85860 (589888), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

тогда и только тогда, когда производная в силу системы

тождественно в обращается в нуль.

Необходимость. Пусть есть первый интеграл системы . Тогда для любого решения этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества

откуда при получим равенство справедливое при всех значениях и . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь при всех Тогда для любого решения системы на основании леммы1 будем иметь тождество

а с ним и достаточность.

Лемма доказана.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на функция также является первым интегралом системы . Первый интеграл будем называть невырожденным на , если при всех выполняется неравенство

Функцию будем называть стационарным первым интегралом системы , если она не зависит от и является первым интегралом системы .

Теорема 4.1. Для того, чтобы система с раз дифференцируемой по правой частью имела в невырожденный стационарный первый интеграл, необходимо выполнение тождества

где , компоненты вектор-функции .

Доказательство. Пусть стационарный первый интеграл системы . Тогда согласно лемме 4.2 должно выполняться тождество

Это означает, что при каждом фиксированном функции

линейно зависимы на интервале их существования. Поэтому вронскиан этих функций (левая часть тождества ) обязан обращаться в нуль.

Теорема доказана.

Выясним условия, при которых система имеет стационарный интеграл. Будем считать, что условия теоремы 4.1 выполнены. Составим систему линейных уравнений относительно неизвестных функций

………………………………………….

Теорема 4.2. Для того, чтобы система с раз дифференцируемой по правой частью имела хотя бы один стационарный интеграл , необходимо и достаточно существование такого независящего от решения системы

, для которого уравнение Пфаффа

интегрируется одним соотношением .

Необходимость. Пусть система имеет стационарный интеграл . Тогда согласно лемме 4.2 должно выполняться тождество . Дифференцируя тождество раз по , убеждаемся в том, что совокупность функций решение системы .

Достаточность. Пусть теперь система имеет не зависящее от решение, для которого уравнение Пфаффа интегрируется одним соотношением . Тогда существует [6] такая функция , для которой

Поэтому

так как удовлетворяет первому уравнению системы . Из тождества следует достаточность.

Теорема доказана.

Теорема 4.3. Пусть система имеет линейно независимых при каждом решений

, ,

для которых соответствующие уравнения Пфаффа

интегрируется с помощью соотношений .

Тогда представляют собой независимых стационарных интегралов системы .

Доказательство. Согласно теореме 4.2 функции являются первыми интегралами системы . Покажем, что они независимы. Отметим, что для каждой функции существует функция , для которой

Поэтому матрица Якоби имеет вид

Из линейной независимости векторов , при каждом следует, что при всех ранг матрицы Якоби равен . Поэтому функции , , являются независимыми [7, c.682].

Теорема доказана.

Теорема 4.4. Пусть выполнены все условия теоремы 4.1 и существует некоторое при котором уравнение Пфаффа

не вырождается в тождество и интегрируется одним соотношением . Тогда функция является независимым стационарным первым интегралом системы . Всякий другой стационарный первый интеграл зависит от .

Доказательство. Так как уравнение не вырождается в тождество, то для функций , переменного при фиксированном выполнены все условия примечания к теореме 1 §1 [2, с 13]. На основании этого примечания функции линейно зависимы. Соответствующие коэффициенты могут быть найдены путём разложения по элементам первой строки определителя

Эти коэффициенты образуют единственное с точностью до множителя решение системы , которому соответствует уравнение Пфаффа вида . Ссылка на теорему 4.3 завершит доказательство.

§5. Способ построения дифференциальных систем, эквивалентных стационарным системам

Как известно исследованию стационарных дифференциальных систем посвящено огромное число работ. Это объясняется тем, что эти системы во многих отношениях являются более просто исследуемыми, чем неавтономные системы. Благодаря этому целесообразно использовать для изучения дифференциальных неавтономных систем стационарные системы, если удаётся установить одинаковость качественного поведения решений этих систем. Такая эквивалентность в поведении решений может быть установлена с использованием метода отражающей функции. Когда две системы имеют одну и ту же отражающую функцию, то качественное поведение решений этих систем одинаково, т.е. периодические решения остаются таковыми, ограниченные - ограниченными, устойчивые - устойчивыми. В этом параграфе с использованием [1] и понятия первого интеграла системы показана возможность построения дифференциальных систем, эквивалентных данной (стационарной).

Пусть имеется дифференциальная система

с правой частью, удовлетворяющей теореме существования и единственности. Предположим, что функция является первым интегралом системы .

Теорема 5.1. Дифференциальная система

в которой нечётная скалярная функция, а функция является непрерывно дифференцируемой функцией, имеет ту же отражающую функцию что и система

Доказательство. Правую часть системы обозначим . Положим, и покажем, что функция удовлетворяет уравнению

Находим . Подставим эти выражения в левую часть уравнения . Получим

Выражение в силу определения интеграла системы и, следовательно, функция действительно удовлетворяет уравнению . Согласно теореме 2 [см.5] системы и эквивалентны.

Из теоремы вытекают следующие замечания:

Замечание 5.1. Известно, что если дифференциальная система эквивалентна некоторой стационарной, то она эквивалентна и системе [3, с.24; 4, с.79]. Положив , и используя утверждение теоремы 5.1, мы построим нестационарную дифференциальную систему, эквивалентную .

Замечание 5.2 Особый интерес представляет построение нестационарных систем, эквивалентных хорошо исследованной стационарной. Приведём пример такого построения. Как известно исследованию стационарных дифференциальных систем посвящено огромное количество работ. Это объясняется тем, что эти системы во многих отношениях являются более просто исследуемыми чем неавтономные системы. Если различные дифференциальные системы имеют одну и ту же отражающую функцию, то значит они имеют одно и то же отображение за период в том случае, когда эти системы периодичны. При этом следует учитывать, что качественное поведение решений дифференциальных систем с одной и той же отражающей функцией одинаково.

Рассмотрим дифференциальную систему

которая имеет, в зависимости от знака , асимптотически устойчивый или неустойчивый предельный цикл .

Справедлива следующая

Теорема 5.2. Дифференциальная система

в которой

, ,

функции , непрерывные нечётные, вектор функции

, ,

где

и функции и непрерывно дифференцируемы, имеет ту же отражающую функцию, что и система .

Доказательство. Правую часть системы обозначим и положим

.

Проверим для указанного выполнение равенства

.

Находим

Здесь учтены равенства

Аналогичным образом легко убедиться, что и является решением уравнения

.

Действительно

В соответствии с теоремой 1 [5, с.1326] добавка к правой части системы слагаемых и не изменяет её отражающей функции.

Теорема доказана.

Теорема 5.3. Пусть в системе функции и периодичны. Тогда все решения этой системы, начинающиеся при на окружности , являются периодическими. Все остальные решения, кроме тривиального, при либо стремятся к одному из указанных периодических, либо уходят от них в зависимости от знака .

Замечание 5.3. Если правая часть системы представляет собой многочлены от искомых функций и известен полиномиальный первый интеграл такой системы, то с помощью указанной теоремы легко строится система с полиномиальной правой частью степень многочленов которой выше, чем в исходной системе. Следует отметить также и возможность решения обратной задачи. Пример решения такого типа задачи приведём ниже.

Рассмотрим уравнения

Здесь нечётная функция .

Правую часть уравнения обозначим . Положим

и подберём функции и так, чтобы функция удовлетворяла уравнению , при этом учитываем, что функции и известны.

Лемма 5.1. Если функция удовлетворяет уравнению

, то выполняются равенства

Характеристики

Список файлов ВКР