) – пространство линейных, ограниченных и заданных на всем множестве операторов. Пусть I – тождественный оператор в L(X). Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается, что вместе с I непрерывно обратимы все операторы - единичного шара в L(X), т.е. все такие А, для которых справедливо неравенство .

Для краткости положим C = I – A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X – банахово пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.

Теорема 8. Пусть и ; тогда оператор I – C непрерывно обратим. При этом справедливы оценки

(1)

(2)

Доказательство. Рассмотрим в L(X) ряд

I+C+C²+C³+… (3)

Так как , то ряд (3) оценивается сходящимся числовым рядом – геометрической прогрессией

По признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е.

.

Где S – сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что

,

.

Но при этом (ибо и ), а . Поэтому, в пределе имеем равенства (I – C)S = I и S(I – C) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I – C непрерывно обратим и S=(I – C)^-1. Далее,

,

.

Переходя в этих неравенствах к пределу при , получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.

Теперь рассмотрим более общий случай пространства L(X,Y). Пусть А L(X,Y) непрерывно обратим.

Теорема 9. Пусть A, B L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено неравенство . Тогда B непрерывно обратим и справедливы оценки

, .

§4. Абстрактные функции

Пусть S – некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.

Рассмотрим функцию x( ) с областью определения S и с областью значений в X. Такие функции принято называть абстрактными функциями числовой переменной или векторными функциями числовой переменной, поскольку элементы линейного (иначе – векторного) пространства мы называем также векторами. На абстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и факты математического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывности таких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитической абстрактной функции.

Пусть x( ) определена в окрестности точки ₀, за исключением, быть может, самой точки ₀. Элемент а X будем называть пределом функции x( ) при → ₀ и записывать

при → ₀,

если при → ₀.

Степенные ряды – это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметра .

Рассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида , где x_к X, а – вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную – ₀ = , то в дальнейшем мы полагаем ₀ = 0 и рассматриваем степенные ряды вида

(1)

Конечная сумма называется частичной суммой степенного ряда (1).

Пусть – множество всех точек , для которых ряд (1) сходится. называется областью сходимости ряда (1).

Сумму ряда (1) при обозначим через S( ) (это абстрактная функция, определенная на со значениями в X), при этом будем писать

, при .

Последнее равенство означает, что S_n( ) → S( ) при n→∞ для всех .

Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 . Как и в случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.

Теорема 10 (Абель). Пусть ₀ ≠ 0 и ₀ , тогда круг содержится в . Во всяком круге S_r(0), где r < , ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно .

Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге S_R(0), R>0:

;

тогда равны все их коэффициенты: (k=0, 1, 2, …)

Дифференцирование абстрактных функций

Пусть функция числового переменного λ со значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ₀.

По определению производной x’(λ₀) функции x(λ) в точке λ₀ называется предел

,

если этот предел существует (и конечен). Если имеет производную в точке λ₀, то она называется дифференцируемой в этой точке.

§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора

Абстрактную функцию x( ) будем называть аналитической при =0, если она представима в некоторой окрестности точки =0 сходящимся степенным рядом:

(1)

с ненулевым радиусом сходимости.

Теорема 12. Если x( ) – аналитическая абстрактная функция при =0, то x( ) непрерывна в круге S_R(0), где R – радиус сходимости степенного разложения (1).

Теорема 13. Если x( ) – аналитическая абстрактная функция при =0, то x( ) дифференцируема в круге S_R(0) сходимости своего степенного разложения.

Пусть x( ) бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида

называется рядом Тейлора функции x( ).

Если x( ) аналитична при =0, то ее ряд Тейлора, в силу теоремы 10, является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней в S_R(0).

Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике методе малого параметра.

§6. Метод малого параметра в простейшем случае

Рассмотрим следующее уравнение:

Аx – Сx=y. (1)

Здесь А, С L(X,Y) и y Y заданы, - скалярный параметр, , а неизвестное x разыскивается в X. Если , т.е.

, (2)

то, согласно теореме 9, оператор А– С непрерывно обратим, и тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой

. (3)

Отсюда видно, что в круге (2) решение является аналитической функцией параметра и, следовательно, может быть найдено в виде

(4)

На этой идее основывается метод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях получившегося тождества:

.

Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x₀, x₁, …:

Аx₀=y, Аx₁=Сx₀, …, Аx_к=Сx_к-1, …

Так как А непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим

x₀=А^–1y, x₁= А^–1(СА^–1)y, …, x_к= А^–1(СА^–1)^кy, …

Следовательно,

. (5)

Мы получили решение (3), разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд и ограничиться приближенным решением

то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим

.

§7. Метод малого параметра в общем случае

Пусть дано уравнение

А( )х = у( ). (1)

Здесь А( ) L(X,Y) задана при каждом , , или, как говорят, А( ) – оператор-функция. Пусть А( ) аналитична при =0, а оператор А(0) непрерывно обратим, у( ) – заданная аналитическая функция при =0 со значениями в Y. Неизвестное x разыскивается в X.

Аналитичность А( ) и у( ) в точке 0 означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами сходимости, которые равны и соответственно:

, . (2)

Из аналитичности А( ) следует непрерывность А( ) при =0. следовательно, найдется число r > 0 такое, что в круге

.

Отсюда вытекает, что в круге оператор-функция А( ) непрерывно обратима и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение

,

при этом x( ) аналитична в точке =0 и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min( , r). Для фактического построения x( ) удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать x( ) в виде

. (3)

Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для неопределенных коэффициентов x₀, x₁, x₂, …:

А₀x₀ = y₀, А₀x₁+А₁x₀ = y₁,

А₀x₂ + А₁x₁ + А₂x₀ = y₂, (4)

. . . . . . . . . . .

, …

Здесь А₀ = А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим

, , … (5)

Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, когда обращение оператора А(0) – задача более простая, чем задача обращения оператора А( ).

§8. Метод продолжения по параметру

8.1. Формулировка основной теоремы

В качестве еще одного приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов метода продолжения по параметру. Пусть и А непрерывно обратим. Если , то, согласно теореме 9 §3, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных условиях можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае, когда он очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывную на отрезке [0, 1] оператор - функцию такую, что А(0)=А, А(1)=В. Иначе говоря, в L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки А и В. Будем предполагать, что для оператор – функции выполняется следующее условие:

1. Существует постоянная такая, что при всех и при любых справедливо неравенство

. (1)

Ниже будет доказана следующая теорема.

Теорема 14. Пусть А(λ) – непрерывная на [0, 1] оператор-функция (при каждом ), причем оператор А(0) непрерывно обратим. Если для А(λ)выполняется условие I, то А(I)непрерывно обратим, причем .

Характеристики

Список файлов ВКР