86081 (589926), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Полученные уравнения дают возможность вычислить деформации, если известны напряжения. Назовем их законом Гука в прямой форме.

Преобразуем

.

В обратной форме

или, так как , то

.

1.5 Условия пластичности

При решении задач теории пластичности во многих случаях необходимо знать, при каких условиях материал в рассматриваемой точке переходит из упругого состояния в пластическое. Такие условия называются условиями пластичности. При линейном напряженном состоянии условие пластичности устанавливается опытным путем. В этом случае отлично от нуля только главное напряжение и пластические деформации возникают, когда

; , (1.5.1)

где - предел текучести при растяжении (постоянная величина для каждого материала). При чистом сдвиге условие пластичности, получаемое экспериментальным путем, имеет вид

,

где - предел текучести при чистом сдвиге (также постоянная величина для каждого материала).

В общем случае плоского или объемного напряженных состояний экспериментально невозможно установить условия пластичности для бесконечного множества соотношений между составляющими напряжений. Поэтому условие пластичности для сложного напряженного состояния устанавливается гипотетическим путем с последующей экспериментальной проверкой.

Рассмотрим два условия пластичности, наиболее часто используемые в теории пластичности и достаточно правильно определяющие переход материала из упругого состояния в пластическое.

Первое условие – условие пластичности Треска - Сен-Венана – гласит, что пластические деформации в материале возникают, когда максимальные касательные напряжения достигают значения, равного пределу текучести при чистом сдвиге:

. (1.5.2)

Максимальные касательные напряжения определяются формулой

: . (1.5.3)

Подставляя сюда главные напряжения при линейном напряженном состоянии (1.5.1), в момент появления пластических деформаций получаем

. (1.5.4)

Сравнивая формулы (1.5.2) и (1.5.4) заключаем, что

. (1.5.5)

После подстановки выражений ( 1.5.3 ) и ( 1.5.5 ) в формулу ( 1.5.1 ) приходим к условию пластичности Треска-Сен-Венана в таком виде:

. (1.5.6)

Второе условие – условие пластичности Мизеса-Генки – гласит, что пластические деформации в материале возникают, когда интенсивность касательных напряжений достигает некоторого постоянного для некоторого материала значения:

. (1.5.7)

Определим эту постоянную из результатов испытаний при простом растяжении. Подставляя в формулу

(1.5.8)

главные напряжения (1.5.1), найдем значение интенсивности касательных напряжений при растяжении в момент появления пластических деформаций:

. (1.5.9)

Сравнивая формулы (1.5.9) и (1.5.7), заключаем, что постоянная

. (1.5.10)

Подставляя выражения (1.5.8) и (1.5.10) в формулу (1.5.7), приходим к условию пластичности Губера-Мизеса-Генки в такой форме:

(1.5.11)

Или

.

Оба рассмотренных условия пластичности дают весьма близкие результаты. Эксперименты несколько лучше подтверждают условие Губера-Мизеса-Генки. Кроме того, это условие удобнее с математической точки зрения, так как выражение через шесть составляющих напряжений очень громоздко, а выражается через эти составляющие сравнительно просто. Поэтому в теории пластичности чаще используется условие пластичности Губера-Мизеса-Генки.

Ассоциированный закон

Пластические деформации возникают при активном нагружении материала и не возникают при нейтральном нагружении и разгрузке.

Соотношения связи в теории пластичности формулируется обычно на основе принципа максимума Мизеса: при фиксированных параметрах для любого данного значения компонент приращений пластической деформации имеет место неравенство

, (1.5.12)

где - действительные компоненты напряжения, а - компоненты любого возможного напряженного состояния, допускаемого данной функцией нагружения:

.

Из принципа максимума Мизеса следует ассоциированный закон течения – закон направленности приращения пластической деформации (или скорости пластической деформации) по градиенту к поверхности нагружения.

В самом деле, предположим, что приращение пластической деформации не зависит от приращения напряжений.

Рассмотрим рис. 1.7. Согласно (1.5.12) угол между векторами и должен быть не тупым. В силу произвольности вектора , не выходящего за поверхность нагружения , неравенство (1.5.12) может быть выполнено только в случае ортогональности к , откуда имеем

или

, , . (1.5.13)

Выражение (1.5.13) определяет ассоциированный закон пластического течения.

ГЛАВА II. ЗАДАЧА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРУБЫ

2.1 Механическая постановка задачи

Рассмотрим упругопластическое состояние трубы радиусов , находящейся под действием внутреннего давления , в случае плоской деформации.

Цель данной задачи – определить выражения для компонент напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформации.

Методом решения задачи является метод малого параметра, в качестве которого выбирается величина , характеризующая возмущения границ трубы.

Приведем основные обозначения:

- компоненты напряжений,

- компоненты деформаций,

- радиальное и тангенциальное перемещения,

- внутренний и внешний радиусы осесимметричной трубы,

- полярный радиус,

- полярный угол,

- полярный радиус границы пластической зоны,

- модуль сдвига.

Индекс указывает на принадлежность компонента к пластической зоне, индекс - к упругой.

Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесём к величине предела текучести , величины, имеющие размерность длины, - к внешнему радиусу .

Обозначим:

- внешний радиус;

2.2 Математическая постановка задачи

Предположим, что искомое решение зависит от некоторого параметра . Будем искать решение в виде рядов по степеням этого параметра

, , ,

, , ,

, . (2.2.1)

Линеаризация по параметру заключается в разложении всех исходных соотношений: уравнений равновесия, граничных условий и т.п. в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях этого параметра, которые определяют систему уравнений, позволяющую развить метод последовательных приближений, если решение при является известным.

Уравнения равновесия линейны относительно компонент напряжений, поэтому они имеют место для любого приближения. Соотношения связи между компонентами перемещений и деформаций также линейны относительно компонент деформаций и перемещений, поэтому они сохраняют свой вид для любого приближения.

Рассмотрим граничные условия в напряжениях. Ограничимся случаем, когда граничные условия заданы на контуре в плоскости двух переменных , . Пусть на границе заданы нормальные и касательные усилия

, на . (2.2.2)

Уравнение границы представим в виде

, . (2.2.3)

Подставляя в (2.2.2) разложение и учитывая, что для компонент , справедливы разложения, аналогичные (2.2.1), получим при разложение

(2.2.4)

Ограничиваясь четвертым приближением, из (2.2.4) получим, что при имеет место

(2.2.5)

Совершенно аналогично записываются выражения линеаризованных граничных условий для : чтобы получить линеаризованные граничные условия для , надо в (2.2.5) заменить на .

В линеаризованных задачах теории пластичности необходимо уметь записывать граничные условия (2.2.2) через компоненты основной системы координат. Для этого следует учесть угол поворота напряжений при переносе их на исходную окружность ( ).

Рассмотрим рис 1.8. Угол , образован нормалью к контуру ;

- угол поворота напряжений при переносе их на исходный контур. Из известных формул теории упругости будем иметь

(2.2.6)

Если уравнение границы тела записать в виде , то

(2.2.7)

Согласно (2.2.3) можно записать

(2.2.8)

Учитывая, что

(2.2.9)

Из (2.2.9), (2.2.7), (2.2.8) получим

(2.2.10)

Обозначая , найдем

(2.2.11)

(2.2.12)

Используя (2.2.1), (2.2.5), (2.2.6), (2.2.11), (2.2.12), получим искомые линеаризованные граничные условия: при должно иметь место

(2.2.13)

Перейдем к условиям сопряжения решений. На - границе упругой и пластической областей, должно иметь место

(2.2.14)

Уравнение контура запишется в виде

(2.2.15)

Учитывая разложение (2.2.1), подставляя в (2.2.14) выражение (2.2.15), получим исходное линеаризованное условие сопряжения. Очевидно, что условия сопряжения могут быть получены из (2.2.5), если заключить левые части в квадратные скобки, поменять в них на , …, а на .

Выпишем условия сопряжения для компоненты :

(2.2.16)

Условие сопряжения для компонент имеют вид, вполне аналогичный (2.2.16).

Рассмотрим граничные условия в перемещениях:

на .

Уравнение границы представим в виде (2.2.3). Учитывая, что для компонент справедливы разложения, аналогичные (2.2.3), получим при разложения, аналогичные (2.2.4), (2.2.5).

Распишем основные соотношения, используемые для решения задачи:

Уравнения равновесия

Характеристики

Список файлов ВКР