85857 (589886), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

99()

так как

решение системы 8. Заменяя в тождестве 9 на и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество –

1010()

Из тождеств 9 и 10 найдем производные:

Таким образом вектор-функция

1111()

удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка :

1212()

При этом

Систему 12 будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе 8. решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.

4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная

Пример

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :

теперь продифференцируем его

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Сделаем преобразования и приведем подобные

Таким образом:

Сделаем проверку, для этого в исходную систему подставим полученное решение:

Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.

Четная часть общего решения:

Пример

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :

теперь продифференцируем его

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Сделаем преобразования и приведем подобные

Таким образом:

Сделаем проверку:

Четная часть общего решения

Пример

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :

теперь продифференцируем его

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Получили два решения и .

1) ;

2) ;

Сделаем проверку для :

Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.

Сделаем проверку для :

Отсюда видно, что не являются решением для исходной системы.

Таким образом:

Четная часть общего решения

Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:

где и – нечетные функции, а четная часть представлена константой.

; ;

1313()

Системы вида 13 будут иметь семейства решений с постоянной четной частью. В этом легко убедится, проделав вычисления, аналогичные предыдущим примерам.

5. Простые и простейшие системы

Лемма 9 Для всякой непрерывно дифференцируемой функции

для которой выполнены тождества 4, имеют место соотношения

Теорема 10 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции определенной в симметричной области , содержащей гиперплоскость для которой выполнены тождества 4, существует дифференциальная система

c непрерывно дифференцируемой правой частью, отражающая функция которой совпадает с .

Теорема 11 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции

определенной в области содержащей гиперплоскость , для которой выполнены тождества 4, при всех и достаточно малых существует дифференциальная система

отражающая функция которой совпадает с а общий интеграл задается формулой

Следствие 12 Дважды непрерывно дифференцируемая функция

является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для нее выполнены тождества 4.

Системы, существование которых гарантируется теоремами 10 и 11, называются соответственно простой и простейшей.

Теорема 13 Пусть

простейшая система, тогда

где – отражающая функция системы 1.

Доказательство. Если система простейшая,

Теорема 14 Пусть

есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы, решения которой однозначно определяются своими начальными данными, а для непрерывно дифференцируемой функции

выполнены тождества 4. Тогда для того, чтобы в области функция совпадала с необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид

или вид

где

есть некоторая непрерывная вектор-функция.

Будем говорить, что множество систем вида 1 образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция

со свойствами:

1) Oтражающая функция

любой системы из рассматриваемого множества совпадает в своей области определения с функцией

2) Любая система вида 1, отражающая функция

которой совпадает в области с функцией содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида 1, принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определенную вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции .

Из третьего свойства отражающей функции следует, что система 1 и система

принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда система уравнений

совместна.

Необходимым условием совместности этой системы является тождество .

6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна

6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть

Пусть нам дана система

1414()

Перед нами стоит следующий вопрос о том, когда семейство решений этой системы будут иметь постоянную четную часть.

1515()

То есть, когда не будет зависеть от времени .

Возьмем отражающую функцию системы 14 и используя

получим четную часть следующим образом:

1616()

Теорема 15 Если выполнено тождество

где – отражающая функция, для линейной системы вида 14, то любое решение этой системы имеет постоянную четную часть.

Доказательство. Возьмем любое решение системы 14. Его производная

Поэтому можем записать

Из условия теоремы имеем

Таким образом получили, что – четная вектор-функция. Тогда

6.2 Построение систем с заданной четной частью

Рассмотрим систему 14. Будем строить систему с заданной четной частью.

Пусть нам известна четная часть . Воспользуемся формулой 15 и преобразуем ее

Следовательно, можем записать

Отсюда зная 3, получим

где – отражающая функция системы. Исключая из предыдущего соотношения, с произвольной отражающей функцией , удовлетворяющей условию

получим требуемую систему.

Пример 16 Пусть

где – заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства

Преобразуем правую часть

Перепишем полученное в виде:

Выразим :

1717()

Для всех систем вида 17 должно быть выполнено условие

Возьмем

Найдем , . ;

Подставим значения , в систему 17:

Получаем требуемую систему:

Пример 17 Пусть

где – заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства

и преобразуем правую часть

Перепишем полученное в виде:

Выразим :

1818()

Для всех таких систем должно быть выполнено условие .

Возьмем . Найдем , . ,

Подставим найденные значения в систему 18 и сделав преобразования аналогичные примеру 16, получаем:

Рассмотрим теперь общий случай, когда нам задана четная часть общего решения системы с отражающей функцией . В этом случае

Поэтому, если нам задана, то из соотношения

при заданной мы найдем общее решение искомой системы. Саму систему мы построим исключая из соотношений

Таким образом, мы пришли к

Теорема 18 Всякая система

1919()

где находятся из системы

при любой заданной дифференцируемой функции , удовлетворяющей соотношениям

имеет общее решение с четной частью .

Если

то система 19 имеет вид:

Таким образом, мы пришли к выводу:

Следствие 19 Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.

Заключение

Основным результатом данной работы является построение дифференциальных систем, семейство решений которых имеет заданную четную часть. А так же теорема о связи простейшей системы и системы, семейство решений которой имеет постоянную четную часть.

Теорема. Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.

Список использованных источников

11[] Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1971 – 240 с.

22[] Бибиков Ю.Н., Общий курс дифференциальных уравнений, изд. Ленинградского университета, 1981 – 232 с.

33[] Еругин Н.П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание, М. изд. Наука и Техника, 1979 – 744 с.

44[] Мироненко В.И., Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений, г. Минск: изд. Университетское, 1986 – 76 с.

55[] Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1970 – 331 с.

Характеристики

Список файлов ВКР