85860 (589888), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

любая система вида , отражающая функция которой совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида , принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс - соответствующим отражающей функции .

Для построения систем имеющих одну и ту же отражающую функцию можно воспользоваться теоремой:

Лемма 2.1 Для всякой непрерывно-дифференцируемой функции , для которой выполнены тождества , имеют место соотношения

Доказательство. Продифференцируем тождество по и по . Получим тождества

из которых следует неравенство и тождества и .

Лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью, а для дважды непрерывно дифференцируемой функции выполнено

Тогда, для того, чтобы в области функция совпадала с , необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид:

где есть некоторая непрерывно дифференцируемая вектор-функция.

Доказательство. Необходимость. Пусть есть отражающая функция некоторой системы и пусть совпадает с .

Положим

Тогда используя тождества и . и основное соотношение для отражающей функции , получим тождества

из которых следует, что всякая система, для которой есть отражающая функция, может быть записана в виде .

Достаточность. Пусть в системе есть такая функция, для которой решение системы однозначно определяется своими начальными данными. Тогда, в чём можно убедиться подстановкой, выполняется основное соотношение для отражающей функции . Поэтому, согласно третьему свойству отражающей функции, функция является отражающей функцией системы .

Теорема доказана.

Т.о. варьируя вектор-функцию мы получим все системы имеющие заданную отражающую функцию.

У эквивалентных систем одинаковое количество периодических решений, т.к начальные данные периодических решений определяются из уравнения , где половина периода правой части соответствующих дифференциальных систем.

Пусть известно, что системы и

принадлежат одному классу эквивалентности, и пусть одна из этих систем, скажем, система является периодической. Тогда если решения и систем и соответственно продолжимы на отрезок , то , хотя система может быть непериодической. Откуда следует

Теорема 2.2. Пусть система с периодической по правой частью и система принадлежат одному классу эквивалентности, а их решения существуют при всех . Тогда между периодическими решениями системы и решениями двухточечной задачи для системы можно установить взаимооднозначное соответствие.

Уравнения

например, принадлежат одному классу эквивалентности с отражающей функцией . Единственное периодическое решение

первого уравнения соответствует единственному решению задачи второго уравнения.

§3. Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции

Наряду с дифференциальной системой

будем рассматривать множество систем

где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Систему назовём возмущённой, а добавку возмущением. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем и .

Как известно, отражающая функция системы обязана удовлетворять следующему соотношению

Для решения поставленной задачи нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения. Справедлива [4]

Лемма 3.1. Для любых трёх вектор-функций

имеет место тождество

Доказательство.

Будем преобразовывать левую часть тождества

Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть есть отражающая функция системы с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор-функции функция

удовлетворяет тождеству

Доказательство.

Подставив функцию в выражение , придем к следующим тождествам:

Выразим из соотношения частную производную , подставим в последнее тождество и будем преобразовывать получившееся выражение:

Применив к первым двум слагаемым последней части этой цепочки тождеств тождество придем к следующим соотношениям:

Выразим из соотношения выражение, находящееся в скобках последнего тождества и подставим в последнее из получившихся тождеств:

Учитывая определение функции , полученное тождество можно переписать в виде

Мы пришли к соотношению

Прибавив к левой и правой частям этого соотношения выражение , придем к нужному нам тождеству и тем самым докажем лемму.

Лемма доказана.

Теорема 3.1. Пусть вектор-функция является решением дифференциального уравнения в частных производных

Тогда возмущенная дифференциальная система где произвольная непрерывная скалярная нечетная функция, эквивалентна дифференциальной системе в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Пусть отражающая функция системы Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем, что помимо этого уравнения при условиях теоремы она удовлетворяет тождеству

С этой целью введем функцию по формуле . Согласно предыдущей лемме, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы, с учетом соотношения это тождество переписывается в виде

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество , имеют место соотношения

Поставим следующую задачу Коши для функции :

Решение этой задачи существует и единственно [6, с.66]. Таким образом, имеет место тождество влекущее за собой тождество .

Теперь покажем, что отражающая функция дифференциальной системы является также и отражающей функцией дифференциальной системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде

Последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечетность функции , приходим к следующей цепочке тождеств:

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое - потому, что для отражающей функции системы верно тождество , второе - потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы .

Теорема доказана.

Следствие3.1. Пусть функции являются решениями дифференциального уравнения в частных производных . Тогда все дифференциальные системы вида

где нечетные скалярные непрерывные функции, такие, что ряд сходится к непрерывно дифференцируемой функции, эквивалентны между собой в смысле совпадения отражающих функций и все они эквивалентны дифференциальной системе .

Доказательство следствия очевидно и сводится к последовательному применению теоремы 3.1

Замечание 3.1. В [2, с.24] доказано, что правая часть стационарной дифференциальной системы, эквивалентной дифференциальной системе в смысле совпадения отражающих функций, если такая система существует, может быть найдена по формуле Учитывая этот факт и сформулированное выше следствие, для нас важно установить, когда вектор-функция может быть представлена в виде

где решения уравнения . Последующие рассмотрения направлены на решение этой задачи. Решив ее, мы сможем заменить изучение свойств решений нестационарных систем изучением свойств решений стационарных систем вида или, если угодно, использовать уже изученные стационарные системы для изучения нестационарных систем.

§4. Стационарный интеграл

Рассмотрим систему

,

с непрерывной в области функцией .

Дифференцируемая функция , заданная в некоторой подобласти области , называется первым интегралом системы в области , если для любого решения , , системы , график которого расположен в функция , , постоянна, т.е. зависит только от выбора решения и не зависит от .

Пусть , есть некоторая функция. Производной от функции в силу системы назовем функцию , определяемую равенством

Лемма 4.1. Для любого решения , , системы

, график которого расположен в , имеет место тождество

.

Доказательство. Действительно,

Лемма 4.2. Дифференцируемая функция , представляет собой первый интеграл системы

Характеристики

Список файлов ВКР